1^ puntata
Che cos'è un numero?
Siamo talmente abituati ad USARE i
numeri che forse non ci siamo mai posti
questa domanda . O forse l’abbiamo posta
e non abbiamo avuto a riguardo risposte
soddisfacenti
Provate a rispondere adesso voi…..
• In realtà la risposta è molto semplice e nel
contempo molto difficile .
• Infatti possiamo rispondere dicendo che è un
concetto alla base della matematica, un
elemento di un insieme numerico,
• ma si deve sapere che una buona parte della
storia della matematica si è impegnata per dare
proprio una configurazione univoca a questo
concetto ed essere in grado di dire quando un
certo oggetto può essere considerato un
numero in senso matematico
• Partendo dal presupposto che sarebbe molto difficile
per qualsiasi forma di vita non avere un concetto di
numero anche se potrebbe essere una matematica
non simile alla nostra, fu realizzato nel 1995, il
progetto Paul Horowitz (professore all’università di
Harvard )
• Con esso si vorrebbe riuscire a trovare le prove
dell’esistenza di altre creature e cercare di ricevere
un messaggio trasmesso da altre civiltà,utilizzando
un radiotelescopio diretto verso le stelle che ascolta
tutti i messaggi che potrebbe venire da altri pianeti,
attraverso le microonde.
• Sono stati fatti dei tentativi di costruire un linguaggio
cosmico. Il primo simbolo sarebbe un più (+) e il
secondo simbolo un uguale (=), però purtroppo non
ho trovato informazioni più precise ed esaurienti.
• In matematica usiamo molti insiemi numerici .
• le invenzioni di nuovi sistemi numerici e algoritmi
sono in ogni tempo correlate a motivazioni cognitive
e applicative legate al progresso generale della
conoscenza e della tecnologia e contestuali alle
necessità della società civile.
I numeri naturali
Partiamo dai primi numeri che impariamo a
studiare a scuola e a usare nella vita, i numeri
naturali, quelli che Kronhecker diceva "Dio
fece i numeri naturali; tutto il resto è opera
dell'uomo" .
Gli studiosi di filosofia della matematica non
sono d’accordo con l’origine dei Naturali (N),
alcuni pensano che tutta la matematica, e
perciò anch’essi, sia una costruzione
dell’uomo, altri che i numeri naturali siano
un’idea innata dell’uomo e questa per esempio
era la posizione anche di Pitagora.
Anche gli animali contano….
• Sono stati fatti esperimenti con gli uccelli
che se ad es. il nido contiene 4 uova e ne
portiamo via uno ,l’animale non se ne
accorge ,se invece gliene portiamo via
due, se ne rende conto e diserta il nido.
• Il naturalista J.Lubbok ha raccontato
anche un episodio da cui scaturisce che
una cornacchia era stata in grado di
contare fino a 4.
I nostri progenitori non si sono comportati
diversamente per quanto riguarda la concezione dei
numeri, la maggior parte degli antichi linguaggi e la
maggior parte degli idiomi tribali ancora esistenti,
possiedono precisi termini per 1 e 2,mentre usano una
parola che significa ‘tanti’ per quantità maggiori.
Inoltre esistono in molti linguaggi parole diverse per
indicare lo stesso numero a seconda il tipo di oggetto
preso in considerazione.
Nella lingua thimsshian, popolazione della costiera pacifica del Canada, si
usano ben 7 vocaboli distinti per indicare i numeri, uno per
- le misure
- per contare gli oggetti piatti e gli animali
- per contare gli oggetti rotondi e il tempo
- per contare gli oggetti lunghi e gli alberi
- per contare le canoe
- per contare gli uomini
- per il resto
Ma anche nella lingua giapponese i numeri hanno
talvolta nomi diversi e desinenze diverse a seconda
dei contesti in cui vengono utilizzati
Sembra che non si sia realizzata la distinzione tra
oggetto reale e numero astratto che serve per indicare
la loro quantità.
