INTRODUZIONE ALLA
TEORIA
DELLA
PROBABILITÀ
ORIGINI DEL CALCOLO
DELLA PROBABILITÀ
1324
Terzina del canto VI del Purgatorio
di Dante («canto di Sordello»):
Quando si parte il giuoco della zara
colui che perde si riman dolente
ripetendo le volte e tristo impara
ORIGINI DEL CALCOLO
DELLA PROBABILITÀ
1324
Terzina del canto VI del Purgatorio
di Dante («canto di Sordello»):
Quando termina il gioco della zara,
colui che ha perso rimane triste e solo,
riprova invano i tiri ed impara suo malgrado
1640
Non
Risposta
riuscivano
di Galileo
a
comprendere
a un quesito come
mai
postogli
ottenere
da alcuni
10 o
11
giocatori,
fosse più
sempre
facile
che
sul gioco
fare 9della
o 12 zara
Galileo Galilei
(1564-1642)
INTERESSE PER I
GIOCHI D’AZZARDO
Il termine “ALEATORIO”
deriva dal latino
ALEA = DADO
“AZZARDO” deriva dall’arabo
ZAR =DADO
1654
carteggio tra
Pascal e Fermat
Il cavaliere De Méré,
fanatico giocatore,
pone alcuni quesiti a
Pascal
Pierre de Fermat
(1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662)
1700
Grandi passi ad
opera di Bernoulli
e De Moivre
Abraham De Moivre
(1667- 1754)
Jacques Bernoulli
(1654-1705)
1800
Laplace definisce i
fondamenti del calcolo delle
probabilità
1900
Il concetto di probabilità viene
generalizzato.
De Finetti, Von Mises,
Kolmogorov costruiscono la
teoria della probabilità, a
partire da diverse definizioni
ANZITUTTO…
QUALI SONO
“GLI OGGETTI?”
U = spazio degli eventi
Insieme dei
possibili esiti
di un “esperimento”
ESEMPIO
ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO = QUALUNQUE
SOTTOINSIEME DI U
EVENTO ELEMENTARE =
QUALUNQUE
SOTTOINSIEME DI U
CONTENENTE UN SOLO
OGGETTO
U = EVENTO CERTO
Ø = EVENTO IMPOSSIBILE
DUE EVENTI SI DICONO
INCOMPATIBILI
SE AB = Ø
MA ORA È
VENUTO IL
MOMENTO DI
CHIEDERSI…
COS’È LA
PROBABILITÀ DI
UN EVENTO?
UNA PROVOCAZIONE:
“PROBABILITY
DOES NOT EXIST”
Bruno De Finetti
DEFINIZIONI DI
PROBABILITA’
•
•
•
•
CLASSICA (Laplace)
SOGGETTIVA (De Finetti)
FREQUENTISTA (Von Mises)
ASSIOMATICA (Kolmogorov)
DEFINIZIONE CLASSICA
Pierre Simon de Laplace
(1749-1827)
Probabilità = rapporto tra i
casi favorevoli al verificarsi
dell’evento e i casi possibili
DEFINIZIONE SOGGETTIVA
Bruno De Finetti
(1906-1985)
Probabilità = quanto un
soggetto coerente è
disposto a scommettere sul
verificarsi dell’evento
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
Ludwig Edler Von Mises
(1881-1973)
Probabilità =rapporto tra il
numero di “successi” dell’evento
e il numero di “esperimenti”
effettuati
DEFINIZIONE ASSIOMATICA
Andreij Nikolaevicz Kolmogorov
(1903-1987)
Probabilità = un numero reale
compreso tra zero e uno,
soddisfacente alcuni assiomi
PER RAGIONI DI
CARATTERE DIDATTICO,
UTILIZZEREMO UN
MODELLO “IBRIDO” CHE
SI BASA
PRINCIPALMENTE SULLA
DEFINIZIONE OGGETTIVA
E SU QUELLA
ASSIOMATICA
ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ
la probabilità di un evento E è un
numero reale compreso tra 0 e 1
0  p(E)  1
La probabilità dell’evento certo è 1,
inoltre, se un evento E ha probabilità
1, allora E è l’evento certo
p(E) = 1 E=U
Se A e B sono due eventi
incompatibili, allora la probabilità
dell’evento unione è uguale alla
somma delle probabilità dei due
eventi
AB=  p(AB)=p(A)+p(B)
TEOREMI
• p(Ø) = 0
• p(AC) = 1 - p(A)
• AB  p(A)  p(B)
• p(A - B) = p(A) - p(AB)
• p(AB) = p(A) + p(B) –p(AB)
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Dati due eventi A e B di uno stesso
esperimento aleatorio, la probabilità
CONDIZIONATA di A rispetto a B
P(A|B)
è la probabilità che si verifichi A
supponendo di sapere che si è
verificato B
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Se p(A|B) ≠ p(A) si dice che
A e B sono DIPENDENTI
Se p(A|B) = p(A) si dice che
A e B sono INDIPENDENTI
TEOREMI
TEOREMI
A1, A2, … An eventi tali che
A1A2 … An = U, AiAj =  per ogni ij
B evento dello stesso spazio U che si è verificato
TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI
TEOREMI
A1, A2, … An eventi tali che
A1A2 … An = U, AiAj =  per ogni ij
B evento dello stesso spazio U che si è verificato
FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”)
TEOREMI
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
(SCHEMA DELLE “PROVE RIPETUTE” DI BERNOULLI)
A evento con p(A)=p, B evento contrario con p(B)=q
L’ esperimento è ripetuto n volte nelle stesse condizioni.
La probabilità che A si verifichi esattamente k volte è: