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Curve e
superficie
prima parte:
coniche nel piano e nello spazio
le curve antiche
introduzione
 Linee e superfici come astrazioni percettive: specificazioni
del paradigma del tipo
 L’originaria doppia natura dei modelli geometrici delle curve
e delle superficie: come leggi del moto di un punto e come
sezione di corpi
 NOZIONI BASILARI
le antiche coniche
1. coniche come “luoghi solidi”
1.1 le coniche di Menecmo (380 a.C. – 320)
1.2 le coniche di Apollonio (262 a.C. – 190)
2. coniche come luoghi geometrici del piano
2.1 fuochi
2.2 direttrici ed eccentricità
Che forma ha? / Che forma è?
Curve e superficie come attributi della forma dei
corpi
Modello geometrico delle curve e delle superficie
curva
superficie
Percorso di un punto che
si muove a un grado di
libertà
Tessuto di un punto
che si muove a due
gradi di libertà
Inviluppo delle rette
tangenti
Inviluppo dei piani
tangenti
Interzezione tra due
superficie in uno spazio
3D
Movimento di una curva
(generatrice) su un’altra
curva (direttrice) a un grado
di libertà
Luogo legittimo
Luogo solido
Luoghi legittimi:
cinematismi piani e grafici delle Funzioni


La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta
da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è
dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in
movimento secondo una legge data come relazione
analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti
e soli i punti della curva): equazione della curva.
1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un
parametro (ad esempio il tempo)
x = f (t), y = g (t)


2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in una
sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare.
A esempio in forma polare…:
Tracciare una linea retta
;
Grado delle equazioni e ORDINI delle curve

Se f(x, y) è un
polinomio
(ridotto) di grado
m, la curva è
algebrica di
Ordine m (di
primo grado per
una retta, di
secondo grado
per una conica).
L’ordine ha il noto
significato
proiettivo del
massimo numero
di intersezioni
con una retta del
Il punto doppio si
conta due volte
L’ordine di una curva non dipende dal tipo
coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è
rappresentata la sua equazione poiché le relazioni
che permettono il passaggio da un sistema di
riferimento cartesiano a un altro sono lineari e
dunque l'ordine di una curva algebrica rimane
invariato quando si cambia sistema di riferimento.
Punti speciali di una curva







MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel
quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed
è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti
possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate.
NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte
e allora il punto si dice NODO;
CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel
punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro
senso.
ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere
immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.
ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite
evoluzioni.
Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di
tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.
Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o
coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI
FLESSO;
TANGENTE di una curva e
curva come INVILUPPO



La tangente in un generico punto A di una curva piana è la
posizione limite della secante in A e in un punto A' quando
A' tende a A.
il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime
traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella
funzione sua derivata prima y'(x).
La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti,
si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto
di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione
precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della
famiglia delle sue tangenti.
Luoghi legittimi:
cinematismi spaziali a due gradi di libertà e funzioni
rappresentati superficie