In effetti il concetto di numero naturale scaturisce da
una concettualizzazione complessa, si deve pensare
ad es. il numero 3 come il qualcosa che hanno in
comune un insieme di tre bambini, tre caramelle,tre
cani, tre biciclette, etc..
.
Facciamo un esperimento
• Quante stelle sono?
E qui?
Il matematico Keith Devlin, nel suo libro “Il Gene
della Matematica”(Longanesi & C., 2002) scrive:
“Quel che è certo è che il nostro cervello sembra
trattare diversamente gli insiemi contenenti al
massimo tre elementi da quelli più grandi. […] Il
fatto che quando si superano i tre oggetti il
nostro comportamento cambi all’improvviso
indica che forse il cervello si serve, nei due casi,
di due meccanismi diversi
Cardinali e ordinali
I numeri naturali risolvono due diversi problemi pratici:
1. Stabilire quanti elementi sono contenuti in un
insieme. Il numero cardinale di un insieme è un
dato relativo a un certo insieme ovvero il qualcosa
che hanno in comune tutti gli insiemi che possono
essere posti in corrispondenza biunivoca.
2. Ordinare in modo progressivo gli elementi di un
insieme in un processo che presuppone che dopo
un numero ne posso trovare sempre un
altro(successivo): numeri ordinali
Ma giunti all’ultimo elemento di un insieme,
otterremo simultaneamente sia il numero
ordinale dell’ultimo elemento contato sia il
numero cardinale dell’insieme.
Il progresso della matematica è stato
dovuto al fatto che l’Uomo ha imparato a
identificare i due aspetti del numero: il
cardinale e l’ordinale.
È importante tenere presente che, qualunque
sia l’ordine con cui si dispongono gli elementi
di un dato insieme, si può dimostrare che
all’ultimo elemento spetta sempre lo stesso
numero ordinale.
Differenza tra numero e
rappresentazione del numero
Quanti modi abbiamo per scrivere un numero
naturale, ad es. sette?
IIIIIII; seven, VII, ,….
• La realtà del numero è la stessa cambia la
rappresentazione
• Per rendere più agevoli i calcoli è comodo avere
un adeguato sistema di numerazione.
• Noi usiamo un sistema decimale, posizionale,
ma ugualmente bene potrebbero andare altri
insieme N
L’insieme dei numeri naturaLi neL nostro sistema di numerazione
si indica con
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
N è un insieme infinito
I numeri naturali, abbiamo visto, si possono
ordinare uno di seguito all’altro in modo molto
intuitivo e la successione non ha termine.
I numeri naturali sono il primo esempio di
infinito in matematica.
Tutte le volte che un insieme ha la stessa
‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo che è
numerabile.
Alcune ‘numerosità’ ci paiono diverse, per es.
i numeri naturali pari sono tanti quanti tutti i numeri naturali
basta associare ad ogni numero il suo doppio
0
|
0
1
|
2
2
|
4
3
|
6
4
|
8
5
|
10
6
|
12
7
|
14
8 …
|
16 …
• In matematica per definizione un insieme è infinito quando
può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme proprio,una sua parte.
• Il nostro ‘buon senso’ ci direbbe che sono la metà, ma queste
cose accadono perché vogliamo trasportare all’infinito le
categorie del finito!...
• Tanti sono i paradossi che coinvolgono l’infinito…
Nobody will drive us out of Cantor's paradise.
D. Hilbert
Già nel 1638 Galileo ne “Dialoghi intorno a due nuove scienze” cercò di fare
delle considerazioni sugli insiemi numerici, trovandosi però in gravi difficoltà
nel formulare ipotesi sulla cardinalità (cioè sul numero di elementi) degli
insiemi infiniti.
