1
La quantità di moto di una particella è un
vettore p così definito:
p = m•v
(massa x velocità)
I vettori p e v hanno la stessa direzione
La quantità di moto è una grandezza vettoriale che si
può pensare come misura della difficoltà che si incontra
per fermare un corpo
Es: un camion pesante ha più quantità di moto di una utilitaria che
viaggi alla stessa velocità
2
Newton espresse la sua seconda legge in termini di quantità di
moto (o momento lineare o momento):
La rapidità di variazione del momento di una particella è
proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed è
nella direzione di quella forza
F=
∆p
con F la forza media che agisce sul corpo
∆t nell’intervallo ∆t
m (v-v0) mv-mv0
∆v
=
=
=
da F = m a = m
∆t
∆t
∆t
p-p0
∆t
Nota Quantità di moto per velocità molto elevate: p=mv/
=
∆p
∆t
1-(v/c)2
3
Il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE
DELLA QUANTITA’ DI MOTO
afferma che se un sistema è chiuso e
isolato, cioè se nessuna particella entra o
esce dal sistema e se la risultante di tutte
le forze esterne (eventualmente) agenti sul
sistema è nulla, la sua quantità di moto
totale rimane costante.
se
F=
∆p
∆t
= 0 allora
∆p = 0 = p - p0
dove p0 è la q. di moto iniziale e p la q. di moto in un istante successivo
4
Un punto importante da ricordare quando si usa il principio di conservazione
della quantità di moto è che la q. di moto delle singole particelle di un sistema
isolato possono cambiare; tuttavia, in assenza di una forza esterna, la
risultante delle quantità di moto non varia.
Esempio 1
m2
m1
1.0 kg
La cordicella (massa trascurabile)
viene bruciata (forza trascurabile) e i
due corpi si allontanano
2.0 kg
v2
v1
2.0 kg
1.0 kg
Qual è la velocità di m2 ?
La forza elastica della molla è una forza interna al sistema e pertanto la
quantità di moto del sistema si conserva
5
Esempio 2
blocco di legno
fermo
proiettile
m1
v1
m2
m1 + m2
superficie priva
di attrito
vf
Un proiettile di 10 g si muove orizzontalmente con la velocità di 400 m/s e si
conficca in un blocco di 390 g inizialmente fermo su un tavolo privo di attrito.
Qual è la velocità finale del sistema costituito dal proiettile e dal blocco?
Poiché sul sistema non agiscono forze orizzontali la q. di moto si conserva
prima dell’urto:
Pi = m1vi
dopo l’urto:
Pf = (m1+ m2) vf
vf = 10 m/s
Oss. L’energia meccanica non si conserva, parte di essa viene
trasformata in calore
6
MOTO DI RINCULO DI UN FUCILE
Quando il fucile spara, la rapida espansione dei gas prodotti dall’esplosione
accelera il proiettile lungo la canna. Ma, al tempo stesso, i gas esercitano una
spinta all’indietro sul fucile, generando una forza di rinculo
a) prima dello sparo, la q. di
moto totale è 0
b) durante lo sparo, le due
forze che agiscono sul
proiettile e sul fucile sono
uguali ed opposte e pertanto,
istante per istante, p = 0
(trascuriamo le forze esterne)
c) quando il proiettile esce dalla
canna, p è ancora zero
7
Il razzo Atlas
Questo fu il veicolo con cui il 20 febbraio 1962
John Gleen divenne il primo americano in volo
orbitale attorno alla Terra
Un razzo si procura la spinta bruciando
combustibile ed espellendo i gas di scarico.
La forza esercitata dai gas di scarico sul
razzo spinge il razzo in avanti
La propulsione a getto è un’applicazione
interessante della terza legge di Newton e
del principio di conservazione della quantità
di moto
La descrizione del moto del razzo è complicata dal
fatto che la sua massa varia in continuazione: viene
espulsa una massa di gas di scarico con velocità ve
misurata rispetto al razzo. La q. di moto perduta
dal gas è uguale alla quantità di moto guadagnata
dal razzo (vr=ve ln(mi /mf)
dalla NATURA : I calamari e i polpi si spostano schizzando acqua con gran
forza dal corpo; l’acqua espulsa esercita una forza opposta sul calamaro o sul
polpo, spingendolo in avanti
8
Esempio 3
Un uomo di 70 kg e un ragazzo di
35 kg sono inizialmente fermi su
una superficie di ghiaccio levigata
(attrito trascurabile) Se i due si
spingono l’un l’altro e l’uomo si
allontana con la velocità di 0,3 m/s
rispetto al ghiaccio, quale sarà la
distanza tra di loro dopo 5 s ?
La risultante delle forze
esterne che agiscono sul
sistema uomo-ragazzo è
nulla
la quantità di
moto, che inizialmente è
nulla, resta nulla
Poiché la massa dell’uomo è il doppio di quella del ragazzo, la velocità del
ragazzo è il doppio di quella dell’uomo
Risposta: dopo 5 s. la distanza tra di loro è 4,5 m.
