9. Lo stadio finale di una stella
Abbiamo visto che una stella come il Sole, non si può assimilare ad una
sfera di plasma autogravitante, e che se così fosse avrebbe una vita
molto breve.
In una semplice sfera composta da un gas classico autogravitante non c’è
possibilità di equilibrio termodinamico. La sfera irradia calore e quindi si
contrae, ma contraendosi si scalda sempre di più al suo interno e tende
quindi a diventare sempre più calda rispetto all’universo, avviandosi
rapidamente verso una fase di instabilità
In questo cammino catastrofico verso la fine, l’energia termonucleare (un
qualcosa che in una semplice sfera autogravitante non esiste) può solo
rallentare il processo.
Una stella è comunque destinata a morire. La fine di una stella può essere
violenta –una esplosione- o può essere lenta.
In questo contrasto tra:
• autogravità: che tende a fare contrarre ( e quindi scaldare al suo interno) la stella
• termodinamica: che vorrebbe invece che la stella si raffreddasse nel cedere calore
• le reazioni nucleari che possono solo rallentare il processo
Oggi si ritiene che tutte le stelle concludono la loro vita con uno dei 4 possili
scenari qui elencati:
1.
Non rimane niente: si ha una esplosione finale che disperde tutta la materia di cui è
composta la stella nel mezzo interstellare. Una vera vittoria della termodinamica.
2. Rimane una “nana bianca”: il nucleo centrale della stella “esausto” , inizialmente caldo che
lentamente si raffredda (non è più una sfera autogravitante, vedremo perchè)
3. Rimane una “stella di neutroni”: il nucleo imploso di una stella che ha subito una forte
evoluzione. Una stella di neutroni può essere osservabile come pulsar.
4.
Rimane un “buco nero”: una vera e propria vittoria dell’autogravità
Nane Bianche
Una Nana Bianca ha tipicamente una massa M  1M  ma un raggio pari a circa quello della
Terra, cioè un centesimo di quello del Sole e ha quindi una densità pari a un fattore 1003 = 106
la densità del Sole.
Nana Bianca = [1 M  / (4/3  x R 3)] x 106 = 1.4 x 106 gm cm-3
Se in una Nana Bianca abbiamo esaurito il combustibile nucleare (o abbiamo solo elementi
relativamente pesanti, per cui serve una temperatura interna più elevata di quella disponibile),
cosa mantiene stabile una Nana Bianca contro la sua stessa autogravità ?
Oggi sappiamo che la pressione interna che bilancia l’autogravità in una Nana Bianca è la
“pressione degenere di un gas di elettroni”. Rivediamo di che si tratta:
Sappiamo dalla Meccanica Quantistica che gli elettroni sono fermioni e obbediscono pertanto al
Principio di esclusione di Pauli:
Non possono esistere due elettroni aventi esattamente lo stesso stato quantico
Sappiamo inoltre che la conoscenza dello stato quantico di una particella è limitato dal
Principio di indeterminazione di Heisenberg:
(x) (px) > h
In un gas di elettroni (che assumeremo neutro, composto cioè anche di ioni
positivi) la combinazione del
Principio di esclusione di Pauli
+
il Principio di indeterminazione di Heisenberg
implica che il gas esercita una pressione indipendentemente dalla temperatura
(al limite anche a temperatura T = 0 °K !!)
Pressione classica: la pressione deriva dal moto di agitazione termica e quindi
Se T = 0° K  P = 0
Pressione degenere: ad alte densità la distanza x fra una coppia di elettroni è
piccolissima. I due elettroni dovranno avere momenti della quantità di moto px che
differiscono almeno per px > h/x, altrimenti violerebbero il principio di Pauli
Quindi ad altissime densità (anche con T=0 °K) gli elettroni avranno px elevatissimi
Quindi ad altissime densità, gli elettroni avranno velocità v=p/me. Il grande moto
caotico che ne deriva produce una pressione molto più elevata della pressione del
moto di agitazione termica. Questa è la pressione che bilancia la gravità nelle Nane
Bianche e ne previene il collasso.
x
gravità
x
px
gravità
h
px
x
gravità
h
px
x
px
gravità
NO ! Viola il Principio di Pauli !
x
gravità
x
px
gravità
h
px
x/2
gravità
h/2
px
x/2
px
gravità
NO ! Viola il Principio di Heisenberg !
x
gravità
x
px
gravità
h
px
x/2
h
2xpx
gravità
x/2
2xpx
gravità
OK !!
Si dimostra che la pressione degenere di un gas di elettroni è data da:
Pe = 0.0485 h2 ne5/3 / me
dove: ne = densità numerica di elettroni (nr elettroni per cm3)
Essendo la Nana Bianca neutra, vi sarà una densità numerica di ioni n+ pari a:
n+ = ne / Z
(dove Z = numero atomico)
La densità di materia in questo gas sarà quindi data da:
 = A mp n+ + mene A mp n+ (dove A = peso atomico)
(trascurabile)
da queste due formule si ricava:
ne = (Z ) / ( A mp)
Pe = 0.0485 (h2/me) (Z / A)5/3 ( / mp)5/3
Vedremo nel seguito che la dipendenza Pe  5/3 ha delle implicazioni per la
dipendenza massa-raggio delle Nane Bianche
Cosa possiamo intanto affermare qualitativamente sulla dipendenza massa-raggio
per un Nana Bianca, cioè per una sfera di gas in cui è la pressione degenere degli
elettroni che contrasta il collasso gravitazionale ?
