A.Martini
IL TEOREMA DI
PITAGORA GENERALIZZATO
Consideriamo un triangolo scaleno
Consideriamo un triangolo scaleno
Consideriamo un triangolo scaleno
C

b
A

a

H c
B
Adesso scomodiamo la
matematica per fare
una serie di operazioni
su questo triangolo
scaleno
Non chiedertene il
motivo.
Lo so che sembrano
operazioni inutili o
comunque gratuite
Ne capirai il
significato solo alla
fine della
dimostrazione.
Abbi pazienza: è così
che si procede di
solito.
Io non ti spiegherò
ogni singolo passaggio:
per esercizio cerca di
capirlo da solo,
i passaggi che non
comprendi segnateli
sul quaderno delle
domande e poi chiedi
spiegazione al prof.
C

b
A

a

H c
B
C

b
A

a

H c
AB =AH + HB
B
C

b
A

a

H c
AB =AH + HB
AH = b cos 
B
C

b
A

a

H c
AB =AH + HB
AH = b cos 
HB = a cos 
B
C

b
A

a

H c
AB =AH + HB
AH = b cos 
HB = a cos 
AB = c
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
AB =AH + HB
AH = b cos 
HB = a cos 
AB = c
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
B
C

a insegna la
E’ possibile,
come ci
b
trigonometria, passare da questa ad


B
A
altre formule corrette
sostituendo ad
H c
= b cos corrispondente
+ a cos 
ogni letteracquella
successiva, seguendo una rotazione in
senso antiorario (o orario).
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a =
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a =c
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a = c cos 
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a = c cos + b
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a = c cos + b cos 
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a = c cos + b cos 
b = a cos + c cos 
B
C

b
A
a


H c
c = b cos  + a cos 
a = c cos + b cos 
b = a cos + c cos 
B
C

b
a

A
moltiplichiamo
H c
ambo i membri per:
c
c = b cos  + a cos 
-a
a = c cos + b cos 
b
b = a cos + c cos 

B
C

b
a

A
moltiplichiamo
H c
ambo i membri per:
c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a
a = c cos + b cos 
b
b = a cos + c cos 

B
C

b
a

A
moltiplichiamo
H c
ambo i membri per:
c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a
-a2 = -ac cos - ab cos 
b
b = a cos + c cos 

B
C

b
a

A
moltiplichiamo
H c
ambo i membri per:
c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a
-a2 = -ac cos - ab cos 
b
b2 = ab cos + bc cos 

B
C

b
A
a

sommiamo
membro a membro:

H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
B
C

b
A
a

sommiamo
membro a membro:

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b
A
a

sommiamo
membro a membro:

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

B
H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos
+ bc cos 
C

b

A
semplifichiamo:
a

H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + bc cos 
B
C

b

A
semplifichiamo:
a

H c
c2 = bc cos  + ac cos 
-a2 = -ac cos - ab cos 
b2 = ab cos + bc cos 
c2 -a2 + b2 = bc cos  + bc cos = 2bc cos 
B
C

b
A
a


H c
c2 -a2 + b2 = 2bc cos 
B
C

b
A
a


H c
c2 -a2 + b2 = 2bc cos 
-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos 
B
C

b
A
a


H c
c2 -a2 + b2 = 2bc cos 
-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos 
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

b
A

a

H c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

b
A

a

H c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

b
A

a

H c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

a
b
A


H
c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

a
b
A


H
c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

a
b
A


H
c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
B
C

a
b
A


H
c
B
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
Teorema di Pitagora generalizzato:
Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è
uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due
lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno
dell’angolo fra essi compreso.
La
SOMMA DI DUE VETTORI
con il teorema di Pitagora generalizzato
Adesso applichiamo
questo teoria
matematico ad un
caso particolarmente
utile:
Consideriamo due
vettori qualsiasi e
sommiamoli
graficamente, come
sappiamo già fare.
n
m
n
m
n
m
V
n
m
n
h
m
V
n
h
m
V
n
h
m
V
h
n
V
h


m

n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
n
V
h


m

n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
n
V
h



m
V2 = m2 + n2 - 2mn cos 
n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
n
V
h



m
V2 = m2 + n2 - 2mn cos 
poiché è:

n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
n
V
h



m
V2 = m2 + n2 - 2mn cos 
poiché è:
si ha:

coscos
n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
n
V
h



m
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
poiché è:
si ha:

coscos
n

h
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V
n

m
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
Come vedi, si può
calcolare l’intensità
del vettore risultante
tra due vettori senza
fare disegni
conoscendo
l’intensità dei due
vettori e
l’angolo fra essi
compreso
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V
n

m
V = m2 + n2 + 2mn cos 
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
n
V
h


m

n

h
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
n
V
h


m
h = n sen 

n

h
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
n
V
h



m
h = n sen 
h = V sen 
n

h
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
n
V
h



m
h = n sen 
n sen = V sen 
h = V sen 
n

h
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos 
n
V
h



m
h = n sen 
h = V sen 
n sen = V sen 
sen = (n/V) sen 
n

h
Come vedi, si può
determinare la
direzione del vettore
risultante, calcolando
l’angolo fra la sua
direzione e quella di
uno dei due vettori
componenti
Come vedi, si può
determinare la
direzione del vettore
risultante, calcolando
l’angolo fra la sua
direzione e quella di
uno dei due vettori
componenti
n
V


m
sen = (n/V) sen 
Esercizio
Esperienze
Teoria:
la reazione vincolare
La 1^ condizione di equilibrio
Come pesare un carrello “senza” bilancia
ESERCIZIO
S2=30m
70°
S1=46m
Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro,
mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per
raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella
direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con
la rossa un angolo di 70°.
Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una
sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il
sacco.
S2=30m
Sapresti
indicargli che cosa fare?
70°
S1=46m
S2=30m
70°
S1=46m
Ti suggerisco solo la
risposta perché tu
possa controllare se
hai fatto bene.
Procedi per 59,1 m in
direzione 28,5° rispetto
alla direzione rossa
fine