DISEQUAZIONI
•Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado
•Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili
•Disequazioni con valori assoluti
•Disequazioni irrazionali
Classe III
a.s. 2012/2013
Prof.ssa Rita Schettino
Disequazioni
PREMESSA
• Le slides seguenti danno appunti operativi per
risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate
nella copertina
• Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività
delle disequazioni lineari o delle disequazioni
fratte o dei sistemi di disequazioni che sono
reperibili in altre presentazioni sulla
medesima pagina
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Disequazioni
Segno di un trinomio di 2° grado
• Studiare il segno di un trinomio significa determinare
quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un
risultato nullo o positivo o negativo
• Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o
gli intervalli di  per cui il trinomio risulti nullo o positivo
o negativo
• Si comprende quindi che questa problematica rientra nel
determinare valori di una incognita per cui si verifichi la
uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la
sua negatività
• Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o
disequazioni (nel caso della positività o della negatività)
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Disequazioni
Segno di un trinomio di 2° grado
2
ax
 bx  c
• Dato quindi un trinomio di 2° grado
(scritto ovviamente in forma normale) si tratta di
determinare i valori reali di x per cui:
a) Il trinomio sia uguale a zero ax 2  bx  c  0
(equazione di 2° grado)
ax 2  bx  c  0
b) Il trinomio sia positivo
(disequazione di 2° grado)
c) Il trinomio sia negativo
ax 2  bx  c  0
(disequazione di 2° grado)
N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può
richiedersi anche  o  il cui significato è noto.
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Forma normale :
ax  bx  c  0 oppure
2
ax  bx  c  0
2
con a > 0
• Si risolvono seguendo due passi:
a) Risoluzione dell’equazione associata
b) Determinazione degli intervalli delle soluzioni
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• La dimostrazione di quanto segue fa parte del
corso in aula, qui ricordiamo le regole:
• L’equazione associata può ammettere
1) Due soluzioni reali e distinte x1  x2
2) Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2
3) Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2  C
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
a>0
• >0 x1  x2
forma normale
x1 = x2
x1 e x2 complesse
• <0 x1  x2
x1 = x2
x1 e x2 complesse
ax  bx  c
2
• Soluzioni: valori esterni
all’intervallo delle radici x1 e x2
• Soluzioni: tutti i numeri reali tranne
x1
• Soluzioni: tutti i numeri reali
• Soluzioni: valori interni all’intervallo
delle radici x1 e x2
• Nessuna soluzione
• Nessuna soluzione
N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la
ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2°
GRADO
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti valgono nel caso a>0
• Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i
coefficienti e il verso della disequazione e
riportarsi al caso precedente
• Oppure si determinano comunque le radici
dell’equazioni associata e le regole per gli
intervalli delle soluzioni della disequazione
sono all’incontrario delle precedenti
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
a<0
• >0 x1  x2
• Soluzioni: valori interni all’intervallo
delle radici: x1<x<x2
x1 = x2
• Nessun valore reale
x1 e x2 complesse
• Nessun valore reale
• Soluzioni: valori esterni all’intervallo
delle radici: x<x1, x>x2
• <0 x1  x2
x1 = x2
• Soluzioni: tutti i valori reali tranne
x1=x2
x1 e x2 complesse
• Tutti i numeri reali
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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Notiamo che (da memorizzare benissimo!):
Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE
SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE
 Bisogna guardare sia il segno del primo coefficiente
(a) sia il segno del trinomio
 Bisogna guardare la natura delle radici della
equazione associata: a seconda se sono distinte,
coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di
soluzioni
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
• Le regole precedenti si possono riassumere così:
• Dopo aver determinato le radici dell’equazione
associata si ha:
 Se le radici sono distinte
Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori
esterni
Discordanza tra a e il segno : valori interni
 Se le radici sono coincidenti
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato
tranne x1
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
 Se le radici sono complesse
Concordanza tra a e il segno: sempre verificato
Discordanza tra a e il segno: mai verificato
•
N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
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Disequazioni
DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE
AL SECONDO
• Le disequazioni algebriche di grado superiore al
secondo si risolvono riconducendole a disequazioni
di 2° grado
• Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni
di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono,
sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado.
• Es. x 4  2 x 2  0 Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema
2 x 6  3 x 3  2  0 È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado
e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado
14 x 4  2 2 x 2  1  0 È biquadratica quindi si svolge con le regole delle
disequazioni di 2° grado, per due volte
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN
NUMERO REALE (v. a.)
a
se a  0
• a =
- a se a < 0
vale a dire: è il numero
stesso se questo è  0, è il
suo opposto se è < 0.
Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il
valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento
(a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è  0 o < 0.
Ricordiamo inoltre che a  k  k  a  k e che a  k  a  k  a  k
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il
valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il
v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente
l’incognita?
• Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la
rappresentazione grafica degli intervalli di positività o
negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel
caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio)
x 2  5x  6  0
• Es.
x3  x
x 3  x 2  2x  0
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti
dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono
più di uno per cui bisogna considerare vari casi.
• Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni:
l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché
nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così
com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto
cambiato di segno perché l’argomento è
negativo.
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono
presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi
possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione
grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo.
• Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea
continua per indicare la positività dell’argomento, la linea
tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si
ha:
-3
0
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
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Quindi si risolvono in questo esempio tre casi:
• Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti
sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad
entrambi i segni
• Nell’intervallo -3  x < 0 in cui il 1° va sciolto
cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo
segno
• Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti
sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il
loro segno
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON VALORI ASSOLUTI
Disequazioni
• Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del
1° es.
• N. B. gli esempi presentano disequazioni; è
implicito che per le equazioni valgono le
stesse identiche procedure
• Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI
DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
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RIASSUMIAMO
Disequazioni
1. Si pongono tutti gli argomenti dei v. a.  0
2. Si rappresentano gli intervalli ottenuti sulla
retta reale, indicando con linea continua le
soluzioni e con linea discontinua le parti
rimanenti
3. Si procede con il primo caso relativo al primo
intervallo sulla retta, sciogliendo i v. a. a
seconda del loro segno (con il medesimo segno
se la linea è continua, con il segno cambiato se
la linea è discontinua)
4. Si arriva quindi ad una equazione o
disequazione senza v. a. che si risolve secondo
le regole consuete ottenendo le soluzioni
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Disequazioni
5. Queste soluzioni ottenute al punto 4 vanno
intersecate con l’intervallo che si sta
considerando nel presente 1° caso e così
termina la risoluzione del 1° caso
6. Si passa poi al 2° caso considerando il 2°
intervallo della retta fatta al punto 2 e si
sciolgono i v. a. tenendo presenti le linee
continue (stesso segno) e quelle discontinue
(segno opposto), ottenendo una seconda
equazione o disequazione
7. Le soluzioni del punto 6 si intersecano con
l’intervallo che si sta considerando e così via
fino all’esaurimento degli intervalli della retta
del punto 2
8. Le soluzioni dell’equazione o
disequazione data sono l’UNIONE delle
soluzioni ottenute nei punti precedenti
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Disequazioni
ULTERIORI CONSIDERAZIONI
• Quando si devono risolvere disequazioni del
tipo A( x)  k   si può procedere più rapidamente
risolvendo il sistema di disequazioni  k  A( x)  k
(perché é un sistema?)
• Quando si devono risolvere disequazioni del
tipo A( x)  k si può procedere risolvendo
A( x)  k , A( x)  k e unire le soluzioni delle due
disequazioni
• Le regole precedenti sono generali, queste
ultime valgono solo in questi casi
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Una disequazione si dice IRRAZIONALE se
l’incognita compare nel radicando di un
radicale
• È quindi del tipo n A( x)  B( x) o n A( x)  B( x)
• Può anche contenere più di un radicale, può
anche avere un numero reale al 2° membro
• Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali:
n
 A( x)  0 se n è pari
A( x)  
se n è dispari