Galileo dimostrò l’esistenza di una corrispondenza biunivoca tra l’insieme
dei quadrati di tutti i numeri interi e tutti gli N,infatti essi possono essere
abbinati ad uno e un solo numero naturale, dunque dovevano avere la
stessa cardinalità. Galileo, di fronte a questa incongruenza logica, concluse
che le relazioni di “uguaglianza”, di “maggiore di” o “minore di” non sono
applicabili agli insiemi infiniti, ma solo a quelli finiti, evitando quindi di
lavorare con classi di grandezze non numerabili.
La risposta arrivò con il grande matematico tedesco G.Cantor(1845-1918)
che formulò una nuova teoria: la “teoria degli insiemi” che prende il suo
nome, teoria in cui fa anche una classificazione degli insiemi infiniti..
Si narra un aneddoto, forse leggendario, a riguardo. Cantor non voleva
utilizzare il termine infinito, che per lui aveva anche una connotazione
religiosa. Chiese consiglio a un cardinale, il quale lo tranquillizzò, ma gli
consigliò comunque di utilizzare un termine equivalente. Cantor, allora,
scelse il termine transfinito”.
Infinito attuale e infinito potenziale
“Si presenta spesso il caso che vengano confusi tra di
loro (…)i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale,
malgrado la differenza essenziale. (…) Il primo denota
una grandezza variabile finita,che cresce al di là di ogni
limite finito; il secondo ha come suo significato un quanto
costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni
grandezza finita. Avviene un’altra frequente conclusione
con lo scambio tra le due forme di infinito attuale, e
precisamente quando si mettono insieme il Transfinito e
l’Assoluto, mentre questi due concetti sono
rigorosamente separati, in quanto il primo è relativo ad
un infinito attuale, si, ma ancora accrescibile, il secondo
a un infinito non accrescibile e pertanto non
determinabile matematicamente”.
(G. Cantor)
• Notiamo che invece i numeri della
calcolatrice non sono infiniti,neppure quelli
del più potente calcolatore
• Quelli della calcolatrice sono numeri diversi
da quelli della matematica, ma per i calcoli
usuali possiamo operativamente usare quelli
della calcolatrice e vanno benissimo, anche
se in alcuni casi bisognerà stare molto
attenti….
N è un insieme discreto
• Tra due numeri naturali o non vi è nessun
numero naturale o ce ne sono in numero
finito.
• Nell’epoca digitale siamo abituati a
lavorare molto con insiemi discreti, ma…
Operazioni con i naturali
• Con i Naturali fin dalla prima elementare abbiamo
imparato a fare confronti e fare con loro alcune
operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione
e divisione.
• Sottrazione e divisione le posso considerare
come le operazioni inverse della addizione e della
moltiplicazione. Esse inoltre hanno la caratteristica
che non sono sempre eseguibili in N,non sono
operazioni nel senso matematico, in quanto
• un‘operazione in un insieme A viene definita in
generale come una legge che associa ad ogni
coppia di elementi di A, un terzo elemento ancora
di A
addizione
• E’ sempre possibile eseguire la addizione
in N,ovvero dati due qualsiasi numeri
naturali esiste sempre un terzo numero
naturale che definisco essere la somma
dei primi due.
• si dice pertanto che l’addizione è
un'operazione interna a N o anche che N
è chiuso rispetto essa.
Proprietà dell’addizione
1)
proprietà commutativa :
Per qualsiasi a,b є N:
a+b=b+a .
2)
proprietà associativa
Per qualsiasi a,b,c є N:
(a+b)+c=a +(b+c).
3)
esistenza dell’ elemento neutro
l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a є N:
a+0=a.
moltiplicazione
• Anche questa è un’operazione sempre
possibile, nel senso sopradefinito
• In realtà potremmo vedere la
moltiplicazione come una serie di somme
iterate.
Proprietà della moltiplicazione
1. proprietà commutativa :
Per qualsiasi a,b є N:
2. proprietà associativa
Per qualsiasi a,b,c є N:
a*b=b*a .
