FUNZIONE: DEFINIZIONE
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
y3
y4
Una FUNZIONE è una
LEGGE che ad ogni
elemento di un dato
insieme A, detto DOMINIO,
associa uno ed un solo
elemento di un insieme B,
detto CODOMINIO.
Noi parleremo di funzioni
numeriche, ovvero il cui
dominio e codominio sono
sottoinsiemi di R
FUNZIONE: DEFINIZIONE
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
y3
y4
Si dice che y1 è IMMAGINE di x1
tramite la funzione f, y2 è immagine
di x2 attraverso la f e così via.
Si scrive y1=f(x1); y2=f(x2).
L’insieme degli elementi di B che
sono immagine di almeno un
elemento di A è detto INSIEME
DELLE IMMAGINI
Si dice che x1 è CONTROIMMAGINE
di y1 tramite f
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Questa è una funzione
A
x1
B
A
x3
B
y1
x1
y2
x2
Questa non lo è
y3
y4
y1
y2
x2
x3
y3
y4
FUNZIONI
In altre parole puoi pensare ad una
funzione come ad una macchina
che prende in ingresso un valore x, lo
lavora, e poi butta fuori il valore di x
«lavorato», ovvero la y.
FUNZIONE: Rappresentazione
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
Una funzione può essere
rappresentata in modo
insiemistico coi
diagrammi di Wenn: in
questo caso la freccia
indica la legge.
y3
y4
Molto intuitivo ma poco
pratico.
FUNZIONE: Rappresentazione
Q
y2
y1
P (x1, y1=f(x1))
x1
x2
Se sia A che B sono
sottoinsiemi dei numeri
reali, una funzione può
essere rappresentata
tramite il suo grafico,
ovvero l’insieme dei punti di
coordinate (x,y) tali che x
appartiene ad A e y è
l’immagine di x attraverso la
funzione
FUNZIONI: ELEMENTI
ESSENZIALI
Assegnare una funzione significa
assegnare:
1) Il suo dominio
2) La procedura , dato x elemento del
dominio, per determinare la sua
immagine f(x).
FUNZIONE: procedura
y  f ( x)  3x
y  f ( x)  senx
xy  2  0
2 Il modo con cui data x si
determina f(x) può
essere fornito tramite
un’equazione nelle
lettere x e y, sia in
forma esplicita y=f(x),
che implicita F(x,y)=0
FUNZIONE: Rappresentazione
 3x se x  2
y
 x  2 se x  2
2
Una funzione può
anche essere
definita PER CASI,
ovvero possono
esserci modi
differenti
per determinare f(x)
a seconda dei valori
di x
FUNZIONE: valore assoluto
 x
| x | 
 x
x0
x0
Un esempio è la
funzione VALORE
ASSOLUTO
y=|x|
FUNZIONE: funzione segno
1 x0
sgn( x)  
 1 x  0
1
-1
Un altro è la
funzione segno
FUNZIONE: parte intera
INT ( x)  n n  x  n  1 n Z
3
La funzione
“parte intera di
x”, che ad ogni
numero associa
la sua parte
intera
2
1
0
1
2
3
4
FUNZIONE: iniettiva
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Una funzione si dice INIETTIVA
se:
ogni elemento di B ha al più
una controimmagine in A,
ovvero se:
ad elementi distinti del
dominio essa associa elementi
distinti del codominio
f non è iniettiva perché y3 ha due
controimmagini: x3 e x4
FUNZIONE: suriettiva
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Una funzione si dice SURIETTIVA
se:
ogni elemento di B ha almeno
una controimmagine in A
ovvero se:
l’insieme delle immagini
coincide con il codominio
f non è suriettiva perché y4 non ha
controimmagine
FUNZIONE: biunivoca
A
B
f
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Una funzione si dice
BIUNIVOCA se è
iniettiva e suriettiva
FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI ALGEBRICHE: sono quelle
nella cui espressione si trovano solo
le quattro operazioni, l’elevamento a
potenza, l’estrazione di radice
FUNZIONI TRASCENDENTI: funzione
esponenziale e logaritmica, le funzioni
goniometriche e tutte le loro
combinazioni
FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI RAZIONALI: sono quelle in
cui l’incognita x non compare sotto
segno di radice
FUNZIONI IRRAZIONALI: sono quelle
in cui la x compare sotto segno di
radice
FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI INTERE: sono quelle in cui
la x compare solo al numeratore
FUNZIONI FRATTE: sono quelle in cui
la x compare al denominatore
FUNZIONE: ricerca del dominio
Il dominio di una funzione è il più
grande sottoinsieme dei numeri reali
x per i quali la procedura che
definisce la funzione ha significato,
ovvero per i quali si può calcolare la
f(x).