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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con
indice dispari (le più semplici)
• Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n
(indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali
non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui
soluzioni sono quelle della disequazione data
• Ciò perché a  (o )b  a n  (o )bn con n dispari a e b  
si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari,
con l’elevamento a potenza
n
n

a

(o

)b

a

(o

)b
con
n
pari

a
e
b


• Ricordiamo che
• Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il
verso della disequazione solo se le basi sono positive
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice
è pari
A( x)  B( x)
• Cominciamo col tipo
 A( x)  0

• È equivalente al sistema
 B( x)  0

2
• Esaminiamo il sistema:
A
(
x
)

B
( x)

• A( x)  0 per l’esistenza del radicale (Dominio)
• B( x)  0 perché, dovendo essere maggiore del
radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo
• A( x)  B 2 ( x) elevando al quadrato entrambi i membri della
disequazione (che sono positivi per le condizioni
precedenti)
• Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
A( x )  B ( x )
• Esaminiamo il tipo
• È equivalente all’unione dei due sistemi
 A( x)  0 
 B( x)  0


2
B
(
x
)

0

A
(
x
)

B
( x)


• Esaminiamo il 1° :A( x)  0 per l’esistenza del radicale (Dominio)
• B( x)  0 perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione,
minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0
• Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la
disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo,
B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è
nella disequazione data
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Disequazioni
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
• Esaminiamo il 2°: B( x)  0 perché B(x) può essere anche
positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale
• A( x)  B 2 ( x) perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i
membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri
della disequazione data e non cambia ilverso della
disequazione
• Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio A( x)  0
perché viene ad essere implicita nella seconda condizione,
dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva
• Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
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Disequazioni
ESEMPI
x  2  3 1  6 x 2  12 x
7
x 1
 1
x 1
x  2  3 x 3 1
5
È di indice dispari (si elevano i due membri alla
terza potenza)
È di indice dispari e contiene una disequazione
fratta
È dello steso tipo del primo esempio
x  100
2
x 1
È dello stesso tipo del secondo esempio
x  5x  6  x  1  0
È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed
A( x)  B ( x)
è del tipo
È di indice pari ed è del tipo A( x)  B( x)
2
x 2 1 
x 4  4x
x2  x 
x2  4
x 1

2x 1
2 x  1 13

x 1
6
Sono di indice pari e contengono due radicali: si
imposta il sistema formato dalle condizioni dei
domini e dall’elevamento alla seconda dei due
membri
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Disequazioni
CONCLUSIONI
• Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di
qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella
tipologia giusta
• La risoluzione deve essere logica, secondo le regole
di ciascuna tipologia
• Le equazioni e disequazioni possono essere miste,
cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno
risolte con estrema attenzione procedendo per gradi
• Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro
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