PROGRAMMA OPERATIVO NAZIONALE 2007-2013 - Obiettivo “Convergenza”
“Competenze per lo Sviluppo” -2007 IT 05 1 PO 007 F.S.E.-C-1-FSE-2007 448
“Con l’Europa: investiamo nel vostro futuro”
Corsi cofinanziati dal Fondo Sociale Europeo
Unione Europea
Fondo Sociale
Europeo
“RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica ”
Liceo Classico “A. Nifo”
Teorema di Pitagora
ISISS “A. Nifo” - Sessa Aurunca 2008
Prodotto finale
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Presentazione
…E’ il caso di presentarci…
Questo è il nostro prodotto finale, una breve presentazione del Teorema di
Pitagora, realizzato nel corsi PON di matematica 2007/2008 “RealityM@th.
Mondo reale e competenze in Matematica”
Un vivo ringraziamento ai nostri docenti: Prof. Volpicelli Antonio e Prof. Falso
Silvio e all’ISISS “A. Nifo”
Gli alunni del corso: RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica
Ciccariello Lina
D'Alterio Gaetana
De Luca Silvia
Del Vecchio Pasquale
Di Pinto Livia
Ferraro Maria
Iannone Marika
Landi Adriano
Marrucchiello Michele
Melucci Mariachiara
Migliozzi Caterina
Pagliaro Maria Michela
Palmieri Martina
Petrillo Adele
Pezone Lisa
Simone Geremia
Sorgente Mariangela
Tommasino Antonio
Zannini Giuseppina
Zippo Simone ,
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La vita di Pitagora
Pitagora nacque a Somo nel 575 ca. e morì a Metaponto nel
490°.C. e fu un importante matematico greco. Pitagora attorno al
530 a .C. lasciò Somo per stabilirsi a Crotone, dove fondò una setta
religiosa e politica di orientamento aristocratico e una scuola
filosofica la cui attività contribuì a rendere la città il più importante
centro della Magna Grecia. Pitagora quasi certamente non scrisse
nulla: il suo pensiero e le sue dottrine, nati tradizionalmente con il
nome di pitagorismo, ci sono giunte attraverso le opere dei discepoli.
È pertanto difficile distinguere il loro contributo teorico dal nucleo
originario, direttamente riconducibile al maestro.
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Pitagora e i numeri irrazionali
Pitagora, oltre ad essere noto per il suo famoso teorema, fece
importanti studi su i numeri irrazionali. I numeri irrazionali sono tutti
quei numeri non esprimibili come il quoziente di due numeri interi, e in
forma decimare, un numero irrazionale emette una serie infinita di
cifre decimali, che non si riduce mai alla ripetizione periodica di uno
stesso gruppo di numeri. I numeri irrazionali inoltre, furono inventati
per necessità di ampliare l’insieme dei numeri, che emerse dallo studio
della geometria: infatti la lunghezza della diagonale di un quadrato di
lato uguale a una unità, così come il rapporto tra una circonferenza e
il suo raggio, non possono essere espressi da un numero razionale
Simili
considerazioni
hanno
portato
all’introduzione del sistema dei numeri reali,
composto dai razionali e dagli irrazionali.
Sono numeri irrazionali, ad esempio √2 =
1,4142135623… e π = 3,1415926535…
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Pitagora : il Teorema
Il teorema è attribuito a Pitagora, ma in realtà la sua storia è molto più
complessa e le sue origini risalgono almeno ad un migliaio di anni prima
che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Infatti in Cina il
teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di
Pitagora.
La dimostrazione originale purtroppo è andata perduta, ma dalla figura
ritrovata si può risalire a tale dimostrazione in linea generale.
Se si indicano con a e b i cateti e con c l’ipotenusa di un
triangolo rettangolo, il quadrato di lato a+b si può
considerare composto di 8 triangoli (gialli e bianchi) e del
quadratino di lato b-a (rosso), o anche del quadrato
sull’ipotenusa c (giallo e rosso) e di quattro triangoli
(bianchi), da cui si ricava la relazione 4ab+ (b-a) = c +2ab.
Sviluppando (b-a) = b + a-2ab, si ottiene 4ab+b+ a-2ab =
c+2ab, cioè b+a= c, quindi il teorema di Pitagora.
