Enrica Giordano
Facoltà di scienze della formazione
Esempi di interferenze costruttive tra
matematica e fisica nella scuola di base
Napoli 1 marzo 2007
Studenti della SMS Cairoli di Milano
Prof.sa Paola Bonelli Majorino
http://pctidifi.mi.infn.it/SeCiF/
http://pctidifi.mi.infn.it/FFC
F21 in progress
LUCE E VISIONE
http://pctidifi.mi.infn.it/lucevisione
LUCE, COLORE, ENERGIA
http://pctidifi.mi.infn.it/SeT
ASTRONOMIA
http://pctidifi.mi.infn.it/senisquipo/luce/index.htm
ONDE
www.df.unibo.it/ddf/Perc/Onde/Index_Onde.htm
La luce si vede?
Confondere un modello con la realtà è come
andare al ristorante e mangiare il menu (A.
Bloch)
La luce non si vede nel suo propagarsi, ma
negli occhi entra solo luce
La luce e i modelli
La discretizzazione dello spazio:
• la propagazione rettilinea e il modello a
raggi;
• la sorgente estesa come insieme di infinite
sorgenti puntiformi
• Figure di luce e di ombra come sezioni
degli spazi di luce e di ombra
Riempire l’ombra
Fasci di luce divergenti, forme e
dimensioni delle figure di luce e di
ombra, variazione della intensità
luminosa con la distanza
Similitudine/omotetia
T. proiettiva
Quante e quali
figure d’ombra
per un
quadrato
Scuola Media Statale "V. Zanelli" Cusano
Milanino - classe 3°B a.s. 1998/99
Se si tratta
di luce
a distanza d1 il lato misura L1=2L e l'area è A1=(2L)2
a distanza d2= 2d1 il lato misura L2=3L e l'area è A2=(3L)2
a distanza d3= 3d1 il lato misura L3=6L e l'area è A3=(4L)2
…………
L’INTENSITA’ LUMINOSA E’ PERTANTO INVERSAMENTE
PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA DISTANZA DALLA
SORGENTE.
I=k/d2
Quante e quali figure d’ombre per una lamina quadrata
"Il trapezio l'ombra a forma di trapezio non viene perché il sole manda i lati paralleli perché
non si può spostare avanti e indietro come la lampadina"
"Sì perché la lampadina la mettevamo vicina, il sole è lontano"
"Il sole li manda paralleli, perché dritti sono già dritti. Con la lampadina sono dritti ma non
paralleli“
(3 elementare, 8-9 anni)
“Mettendo sulla tavoletta di legno una lastrina [al sole] abbiamo osservato che l’ombra
cambiava cambiando la posizione della lastrina. Poggiandola su di un vertice e facendola
ruotare intorno alla diagonale avevamo sempre un parallelogramma e in una posizione
avevamo il rombo ed il segmento. Poggiandola su un lato e ruotandola avevamo tutti i rettangoli
e in una certa posizione c’era il quadrato. In un altro movimento si avevano tutti rombi e in
mezzo il quadrato. Abbiamo visto che mantenendo fera la lastrina e movendo la tavoletta, la
forma dell’ombra non cambiava se muovevamo la tavoletta sullo stesso piano o facendola
restare parallela al banco. Se teniamo la lastrina alzata e parallela al banco l’ombra era sempre
quadrata”
(1 media, 11-12 anni)
… a studiare le sezioni piane degli spazi d’ombra e dei fasci di luce
(proporzionalità diretta ed inversa, trasformazioni geometriche di
figure piane, proiezioni, affinità);
Fasci di luce paralleli, forme e
dimensioni delle figure di luce e di
ombra, variazione della intensità
luminosa con ……..
Sf
Trasformazione
affine
Un percorso per lo studio
delle funzioni nella scuola
secondaria di primo grado
Mentre veniva affrontato il discorso
in matematica, nelle ore di scienze la
classe studiava problematiche
ambientali (ruolo dell’atmosfera e in
particolare dell’ozono rispetto alla
radiazione UV) e esplorava sia indoor
che outdoor problemi legati alla luce.