• Dato che: Pe  5/3
• se una Nana Bianca è più “pesante”, per effetto dell’autogravità tende sempre più a
a restringersi e quindi la su densità interna aumenta.
• aumentando la densità, aumenta la pressione degenere degli elettroni Pe , e
questo fino a quando la pressione degenere non è di nuovo in grado di bilanciare
il collasso
• quindi ci aspettiamo che una Nana Bianca più massiva sia più piccola di una
leggera, poiché per trovare equilibrio ha bisogno di essere molto densa
0.8 M
0.4 M
Vediamo di ricavare una relazione quantitativa per la dipendenza massa-raggio
Ragionando sul Sole, avevamo visto che la
pressione interna di una sfera di massa M è data
da:
Pc  G M2/ R4
questa è la pressione che necessita di essere
bilanciata per evitare il collasso
Imponendo quindi :
Pc = Pe
e cioè:
G M2/ R4 = 0.0485 (h2/me) (Z / A)5/3 ( / mp)5/3
e assumendo:
 M / (4R3/3)
(in effetti la densità centrale è più alta)
Si ottiene:
R (h2 / G me mp5/3) (Z/A)5/3 M-1/3
Cosa succede in una Nana Bianca quando M > 1 M ?
• La gravità associata con una Nana Bianca “pesante” comprime l’oggetto a
densità sempre più elevate, fino a che non si ottiene la pressione degenere
sufficiente.
• Ne risulta una distanza media fra gli elettroni x sempre più piccola, e di
conseguenza gli elettroni guadagneranno un momento px sempre più elevato in
accordo con px > h / x
• A un certo punto, il corrispondente aumento non relativistico delle velocità
vx = px / me
dovrà necessariamente saturare, in quanto vx comincerà ad avvicinarsi a c
• Quindi, quando si cominciano ad avere densità altissime, ci aspettiamo che la
corrispondente pressione degenere cresca meno rapidamente che Pe  5/3 e
infatti si dimostra che nel caso relativistico
Pe  (hc/mp4/3) (Z/A)4/34/3
Quindi Nane Bianche molto pesanti tenderanno ad avere raggi ancora più piccoli
di quanto stabilito dalla relazione massa-raggio trovata nel caso non relativistico
• Un importante risultato ottenuto da Chandrasekhar è la dimostrazione che in un
gas di elettroni relativistici, se M > 1.4 M il valore di pressione degenere
necessario per controbilanciare il peso si riduce virtualmente a zero.
• Cioè la massima massa consentita ad una Nana Bianca è 1.4 M 
La sorgente di luminosità in una Nana Bianca
• Ci chiediamo: Ma se una Nana Bianca ha esaurito il combustibile nucleare,
come mai ha una sua (pur debole) luminosità ?
• La luminosità è il residuo della agitazione termica della fase precedente di
stella.
• Ma la Nana Bianca non è una sfera auto gravitante: non può cioè scaldardi
ulteriormente grazie alla contrazione
• Infatti, il suo raggio è determinato univocamente dalla relazione mass-raggio
che a sua volta è una conseguenza diretta della pressione degenere.
• La Nana Bianca tende quindi inesorabilmente a raffreddarsi e a spegnersi.
Stelle di Neutroni
• In base alla dimostrazione di Chandrasekhar, se immaginiamo di “aggiungere”
massa ad una Nana Bianca di 1.4 M, il suo raggio dovrebbe gradualmente
ridursi a zero
• Un volume pari a zero potrebbe essere forse immaginabile per gli elettroni,
ma possono i nuclei atomici sopportare una compressione oltre un certo limite ?
• In questa compressione, gli elettroni e i neutroni vengono di fatto forzati a
combinarsi, formando neutroni (il processo, denominato Decadimento Beta
Inverso, genera anche neutrini)
• Una sfera autogravitante composta da un gas di neutroni è denominata Stella
di Neutroni.
• Essendo questo un gas di Fermioni, è in grado di controbilanciare il collasso
grazie alla sua pressione degenere.
