Geometria descrittiva dinamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA
RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE
Presentazione in corso di costruzione
I collegamenti in elenco sono attivi
1 Considerazioni generali ed introduttive
2
3
4
5
(Vedi presentazione Tema 3/1)
L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta
Indagine esplicativa e deduttiva
Procedura applicativa o impositiva
Il materiale può essere riprodotto
citando la fonte
(attivo)
(attivo)
(attivo)
(attivo)
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla
dott.ssa Gabriella Mostacci
Autore
Prof. Elio Fragassi
L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (1)
Poiché le leggi dell’appartenenza e della contenenza vanno riferite agli elementi geometricorappresentativi degli enti fondamentali, ricordiamo, anzitutto, la seguente Tabella –A- riassuntiva degli
elementi fondamentali e delle rispettive caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi
rappresentativi e descrittivi
Tabella –AQuadro sinottico degli elementi rappresentativi degli enti fondamentali Punto, Retta, Piano
Ente o
elemento
geometrico
Punto
Retta
Piano
Didascalia
ente
P
r

Didascalia elemento
rappresentativo
Nomenclatura
elemento
rappresentativo
Caratterizzazione
geometrica elemento
rappresentativo
Caratterizzazione
fisica elemento
rappresentativo
Punto
Virtuale
P’’
1a proiezione o
1a immagine
2a proiezione o
2a immagine
Punto
Virtuale
T1r
1a traccia
Punto
Reale
T2r
2a traccia
Punto
Reale
r’
r’’
t1
1a proiezione o
1a immagine
Retta
Virtuale
2a proiezione o
2a immagine
Retta
Virtuale
1a traccia
Retta
Reale
t2
2a traccia
Retta
Reale
P’
L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (2)
Dati gli enti geometrici di cui sopra ed i relativi specifici elementi geometricorappresentativi, come sopra caratterizzati, è necessario stabilire le leggi geometriche
dell'appartenenza e contenenza o inclusione tra le seguenti combinazioni elementari.
Punto e retta
Retta e piano
Punto e piano
P rr P
r a a  r
P     P
Il punto P appartiene
alla retta r se e solo se
la retta r contiene il
punto P
La retta r appartiene
al piano  se e solo se
il piano  contiene la
retta r
Il punto P appartiene
al piano  se e solo
se il piano  contiene il
punto P
Reciprocamente
Reciprocamente
Reciprocamente
Se il punto P
appartiene alla retta r
allora, biunivocamente,
la retta r contiene il
punto P
Se la retta r
appartiene al piano 
allora, biunivocamente,
il piano  contiene la
retta r
Se il punto P appartiene
al piano  allora,
biunivocamente, il
piano  contiene il
punto P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (1)
Indagine esplicativa e deduttiva
Prendiamo in esame il punto e la retta
definendone la relativa legge di appartenenza
e/o contenenza come sintetizzata dalla
seguente espressione
P rr P
Le due rappresentazioni di fig. 01 e fig.
02 (punto e retta) hanno in comune un
solo elemento: la linea di terra lt – si
ricorda che la lt è costituita dal luogo
geometrico dei punti uniti- per cui è
possibile far traslare la rappresentazione
del punto P sulla rappresentazione della
retta r o viceversa facendo in modo che la
lt del punto P coincida con la lt della retta
r
Poiché dobbiamo stabilire, leggi geometriche valide in ogni caso e situazione, tra
enti diversi, per prima cosa è necessario analizzare e conoscere quali elementi
geometrico-descrittivi prendere in considerazione per la ricerca della specifica
legge
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2)
Indagine esplicativa e deduttiva
In questo caso possiamo prendere in considerazione le proiezioni del punto P(P';
P'') e le proiezioni della retta r(r'; r'') –retta punteggiata in quanto si
caratterizzano, fisicamente, con le stesse caratteristiche, come si evince dalla
Tabella – A Ricordando l’espressione insiemistico-descrittiva della retta, perché il punto P
appartenga alla retta r - Pr - è necessario accertare che P(P'; P'') sia un punto
di questo insieme e quindi delle relative espressioni delle proiezioni della retta r
 P  W   ! r
 

-
 P | P
 r
Pertanto è necessario verificare la sussistenza delle seguenti formalizzazioni
relative alle proiezioni della retta
r' 
 

-
r=
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Le formalizzazioni esposte esplicitano il rapporto tra le
proiezioni del punto e le proiezioni della retta chiarendo
che la proiezione r' è formata dalla sommatoria
orientata, dell’insieme di tutte le prime proiezioni del
punto P in movimento definito, così come anche r'' è
formata dalla sommatoria dell’insieme di tutte le
seconde proiezioni del punto P in movimento definito ed
orientato nello spazio del diedro
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (3)
Indagine esplicativa e deduttiva
Passando all’analisi grafica, sovrapponendo le due rappresentazioni, può accadere che si
presenti la situazione di cui alla fig.03, ed alla fig.04, rispettivamente nei diedri I e II
In questi casi accade che P’’ sta su r’’, quindi verifica la sommatoria
Mentre P’ non stando su r’ non verifica la sommatoria
Pertanto si ha:
r' 
r=
 