La ricerca del dominio dipende dal
tipo di funzione
FUNZIONE: ricerca del dominio
• in una funzione FRATTA bisogna
porre il denominatore diverso da zero
• in una funzione IRRAZIONALE con
indice pari bisogna porre il radicando
maggiore o uguale a zero
• in una funzione logaritmica bisogna
porre l’argomento maggiore di zero
• nella funzione tangente l’argomento
deve essere diverso da /2+k
FUNZIONE: positività
Lo studio del segno (o POSITIVITA’) di una
funzione è uno degli elementi
fondamentali per la determinazione del
grafico della funzione.
La ricerca della positività della funzione di
equazione y=f(x) equivale alla soluzione
della disequazione:
f(x)≥0
FUNZIONE: positività
Ad esempio, la funzione di equazione:
y  x  4x
3
È positiva in -2 ≤ x ≤ 0
e
x≥2
FUNZIONE: positività
La cosa può essere rappresentata
cancellando con un tratteggio la parte di
piano sotto l’asse x in corrispondenza
della positività e sopra l’asse x in
corrispondenza della negatività, a indicare
che in quelle zone la curva non può
esistere
FUNZIONE: positività
-2
0
2
La positività della
funzione di
esempio
-2 ≤ x ≤ 0
x≥2
Può essere così
rappresentata
FUNZIONE: positività
Questa
rappresentazione
rende spesso molto
facile tracciare il
grafico
-2
0
2
FUNZIONE: crescente
f(x2)
f(x1)
x1
x2
Intuitivamente,
una funzione è
CRESCENTE
quando,
all’aumentare
del valore di x,
aumenta anche
il valore di y
FUNZIONE: crescente
Rigorosamente, una funzione si dice
CRESCENTE in un dato intervallo I
del dominio se, per ogni coppia di
valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali
che:
x2  x1
Allora risulta:
f ( x2 )  f ( x1 )
FUNZIONE: decrescente
Analogamente, una funzione si dice
DECRESCENTE in un dato intervallo I del
dominio se, per ogni coppia di valori x1
e x2 appartenenti ad I, tali che:
x2  x1
Allora risulta:
f ( x2 )  f ( x1 )
FUNZIONE: monotonia
Una funzione che, in un intervallo, risulti
o crescente o decrescente, si dice
MONOTONA in tale intervallo.
FUNZIONE: pari
Una funzione si
dice PARI se:
x  domf   x  dom
f ( x)  f ( x)
Il grafico di una
funzione pari è
simmetrico
rispetto all’asse y
FUNZIONE: dispari
Una funzione si dice
DISPARI se:
x  domf   x  dom
f ( x)   f ( x)
Il grafico di una
funzione dispari è
simmetrico rispetto
all’origine
FUNZIONE: periodica
Una funzione si dice
PERIODICA se esiste un
numero T>0, tale che
f ( x  T )  f ( x)
per ogni x del dominio.
Il minore dei valori di T
si dice PERIODO
FUNZIONE: inversa
A
B
f-1
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Data una funzione f
definita sul dominio A e
codominio B, si dice
RELAZIONE INVERSA la
relazione che ad ogni
immagine y di B associa
la sua controimmagine
x in A
FUNZIONE: inversa
A
B
f-1
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Non e’ detto che
l’inversa sia una
funzione: infatti ad
esempio in questo caso
non lo è perché non è
univoca: a y3 sono
associati due elementi,
x3 e x4
FUNZIONE: inversa
A
B
f-1
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
In questo caso invece
anche l’inversa è una
funzione, infatti è
univoca.