• Come vedremo, pur essendoci in questo caso una relazione Massa-Raggio
simile a quella delle Nane Bianche RM1/3, il limite di massa fino al quale ci si
può spingere con una Stella di Neutroni è superiore a quello della Nana Bianca
Relazione Massa-Raggio in una Stella di Neutroni
• Si dimostra che in una Stella di Neutroni la relazione massa-raggio è:
R = 0.114 (h2 / G mp8/3) M1/3
• Quindi per M = 1.4 si ha R = 1.5 x 106 cm (15 km)
• La densità media in questo caso è
 = 2 x 1014 gm cm3
• simile al rapporto massa/volume di un singolo neutrone:
massa neutrone / volume neutrone 4 x 1014 gm cm3
• questo indica che in una Stella di Neutroni non possiamo trascurare
l’interazione forte fra i neutroni, e che in un certo senso abbiamo a che
fare con un gigantesco nucleo atomico, con la differenza che il “collante”
che tiene insieme questo nucleo in questo caso è la gravità
• E’ istruttivo calcolare la velocità di fuga da una Stella di Neutroni
• Data una particella di massa m, la sua velocità di fuga si ottiene
eguagliando energia cinetica e energia potenziale:
½ m v2 – GMm/ R = 0
da cui:
v = (2GM/R) ½
• con M = 1.4 M e R = 1.5 x 106 cm si ha:
v = 1.6 x 1010 cm s1
circa la metà della velocità della luce !!
Struttura interna di una stella di
neutroni
• La densità nucleare, e l’enorme campo
gravitazionale impongono che una analisi
teorica accurata della struttura di una stella di
neutroni debba tenere conto delle interazioni
nucleari e della teoria Relativistica della
gravità
• Oggi si ritiene che una stella di neutroni abbia
una crosta rigida, costituita da nuclei di Fe ed
elettroni
• Al di sotto della crosta, la materia è costituita
prevalentemente da neutroni (e in minima
parte da protoni ed elettroni)
• In profondità, la densità può essere
sufficientemente elevata da avere neutroni allo
stato superfluido
• Nonostante i neutroni, essendo Fermioni, non
sono soggetti al fenomeno della
“condensazione di Bose”, si ritiene che negli
strati più interni il fluido di neutroni possa
essere superconduttore, attraverso un
meccanismo simile all’electron “pairing”
Stelle di Neutroni osservabili come pulsar
Massa limite di una stella di neutroni
• Il valore di densità media di una stella di neutroni di massa M = 1.4 M che
abbiamo ricavato:
 = 2 x 1014 gm cm3
pari a circa la meta della “densità classica” del neutrone, suggerisce che la massa
limite di una stella di neutroni sia quella a cui corrisponde una densità doppia di
questa
• Analoghe considerazioni possono essere fatte ragionando sul valore massimo
ammissibile per la velocità di fuga v  c
• La stima attuale per la massa limite è dell’ordine di M 2.7 M, ma la trattazione
teorica di questo argomento è molto complessa e presuppone una adeguata
descrizione della Equazione di Stato della materia ultradensa
• Esistono diverse Equazioni di Stato proposte a riguardo, che tengono conto in
diversa misura di quanto la materia ultradensa possa essere “stiff” (dura, e quindi
incomprimibile) o “soft” (morbida e quindi comprimibile).
• Una interessante misura sperimentale a questo proposito sarebbe
l’osservazione di periodi di rotazione delle pulsar (stelle di neutroni magnetizzate
ruotanti) al di sotto di 11.2 ms (ammessi solo dalle equazioni “soft”)
• Il periodo di rotazione più rapido osservato oggi per una pulsar è 1.557 ms
Masse osservate in alcune
radio pulsar binarie
Buchi Neri
• Abbiamo visto che la velocità di fuga dalla superficie di una tipica stella di
neutroni (M=1.4 M e R=1.5x106 cm) è una frazione sostanziosa della velocità
della luce c
• Ci chiediamo: dato un oggetto di massa M, a quale raggio R corrisponde una
velocità di fuga v = c ?
• Applicando (ma vedremo che non è formalmente corretto) la formula utilizzata
in precedenza:
½ mv2 – GMm/ R = 0
si ottiene:
RSch = 2GM/c2
Un oggetto di massa M e raggio al di sotto di questo limite, denominato raggio
di Schwarzschild RSch, è destinato a collassare in un singolo punto.
Sulla esattezza del formula del raggio di Schwarzschild
• La formula del raggio di Schwarzschild è stata ricavata facendo implicitamente
alcune assunzioni errate:
a) Abbiamo erroneamente associato alla luce una energia cinetica ½ mv2
b) Abbiamo erroneamente postulato che la legge di gravitazione Newtoniana sia
ancora valida anche nel caso si campi gravitazionali estremamente elevati
• In effetti questi due errori si cancellano e forniscono la formula esatta, ma non ne
mettono correttamente in evidenza il significato fisico.
Sul significato fisico del raggio di Schwarzschild
• Con una analisi Relativistica corretta, si dimostra che un fotone di lunghezza
d’onda 0 emesso a una distanza r da una massa sferica di massa M, quando
raggiunge distanza infinita presenta uno spostamento verso una lunghezza
d’onda più lunga , detto redshift gravitazionale, dato da:
/0 = (1  2GM / c2r)½
• al tendere di r  2GM/c2 questa formula prevede che la lunghezza d’onda
del fotone tenda a   
• di conseguenza, l’energia del fotone tende a zero hc/  0
In sostanza, i fotoni emessi a una distanza pari o inferiore al raggio di
Schwarzschild RSch = 2GM/c2 vengono redshiftati verso la non esistenza
prima che possano raggiungere distanza infinita.
Un oggetto di raggio pari al suo raggio di Schwarzschild
è denominato Buco Nero