Sistemi di
riferimento
La retta orientata e
piano cartesiano
Contenuti
• Breve ripasso: gli insiemi numerici
• Che cosa è un sistema di riferimento:
la retta orientata e il piano cartesiano
(sistema di assi cartesiani ortogonali)
• Rappresentazione degli insiemi numerici
su una retta orientata
• Il piano cartesiano
Gli insiemi numerici
• I numeri naturali: N
N={0; 1; 2; 3; …}
• I numeri interi: Z
Z={0; ±1; ± 2; ± 3; …}
• I numeri razionali: Q
Sono tutti quei numeri che possono essere scritti sotto
forma di frazione.
Sono i numeri decimali limitati e illimitati periodici, infatti
ad esempio: 3,4 = 34/10; 5,1(7)=466/90
• I numeri irrazionali: I
Sono tutti quei numeri che non sono razionali, cioè che
non possono essere scritti sotto forma di frazione.
Sono i numeri decimali illimitati non periodici come ad
esempio:
3,023024025026…; π= 3,14159265358979323846264…
• I numeri reali: R
Dato dall’unione dei due insiemi: razionali e irrazionali
Riassumendo
Numeri REALI
Numeri RAZIONALI
Numeri
INTERI
{…, -3, -2, -1,
Numeri NATURALI
0, +1, +2, +3, …}
m
n
Numeri
IRRAZIONALI
2

Sistemi di riferimento
• Un sistema di riferimento è l’insieme degli
elementi utili ad individuare la posizione di
un oggetto nello spazio.
A seconda del numero di riferimenti usati si
può parlare di:
– Sistema di riferimento monodimensionale
(ad esempio la retta orientata)
– Sistemi di riferimento bidimensionale
(ad esempio coordinate cartesiane nel piano)
– Sistemi di riferimento tridimensionale (3D)
(ad esempio coordinate cartesiane nello spazio)
La retta orientata
La retta orientata è una retta su cui viene fissato:
– Un verso di percorrenza
serve a dare un ordine ai punti della retta
– Un punto di riferimento detto Origine
rispetto al quale è possibile stabilire dove si trova un
determinato punto
u
– Una unità di misura
serve a stabilire a che distanza dall’origine si trova un
determinato punto
-2
B
1
+4
A
Il numero -2 è l’ascissa del punto B, +4 è l’ascissa del punto A e si
scrive B(-2), A(+4).
Dunque ad ogni numero x corrisponde un punto P sulla retta orientata
ed ad ogni punto P corrisponde un numero x: P(x)
Dunque il numero x indica la posizione, rispetto all’origine, del
punto P di ascissa x
I Numeri interi positivi o Naturali sulla retta orientata: la retta è in realtà
una semiretta costituita da un numero discreto di punti.
u
1
0
2
3
4
5
6
u
7
8
…
9
Numeri interi con segno o Relativi sulla retta orientata (costituita da un
numero discreto di punti)
… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
u
-3
4
5
6
7
8
9
…
Numeri esprimibili come frazioni o Razionali rappresentati sulla Retta
orientata : la retta presenta ancora “buchi” determinati dai numeri
Irrazionali
-2
 23
-1
 21
0
1
2
1
2
2
e
3 134

Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta
reale; i numeri Reali “coprono”, in modo continuo,
tutti i punti della retta orientata.
u
-3
3
-2
 23
-1
 21
0
1
2
1
2
2
e
3 134

Misura di un segmento
Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi.
u
O
0
+
A
B
3
2
+6
Il segmento AB è individuato
r
3
dai punti B(+6) e A(+ 2 )
Nel nostro esempio per trovare la misura di AB
(si indica con AB):
ascissa
di B
ascissa
di A
AB = OB – OA = (+6) – (+
3
9
3
)=6−
=
2
2
2
Misura di un segmento
La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A
e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività
del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione
AB = |xA – xB| = |xB – xA|
ESEMPI
Se A(+4) e B(−2), allora AB = |(+4) – (-2)| = |+4 +2| = |+6|= 6
oppure AB = |(−2) – (+4)| = |-2 -4| = |-6|= 6
Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−3 – (−8)| = |−3 +8| = |+5|= 5
oppure AB = |−8 – (−3)| = |−8+3| = |−5|= 5
Punto medio di un segmento
Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB.
A
M
B r
xA
xM
xB
Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM
Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM
xM =
xA + xB
2
Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma
delle ascisse dei suoi estremi.
ESEMPIO
Se
A(+2) e B(−7),
allora
xM =
+2 − 7
2
5
=−
2
Riassumendo
Date le ascisse xA e xB di due punti A e B di
una retta avremo:
– La misura del segmento AB è:
AB  x A  xB  xB  x A
– L’ascissa xM del punto medio M del segmento AB è:
x A  xB
xM 
2
OSS
L’ascissa del punto medio di un segmento risulta pertanto pari alla
media aritmetica delle ascisse degli estremi.
Sistema di assi cartesiani
• È costituito da una
coppia di rette orientate
aventi la stessa origine.
Ad esempio:
• Noi ci occuperemo di un
sistema di assi cartesiani
ortogonali monometrico
(stessa unità di misura su
entrambe le rette
orientate).
Piano cartesiano
• Il piano cartesiano è suddiviso da 2 assi (asse x
delle ascisse e asse y delle ordinate) in 4 angoli
retti chiamati quadranti
Partendo dall’angolo in alto a destra e seguendo il
verso antiorario sono chiamati 1°,2°,3° e 4°
quadrante
y (Asse delle ordinate)
2° Quadrante
1° Quadrante
Unità di misura
+4
+3
+2 (origine)
-5 -4 -3 -2 -1 +1 O 1 2
3
4
5
x (Asse delle ascisse)
-1
-2
-3
3° Quadrante
4° Quadrante
Piano cartesiano