-
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
r'' 
 

-
r' 
 

-
 P'' | P''  r''
 P' | P'  r'
Data la posizione di P' non può affermarsi che P sia un
punto dell’insieme sommatoria che determina la retta r,
per cui in questo caso P non appartiene alla retta r: P r e,
reciprocamente, la retta r non contiene il punto P,: r  P
L’espressione sintetica si esplicita come di seguito
P rr P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (4)
Indagine esplicativa e deduttiva
Traslando ulteriormente il punto P e facendo coincidere, sempre, le due linee di terra può
accadere che si presenti la situazione grafica delle figg. 05 e 06 riferite ai diedri I e II.
In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria
r' 
 

-
Mentre P’’ non stando su r’’ non verifica la sommatoria
Pertanto si ha:
r=
r' 
 

-
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Data, la posizione di P'' non può affermarsi che P sia un
punto della sommatoria che determina la retta r, per cui, il
punto P non appartiene alla retta r ossia: Pr e,
reciprocamente la retta r non contiene il punto P, cioè: r P
L’espressione sintetica si esplicita come di seguito
P rr P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (5)
Indagine esplicativa e deduttiva
Infine, può accadere che continuando a traslare la proiezione del punto sulle proiezioni
della retta, o viceversa, le proiezioni della retta su quelle del punto, si presenti la
situazione grafica della fig.07 e della fig. 08 sempre riferita ai diedri I e II.
In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria
r' 
 

-
Ed anche P’’ sta su r’’ verificando completamente la sommatoria
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Possiamo affermare, quindi, che esiste un legame completo tra le proiezioni del
punto e le proiezioni della retta per cui, in questo caso, il punto P appartiene alla
retta r, cioè P r e, reciprocamente, la retta r contiene il punto P, cioè: r  P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (6)
Indagine esplicativa e deduttiva
In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa
dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico
descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva.
P’ r’
r' 
dove
P  r
P’’ r’’
 

-
 P' | P'  r'
dove
r 
 

-
dove
r'' 
 

-
 P | P  r
 P'' | P''  r''
La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di seguito
r’ P’
dove
r  P
r’’ P’’
r' 
 

-
 P' | P'  r'
dove
dove
r 
r'' 
 

-
 P'' | P''  r''
 

-
 P | P  r
Per la condizione di appartenenza si ha:
Per la reciproca legge di inclusione si ha:
Se le proiezioni di un punto appartengono
alle rispettive omonime proiezioni di una
retta allora, e solo allora, il punto
appartiene alla retta.
Se le proiezioni di una retta contengono le
rispettive omonime proiezioni di un punto
allora, e solo allora la retta contiene il
punto.
Procedura applicativa o impositiva (1)
Se la condizione deve essere imposta è necessario operare in modo tale che si verifichino
le graficizzazioni di cui si è discusso
Pertanto, data una retta r
rappresentata mediante le sue
proiezioni r’ ed r’’, volendo che sia Pr
dovrà costruirsi (quindi imporre) P’r’
e P’’r’’ in quanto è necessario imporre
che le proiezioni del punto siano
elementi geometrici delle seguenti
formalizzazioni
r' 
 

-
r=
r'' 
 

-
Se il dato iniziale, invece, è un punto P
e si vuole che esso appartenga ad una
retta r è necessario imporre,
graficamente, che le proiezioni della
retta passino (cioè contengano e
includano) per le proiezioni del punto.
Così operando il punto sarà elemento
delle formalizzazioni
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Poiché per un punto passano infinite rette (fascio di rette nel piano o stella di
rette nello spazio), è chiaro che, infinite saranno le proiezioni delle rette che
passeranno per le proiezioni del punto in relazione al tipo di forma fondamentale
(fascio di rette o stelle di rette)
Procedura applicativa o impositiva (2)
Allora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguito
P’ r’
P  r
dove
r' 
 

-
r 
dove
P’’r’’
 

-
 P | P  r
r'' 
dove
 P' | P'  r'
 

-
 P'' | P''  r''
la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente formalizzazione
r’ P’
r  P
dove
r' 
 

-
dove
r 
 P' | P'  r'
 P | P  r
r''    P'' | P''  r''
 

-
r’’ P’’
 
dove
-
Per la condizione di appartenenza si ha:
Per la reciproca legge di inclusione si ha:
Un punto appartiene ad una retta se, e solo
se, le proiezioni del punto appartengono alle
rispettive omonime proiezioni della retta
Una retta contiene un punto se, e solo se,
le proiezioni della retta contengono le
rispettive proiezioni del punto
Pr
P’r’ e P’’r’’
rP
r’P’ e r’’P’’