(a*b)*c=a*(b*c)
3. esistenza dell’ elemento neutro;
l'elemento neutro per la moltiplicazione è il numero 1, infatti
Per qualsiasi a є N:
a*1=a.
In oltre abbiamo la seguente proprietà che lega somma e prodotto:
4. proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
(a+b)*c = a*c + b*c
Attenzione il fatto che alcune operazioni siano
commutative non è poi così banale pensate alla
sottrazione alla divisione. .…
C’è però un’altra interessante proprietà, che
scaturisce dallo strano comportamento dello
zero:
legge di annullamento del prodotto:
se moltiplichiamo un qualsiasi numero naturale
per 0, il prodotto è nullo e viceversa.
a*0= 0*a= 0
Conseguenza importante
Non sarà mai definita in nessun insieme
numerico una divisione con divisore =0
Ricordiamoci che possiamo pensare la divisione
come l’operazione inversa della moltiplicazione
perciò
se
a*b= c è vero che c : b=a
Se avesse senso a:0 e fosse uguale ad un certo
numero d allora sarebbe vero anche che d*0=a,
mentre abbiamo detto che il risultato della
moltiplicazione per 0 è sempre 0
Proprio i il fatto che valgano certe
proprietà per le operazioni
fondamentali sarà ciò che ci
consentirà più avanti di chiamare
numeri anche cose strane, molto,
molto strane…
Elevamento a potenza
• Questa operazione può essere
considerata una moltiplicazione ripetuta,
ma in questo modo esauriamo tutti i casi di
elevamento a potenza?
• Cosa vuol dire 50 ?
• Oppure 71 e 00 ?
Definizione di elevamento a potenza
• E’ un' operazione che associa ad una coppia di
numeri a e n - detti rispettivamente base ed
esponente
-se n>1
il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a
an = a*a*a …..*a (per n volte)
-se n = 1 , per ogni a
a1 = a,
-se n = 0 , per ogni a≠0
a0 = 1,
Perché?
Proprietà delle potenze
•
•
•
•
•
prodotto di potenze di uguale
base
anam=an+m
quoziente di potenze di uguale
base
an : am=an-m
potenza di una potenza
(an)m=anm
prodotto di potenze con uguale
esponente
anbn=(ab)n
quoziente di potenze con uguale
esponente
an : bn=(a : b)n
giustificazione
an:an=1
( divisione di due "quantità" uguali )
ma a n : a n = a n-n = a 0
(proprietà delle potenze con stessa base)
quindi, per la proprietà transitiva
dell’uguaglianza,
si ha a 0 = 1
con a diverso da zero, infatti 0 0 non è
definito.
• Per coerenza con la definizione di potenza data
a un numero diverso da zero, sembrerebbe di
porre 00 = 1.
•
Le stesse proprietà delle potenze ci
permettono però di capire che non possiamo
prendere questa definizione per buona.
• Un'altra proprietà afferma infatti che
(a : b)n = an : bn: ma allora l'espressione (1 : 0)0
dovrebbe essere priva di significato da un lato
(perché 1 : 0 è priva di significato) mentre
dall'altro lato dovrebbe essere pari a
10 : 00 = 1 : 1 = 1.
C’è una operazione inversa
all’elevamento a potenza?
ab =c
Pensiamo un caso numerico
32 =9
• In realtà ce n’è due.
Come mai???
• E’ vero che
2√9=
3
• ma anche che
log39 =2
se a b = c
allora
logac =b
• Il logaritmo di un certo numero c in base a≠1,0
è quel numero a cui si deve elevare la base per
avere il numero dato,
ma dei logaritmi parleremo con più precisione in
altri insiemi numerici…
bibliografia
• G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon
• Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri
• Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli
• http://math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf
• http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Nu
meri.htm
• http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm
• http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/so
mm_cardinal/transfin.htm