Il concetto di funzione e la sua rappresentazione nel piano
cartesiano in seconda-terza media
I ragazzi già hanno usato il piano cartesiano nell’ambito della
geometria per rappresentare poligoni, simmetrie ecc.
Possiedono già anche il concetto di corrispondenza, di
corrispondenza biunivoca tra gli elementi di due insiemi.
Hanno studiato in prima relazioni del tipo “è multiplo di”, “è
divisore di”, “è la seconda potenza di ”, ecc.; quindi in generale
corrispondenze fra un insieme x e un insieme y di numeri
y=ax2+bx+c
a,b,c assegnati si fa variare x
Riportando nel piano cartesiano le
coppie ordinate (x,y) otteniamo punti
che individuano un arco di curva che
chiamiamo parabola.
Successivamente si fanno variare i
valori dei parametri e ogni volta si
costruiscono la tabella e il grafico
corrispondente.
per valori “piccoli”
di a la curva è “più
larga” o anche “sale
meno velocemente”;
2
y=ax +bx+c con a>0 e a<0
30,0
y
25,0
y=ax2 per diversi valori di a
y = x^2-5x+6
20,0
20,0
y = 2x
15,0
y = x 2 +4x+4
2
15,0
10,0
10,0
y =x2
5,0
5,0
0,0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y = 0,2x
5
2
0,0
y = -x^2-x+6
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
y = -0,2x 2
-5,0
-10,0
y = -x^2+1
y = -x 2
-15,0
-10,0
-15,0
Fenomenologia matematica
y = -2x 2
-20,0
“Prof vengono belle curve perché
la formula l’ha data lei”
Alcuni ragazzi pongono il problema se solo
alcune forme algebriche “privilegiate”
hanno un corrispondente grafico “con una
forma ben precisa”
Lasciar creare molte situazioni
soddisfacendo la crescente curiosità di
fronte a forme di curve molto diverse.
(foglio elettronico ma non solo)
Inventando forme algebriche con denominatori, radici
quadrate ecc sorgono problemi quali: i punti di infinito, i
domini, …su cui si riflette caso per caso.
il ruolo dell’esponente della
variabile x
I ragazzi domandano cosa succede se
eliminiamo il primo termine, ax2 .
Esaminiamo quindi le forme:
y = bx+c
y = bx
y=c
variando i parametri e confrontando le
forme ottenute con le precedenti:
“E’ la potenza di x che piega la retta.”
Modi base di crescere e decrescere
Andamento crescente
Andamento decrescente
la curva 1 A cresce sempre allo stesso
modo
la curva 1 B cresce all’inizio meno
velocemente e poi progressivamente
sempre più velocemente
la curva 1 C cresce all’inizio più
velocemente e poi progressivamente
sempre meno velocemente
la curva 2 A decresce sempre allo stesso
modo
la curva 2 B decresce all’inizio meno
velocemente e poi progressivamente
sempre più velocemente
la curva 2 C decresce all’inizio più
velocemente e poi progressivamente
sempre meno velocemente
Analisi percettiva e descrizione
verbale di tratti di curva crescenti e
decrescenti nelle funzioni studiate e
inventate prima
Avvio alle differenze finite
A incrementi x
uguali della
variabile
indipendente
corrispondono
incrementi y
positivi uguali
della variabile
dipendente.
A incrementi x
uguali della
variabile
indipendente
corrispondono
incrementi y
positivi via via
crescenti della
variabile
A incrementi x
uguali della
variabile
indipendente
corrispondono
incrementi y
positivi via via
decrescenti della
variabile
dipendente.
dipendente.
Si è poi ampliato lo studio introducendo le
seguenti funzioni per approfondire alla luce
delle acquisizioni precedenti diversi modi di
crescere:
y = ax, y = ax2 y= ax3 …. y= axn
spingendoci anche nello studio delle differenze
seconde, terze, ecc.