Superficie è ogni oggetto topologico localmente omeomorfo al
piano; lo si può immaginare descritto dal moto di una curva
(generatrice) lungo un’altra curva (direttrice) e dunque
assimilabile a un cinematismo a tre dimensioni e due gradi
libertà
In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di piani) una
superficie può essere descritta con funzioni di tre variabili, se
l’equazione è algebrica la si dice algebrica e il suo ordine
equivale al grado del polinomio. I piani sono superficie di primo
ordine, le quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche
del quarto…
1. STEROI TOPOI
(luoghi solidi)
ORTOTOMA
OXITOMA
AMBLITOMA
1.1 Coniche
di Menecmo
Cono
rettangolo
ORTOTOMA
Cono
acutangolo
OXITOMA
Cono
ottusangolo
AMBLITOMA
1.2 Coniche di Apollonio
superficie conica rotonda è il
luogo delle rette g (generatrici)
che passano per un punto V
(vertice) di una retta v (asse) e
che formano con v un angolo 
costante.
Sezione conica è la curva
(necessariamente chiusa) nella
quale un piano taglia una
superficie conica rotonda.
Un qualunque piano  (non passante per V) taglia la
superficie conica in una curva simmetrica lungo un
asse detto asse focale o asse principale della
sezione conica.
Tale asse focale è l’intersezione del piano  della
conica con il piano ad esso  che passa per l’asse v
della superficie conica e dunque è anche un piano di
simmetria della superficie.
L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi
A1 e A2, vertici principali della conica la cui
distanza 2a misura la lunghezza dell’asse focale.
Conica
(sezione)
Apside A1
Apside A2
2a asse focale
parabola
iperbole
ellisse
L’asse focale della sezione conica può
formare un angolo rispetto all’asse v
uguale, minore o maggiore di  (l’angolo
formato dalle generatrici g della
superficie) a seconda che il piano  sia
// a una, a due o a nessuna generatrice.
Nel primo caso  incontra al finito tutte
le generatrici tranne quella a esso // per
cui la curva, parabola, ha tutti punti
propri tranne il suo secondo vertice
principale. Nel secondo caso i vertici
della curva sono propri ma, essendo  //
a due generatrici, la curva, iperbole, ha
due punti impropri e dunque consta di
due rami. Nel terzo caso  incontra tutte
le generatrici al finito e quindi si
determina una curva, ellisse o in
particolare circolo, composta di tutti
punti propri che presenta anche una
coppia di vertici secondari agli estremi di
un secondo, minore, asse di simmetria
ortogonale.
Consideriamo sezione
conica qualunque
sezione piana della
superficie conica, e
dunque è una conica,
anche quella ottenuta
con un piano sezionante
che passi per il vertice
della superficie, solo che
in quel caso la curva si
riduce o a un punto o a
una coppia di rette
(distinte oppure
coincidenti) è detta
conica degenere.
circolo
conica degenere
Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si
deducono da quelle della superficie conica.
Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde
parallele di una superficie conica sono i punti di un piano
che passa per il vertice e che chiamiamo piano
diametrale coniugato alla direzione delle corde //.
Così sul piano  della sezione conica il luogo dei punti
medi di una schiera di corde // della curva è una retta
che viene detta diametro coniugato alla direzione delle
corde.
Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie
conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto
al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è
una retta che passa per V che viene detta diametro
coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue
che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri
coniugati passano per il centro della conica. Caso
particolare è quello in cui  taglia la superficie conica in
una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una
direzione // a  passa per la generatrice // a . Tutti i
diametri di una parabola sono // al suo asse.
Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la
tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel
diametro.
2-3. Dalle “diverse” coniche di
Apollonio alle coniche come diverse
manifestazioni di un unico ente
matematico
2.
Coniche come
luogo geometrico di
punti del piano
rispondenti a
proprietà metriche
2.1 fuochi
2.1 Distanze dai FUOCHI
Come il circolo è il luogo dei punti di un
piano equidistanti da un solo punto F
(centro), l’ellisse è quello dei punti per i
quali è costante la somma delle distanze
da due punti F1, F2 detti fuochi,
l’iperbole è il luogo dei punti per i
quali è costante la differenza delle
distanze da due fuochi F1, F2,
la parabola è il luogo dei
punti per i quali è uguale la
distanza da un punto F (fuoco)
e una retta d (direttrice).
direttrice
fuoco
2.2 direttrici
2.2
eccentricità
Le coniche si possono anche
definire come il luogo dei punti P di
un piano tali che il rapporto tra
la loro distanza PF da un punto F
detto Fuoco e la loro distanza Pd
da una retta d (corrispondente a F) detta
direttrice è sempre costante;
tale rapporto si dice eccentricità
e= PF/Pd , e per e=1, e<1,
e>1 la curva è rispettivamente
parabola, ellisse ed iperbole.
Significato fisico delle proprietà metriche
CURVE 2
proipprietà proiettive e
stereotomiche delle coniche
1. La relazione tra
proprietà metriche
e proprietà
stereotomiche:
Teorema di Quetelet
e Dandelin
4. Teorema di Quetelet e Dandelin.
In una superficie conica rotonda sezionata
con un piano  non // a una generatrice
(caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono
due sfere iscritte alla superficie conica e
tangenti al piano  nei fuochi F1 e F2 della
conica. Se  è // a una generatrice esiste
una sola sfera iscritta alla superficie e
tangente al piano  nel fuoco F della
parabola.
Inoltre i piani dei circoli di contatto delle
sfere iscritte con la superficie conica
intersecano il piano sezionante  nelle
direttrici della sezione conica.
Per dimostrare questa
proposizione si consideri
la sezione con il piano 
 e che passa per l’asse
v della superficie conica;
esso taglia la superficie
secondo due generatrici
g1 e g2 e individua su 
l’asse principale A1 A2
della conica.
In quel piano le due
sfere
iscritte
alla
superficie
conica
e
tangenti a  risultano
tagliate in due cerchi
massimi che si possono
disegnare facilmente uno
come il circolo (di centro
C1) iscritto al triangolo
VA1A e l’altro come quel
circolo (di centro C2) exiscritto del trilatero VA1A2
che ha centro sull’asse v.
È evidente che il
trilatero
VA1A2
rappresenta
le
tangenti
condotte
dai punti A1,e A2 ai
due circoli di centri
C1 e C2 nei punti
Q2, Q1, F2, F1, R2,
R1.
E
per
la
simmetria
del
cerchio
sono
ovviamente uguali i
due segmenti di
tangente che vanno
dai punti di contatto
R e Q ai punti
esterni A per i quali
si conducono tali
tangenti:
così A1Q1 = A1F1
A1F2 = A1R1.
e
Si vede dunque come sia A1Q1 +
A1R1 = 2a (lunghezza dell’asse
focale A1A2 della conica) e quindi
come un qualsiasi segmento di
generatrice compreso tra i due
circoli di contatto delle sfere
iscritte abbia estensione uguale
all’asse focale A1A2.
Si immagini uno qualunque di
questi segmenti di generatrice
P1P2 compresi tra i due circoli di
contatto intersecare il piano 
nel punto P.
I segmenti PP1 e PP2 (distanze di
P dai circoli di contatto) sono i
segmenti di tangenti condotte da
P alle due sfere iscritte e per la
simmetria della sfera si può
constatare che PP1 = PF1 e PP2 =
PF2 e concludere che PF1 + PF2 =
A1A2 = 2a, cioè che tutti i
possibili punti P della sezione
individuano
un’ellisse
poiché
sono tali per cui resta costante
(= 2a)la somma delle loro
distanze da F1 e da F2.
2. Coniche come trasformazioni
proiettive del circolo