9
La conservazione della quantità di moto è
usata in particolare nell’ analisi della
collisione tra corpi siano essi particelle
subatomiche o automobili coinvolte in
incidenti stradali
10
Un URTO è un’interazione tra due corpi
la cui durata è molto più breve del
tempo di moto dei due corpi
Esistono tre tipi di urti: elastici,
parzialmente anelastici e totalmente
anelastici
Es: urto tra due palle da biliardo; urto tra due stelle
nello spazio
11
Negli URTI ELASTICI si conservano sia la quantità di
moto sia l’energia cinetica ( v. nota)
In un URTO ANELASTICO si conserva la quantità di
moto ma non la sua energia cinetica
Se gli oggetti rimangono attaccati dopo la collisione,
l’URTO E’ COMPLETAMENTE ANELASTICI
Negli urti completamente anelastici si perde la massima
quantità di energia cinetica
Nota: nella realtà gli urti non sono mai completamente elastici
12
URTI ELASTICI
applichiamo due respingenti ai carrelli posti su una guida metallica e
successivamente li spingiamo l’uno contro l’altro
v
-v
B
A
-v
A
v
B
i due carrelli si respingono mantenendo la stessa velocità con verso
opposto rispetto a quello iniziale.
13
URTI ELASTICI
p
iniziale
=p
finale
mv + m(-v) = m(-v) + mv
Ø=Ø
Ec iniziale = Ec
finale
½ mv2 + ½ m(-v)2 = ½ m(-v)2 + ½ mv2
mv2 = mv2
14
URTI ELASTICI
Se spingiamo il carrello A contro il carrello B, inizialmente fermo
v
v=0
A
B
il carrello A in movimento si ferma dopo aver urtato B
il carrello B fermo, acquista la velocità v
v = 0
A
v
B
15
URTI ELASTICI
p
iniziale
=p
finale
mv + 0 = 0 + mv
mv = mv
Ec iniziale = Ec
finale
½ mv2 + 0 = 0 + ½ mv2
se le masse sono diverse con m2 inizialmente ferma, le velocità finali sono:
V1 finale =
m1 – m2
m1 + m 2
V1 iniziale ; V2 finale =
2 m1
m1 + m 2
V1 iniziale
16
URTI ANELASTICI
Se applichiamo due palline di plastilina ai lati dei carrelli
li spingiamo l’uno contro l’altro …
v
-v
A
B
Dopo l’urto i due carrelli si fermano rimanendo
attaccati tra di loro a causa della plastilina
v=0
A
B
v=0
17
URTI ANELASTICI
p
iniziale =
p
finale
mv + m(-v) = 2mv
finale
0 = 2mv finale
v finale = 0
18
URTI ANELASTICI
Poniamo ora su uno dei due carrelli una massa
uguale a 50 g e li spingiamo l’uno contro
l’altro…
v
-v
A
B
A
qual’ è la velocità del blocco?
B
v = - 1/3
19
URTI ANELASTICI
p iniziale = p finale
mv + 2m(-v) = 3 mv finale
mv – 2mv = 3mv finale
-mv = 3mv finale
v finale = -mv/3m = -v/3
20
URTI ANELASTICI
se spingiamo un carrello contro l’altro fermo…
v
v = 0
B
A
v = 1/2
A
B
osserviamo che dopo l’urto il carrello in movimento, dopo essersi
attaccato a quello fermo, gli trasmette una velocità pari alla metà
di quella iniziale.
21
URTI ANELASTICI
p iniziale = p finale
mv + 0 = 2mv finale
mv = 2mv finale
v finale = mv/2m = v/2
se le masse sono diverse vfinale= (m1/ (m1+m2)) viniziale
pertanto Vfinale <
viniziale
Ec finale/ Ec iniziale = m1/ (m1+m2)
Questa formula indica la frazione di energia cinetica iniziale che il
sistema possiede ancora dopo un urto completamente anelastico
22
Il razzo Atlas
Il viaggio verso la Luna fu reso possibile da una
tecnologia in cui il propellente costituiva una
percentuale molto più alta della massa totale. Della
massa del missile Atlas, costruito negli anni '50 e
usato per portare in orbita i primi astronauti, circa il
97% era propellente. Quel razzo era stato descritto
come un "pallone di acciaio inossidabile", che
manteneva la sua forma grazie al gas pressurizzato
nel suo interno, usato anche per spingere il
propellente. Quello fu il veicolo con cui il 20 febbraio
1962 John Gleen divenne il primo americano in volo
orbitale attorno alla Terra. Poiché il serbatoio di
propellente era così leggero, l'Atlas sganciò due dei
suoi motori a razzo alla fine del primo stadio del suo
volo, e come la navetta continuò soltanto con il
terzo.
23
24