Ci è sembrato poi interessante condurre anche
uno studio approfondito e comparato delle
funzioni y = x2 e y = 2x considerando xN
per un approccio all’esponenziale.
Si considerano inizialmente per x solo numeri
naturali, perché i ragazzi non conoscono la
definizione di potenza con esponente razionale
(e tanto meno reale).
I ragazzi spesso pensano che non siano poi tanto
diversi i valori di n2 e 2n al variare di n.
Giocando con il foglio elettronico
Funzioni crescenti
E decrescenti
Tra 0 e 4
studio delle differenze
prime (y per x=1),
y=x2
y=2x
(0<x<4,2)
20,00
y=2 x
18,00
per y=x2 abbiamo la
successione dei numeri
dispari;
y=x 2
16,00
14,00
12,00
per y=2n , y= 2n+1-2n =
2n(2-1)= 2n;
10,00
8,00
6,00
la differenza é la
successione delle potenze
di 2.
4,00
2,00
0,00
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
y=1/x2
1/2x
Per analizzare diversi modi di
decrescere si sono studiate le funzioni:
y = -kx +a, y = k/x y= k/x2
scelte perchè sono modi di decrescere
caratteristici di varie grandezze fisiche.
(1<x<10)
y=1/x
1,00
2
0,90
0,80
0,70
Ci concentriamo quindi sull’andamento
delle funzioni y=k/x2 y=k/ax (k>0; a>1).
In particolare abbiamo scelto di
condurre un attento esame sul modo di
decrescere delle funzioni y = 1/x2 e
y = 1/2x, che ci avrebbe aperto la strada
alla formalizzazione dello studio della
variazione dell’intensità luminosa.
0,60
y=1/2
x
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
2
4
6
8
10
12
DALL’ESPERIENZA
QUOTIDIANA
A SITUAZIONI SPERIMENTALI CONTROLLATE
A MODELLI E TEORIE
Partenza da problemi di vita quotidiana e
problematiche complesse:
il problema del buco dell’ozono.
trasparente/opaco?
Un foglio di carta è trasparente?
Il vetro del box doccia?
L’acqua?
Trasparente: lascia passare la luce o vedere
attraverso?
Interferenza costruttiva
tra matematica e fisica
studio prima qualitativo poi
quantitativo delle variazioni
dell’intensità luminosa al variare della
distanza da una sorgente e al variare
dello spessore del materiale
attraversato, nel “laboratorio” di fisica
studio delle funzioni esponenziali nel
“laboratorio” di matematica
Dalle esperienze agli esperimenti per
scoprire le relazioni quantitative tra
variabili e il ruolo dei parametri.
L’intensità luminosa di una macchia di luce
“raccolta su uno schermo” a una certa
distanza da una sorgente dipende da……
Sorgente (forma del fascio, intensità,
monocromatico,…)
Mezzo interposto (natura e spessore)
Natura dello schermo
Rivelatore/occhio
La luce di un laser attraversa un
numero crescente di lastrine di
plexiglass
Dalle
relazioni
qualitative
alle misure
Intensità luminosa in funzione della
distanza
intensità lux)
distanza (cm)
35
3920
45
1350
55
695
65
420
75
290
85
225
95
180
105
140
115
120
125
100
135
74
145
64
155
57
165
52
175
47
185
42
195
38
Quando la luce incontra una lastrina di plexiglass
Per ogni lastrina l’intensità della luce incidente
(trascurando la parte riflessa) coincide con la intensità
della luce in uscita dalla lastrina trasparente.
A parità di materiale e spessore ogni lastrina trattiene
una percentuale determinata dell’intensità incidente.
L’intensità in uscita da una delle nostre lastrine è circa
l’80% di quella incidente Io;
I1= (4/5) Io
I2= (4/5) I1= (4/5)2 Io
………………………………….
In= (4/5) In-1= (4/5)n Io
Ix= (4/5)x Io
Cambiando materiale cambia il fattore (4/5) cambiando la
sorgente cambia Io (forma fascio)
Riscaldamento su fornello e raffreddamento in
ambiente di una massa d’acqua