FUNZIONE: funzione invertibile
A
B
f-1
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Quando la relazione
inversa è una funzione
allora la funzione si dice
INVERTIBILE e la sua
inversa si dice
FUNZIONE INVERSA
Si usa il simbolo f-1
FUNZIONE: funzione invertibile
A
B
f-1
x1
y1
y2
x2
x3
x4
y3
y4
Se una funzione è
invertibile allora è
univoca da B ad A; ma
siccome lo è da A a B
per definizione di
funzione, allora:
UNA FUNZIONE E’
INVERTIBILE SE E
SOLO SE E’ BIUNIVOCA
FUNZIONE: invertibilità e
monotonia
f(x2)
f(x1)
x1
x2
Una funzione
crescente sarà
anche biunivoca;
infatti se x1>x2
allora f(x1)>f(x2),
quindi non si
verifica mai che
assuma due volte
lo stesso valore
FUNZIONE: invertibilità e
monotonia
Lo stesso se la
funzione è
decrescente.
Quindi:
f(x1)
f(x2)
x1
x2
SE UNA FUNZIONE
E’ MONOTONA
ALLORA E’
INVERTIBILE
FUNZIONE: invertibilità e
monotonia
Non vale il
viceversa; la
funzione nel
grafico non è
monotona ma è
invertibile; infatti
non assume mai
due volte lo stesso
valore
FUNZIONE: funzione invertibile
Anche se una funzione non è invertibile
su tutto il dominio lo può diventare se il
dominio viene ristretto.
Ad esempio, la funzione y=senx non è
invertibile perché assume più volte lo
stesso valore, però se ristretta
all’intervallo [-/2,/2] lo diventa e la sua
inversa si chiama arcoseno
FUNZIONE: funzioni inverse
Funzione
Dominio*
Inversa
Dominio
y=x2
x≥0
y=√x
x≥0
y=x3
R
y=3√x
R
y=lnx
x>0
y=ex
R
y=senx
-/2≤x≤/2
y=arcsenx
-1≤x≤1
y=cosx
0≤x≤
y=arccos
-1≤x≤1
y=tgx
-/2≤x≤/2
y=arctgx
R
*Dominio su cui la funzione è invertibile
FUNZIONE: ricerca dell’inversa
La funzione inversa si trova risolvendo
l’equazione della funzione:
y=f(x)
Ovvero trovando x in funzione di y.
Se il risultato è univoco allora la funzione
è invertibile.
FUNZIONE: ricerca del codominio
Il codominio di una funzione coincide col
dominio dell’inversa. Quindi, per
determinare il codominio, si può
procedere in questo modo:
• Trovare la relazione inversa
• Determinarne il dominio
FUNZIONE: composte
Sia f una funzione definita su A a valori in
B tale che:
y1=f(x1)
E sia g una funzione definita su B a valori
in C tale che:
z1=g(y1)
Allora la funzione definita su A a valori in
C che all’elemento x1 di A associa
l’elemento z1 di c si dice FUNZIONE
COMPOSTA di f e g
FUNZIONE: composte
La composta si può così indicare
z=g(f(x))
oppure
z=g◦f(x)
Grafici: esponenziale
Grafici: logaritmo naturale
Grafici: seno
Grafici: arcoseno
Grafici: coseno
Grafici: arcocoseno
Grafici: tangente
Grafici: arcotangente
Grafici: quadratica
Grafici: cubica
Grafici: radice quadrata
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Per dare una definizione rigorosa di
relazione è necessario ricorrere
all’operazione di prodotto di insiemi
Dati due insiemi A, B si dice PRODOTTO
CARTESIANO di A e B l’insieme di tutte le
coppie ordinate il cui primo elemento
appartiene ad A e il secondo a B
Il simbolo è AXB
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Esempio:
A={x1,x2,x3}
B= {y1,y2,y3,y4}
AXB= {(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3)…ecc…}
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Si dice RELAZIONE tra due insiemi A e B
un qualunque sottoinsieme del loro
prodotto cartesiano.
Si dice che la relazione associa al primo
elemento della coppia il secondo
elemento
FUNZIONE: DEFINIZIONE
A
B
f
x1
y1
(x1,y1)
y2
x2
x3
Ad esempio, questa
funzione è formata dalle
coppie:
y3
y4
(x2,y2)
(x3,y3)
FUNZIONE: positività
Graficamente la positività corrisponde a
quegli intervalli dell’asse x in cui la curva
sta al di sopra dell’asse.
Analogamente, la negatività corrisponde
ai valori di x in cui la curva sta sotto l’asse