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TEOREMA
+
=
A
Quadrato
costruito sul
cateto AB
C
B
Sia ABC un triangolo rettangolo,
retto in B
Quadrato
costruito sul
cateto BC
La somma dei quadrati costruita sui cateti AB e BC è equivalente al
quadrato costruito sull’ipotenusa AC.
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Dimostrazione
Si costruisca un quadrato DEFG avente lato uguale alla somma dei cateti AB e BC
su esso si scelgano i punti H, I, L, M
In modo che il segmento EI abbia la stessa lunghezza del cateto BC,
D
M
A
G
B
C
il segmento IF abbia la stessa lunghezza del cateto AB,
H
N
L
il segmento FL abbia la stessa lunghezza del cateto AB
il segmento GL abbia la stessa lunghezza del cateto BC
E
I
F
Sia N l’intersezione della congiungente L, H con la
congiungente I, M.
Osserviamo che la retta congiungente M ed I è parallela al lato GF
la retta congiungente H e L è parallela al lato EF.
Quindi i quadrilateri DMHN, MGLN, NLFI e HNIE sono tutti rettangoli.
In particolare, DMNH e NLFI avendo una coppia di lati adiacenti uguali per costruzione sono
quadrati: il primo di lato uguale a BC; il secondo di lato uguale ad AB.
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Si costruisca un quadrato D’E’F’G’ avente lato uguale alla somma dei cateti AB e BC
su esso si scelgano i punti H’, I’, L’, M’,
in modo tale che i segmenti E’I’ F’L’ M’G’ D’H’ abbiano la stessa lunghezza del cateto BC
I segmenti I’F’ L’G’ D’M’ E’H’ abbiano la stessa lunghezza del cateto AB
A
D’
M’
G’
B
L’
H’
E’
I’
F’
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C
L’area del rettangolo NLGM è il doppio dell’area del triangolo rettangolo I’F’L’ per costruzione,
la somma delle aree dei due rettangoli NLMG e NIHE
è uguale alla somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli I’F’L’, L’G’M’, M’H’D’, H’E’I’.
Essendo le aree dei due quadrati DEFG e D’E’F’G’ uguali per costruzione
Figura F2
Figura F1
D
M
G
D’
G’
M’
L’
H’
H
N
L
E
I
F
I’
E’
F’
l’area della figura F1 che si ottiene da DEFG togliendo i due rettangoli
e quella della figura F2 che si ottiene da D’E’F’G’ togliendo i quattro triangoli rettangoli devono coincidere.
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I due quadrati della figura F1 sono equivalenti ai quadrati costruiti sui cateti del triangolo ABC per costruzione
Resta da dimostrate che il quadrato della figura F2 è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.
A
D
Figura F2
Figura F1
M
B
M’
L’
H
N
I
L
F
H’
I’
il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa del triangolo ABC. Infatti ognuno di essi è
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che per costruzione ha i cateti uguali ai cateti del triangolo ABC.
Quindi il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa AC del triangolo di partenza e tutti
gli angoli retti ed è pertanto un quadrato equivalente a quello costruito sull’ipotenusa.
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SUCCESSIVA
C
Inoltre l’angolo ad ognuno dei suoi
vertici, per esempio l’angolo H’I’L’ è
supplementare della somma degli
angoli H’I’E’ ed L’I’F’. (la somma forma
un angolo di 180°)
A
Figura F2
D’
G’
M’
D’altra parte H’I’E’ è uguale
all’angolo in C del triangolo ABC
BB
L’
H’
l’angolo L’I’F’ è uguale
all’angolo in A dello stesso
triangolo.
E’
I’
F’
L’angolo H’I’L’ coincide con il supplementare della somma degli angoli in
C e in A del triangolo ABC
e deve coincidere con il terzo angolo (in B) che per ipotesi è retto.
PRECEDENTE
SUCCESSIVA
C
Quindi il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa AC del
triangolo di partenza e tutti gli angoli retti ed è pertanto un quadrato
equivalente a quello costruito sull’ipotenusa.
M’
L’
H’
Quadrato
costruito
sull’ipotenusa AC
I’
Quadrato
costruito sul
cateto AB
A
B
C
Quadrato
costruito sul
cateto BC
F INE
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