Equazioni risolvibili
per scomposizione
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Ogni equazione polinomiale del tipo E(x) = 0 di grado n > 2 si può risolvere solo se il polinomio E(x) è
scomponibile in fattori al più di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di
annullamento del prodotto.
ESEMPIO
x 3  8x  2x 2 16
Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo:
Trasportiamo tutti i termini al primo membro:
Raccogliamo (x2 − 8) a fattor comune:

 


 

x x2  8  2 x2  8  0

x  2 0
x2  8
Applichiamo la legge di annullamento
 del prodotto:


x x2  8  2 x2  8
x2  8  0  x  2  0
continua

1
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Risolvendo la prima equazione otteniamo:
Risolvendo la seconda otteniamo:

L’insieme delle soluzioni è quindi: S
Equazioni risolvibili
per scomposizione
x  2 2
x  8
x2

 2,  2 2, 2 2




2
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni reciproche
L’equazione E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio di grado n, si dice reciproca se i termini equidistanti
dagli estremi hanno coefficienti uguali oppure opposti.
Esempi:
3x 3 13x 2 13x  3  0
Coefficienti opposti

2x 3  3x 2  3x  2  0
Coefficienti uguali

12x 4  25x 3  25x 12  0
Coefficienti opposti

3
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni reciproche
 Un’equazione reciproca di terzo grado E(x) = 0 ammette:
• la soluzione 1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti:
ax3 + bx2 − bx − a = 0
soluzione 1
• la soluzione −1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti uguali:
soluzione −1
ax3 + bx2 + bx + a = 0
• le altre soluzioni si ottengono scomponendo E(x) in fattori
• Il nome “reciproca” deriva dal fatto che se l’equazione ammette soluzione k,
ammette anche soluzione
1
k
4
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni reciproche
ESEMPIO
3x 3 13x 2 13x  3  0
Sappiamo che E(1) = 0; per determinare le altre soluzioni dividiamo il polinomio E(x) per (x − 1) con
la regola di Ruffini e calcoliamo il polinomio quoziente.

3
1
3
−13
13
−3
3
−10
3
−10
3
0

5  25  9 5  4
x


3
3
Qx   3x 2 10x  3
Dobbiamo risolvere l’equazione
1
3
3
3x 2 10x  3  0
L’insieme
delle soluzioni è

1
S  1, 3, 
3
Come puoi notare oltre alla soluzione
 1, abbiamo trovato i due valori reciproci 3 e




1
3
5
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni reciproche
 Un’equazione reciproca di quarto grado E(x) = 0, nella quale il termine centrale di secondo grado è
nullo e nella quale i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti, ammette sia la
soluzione +1 che la soluzione −1.
ax4 + bx3 − bx − a = 0
soluzioni −1 e +1
Le altre soluzioni si determinano calcolando il polinomio quoziente Q(x), ottenuto dividendo E(x) per
x + 1 e per x − 1, e risolvendo poi l’equazione Q(x) = 0.
6
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni reciproche
ESEMPIO
12x 4  25x 3  25x 12  0
Per la forma assunta dall’equazione, sappiamo che E(1) = 0 ed anche che E(−1) = 0.
 Determiniamo il quoziente della divisione di E(x) per (x − 1) e (x + 1):
12
1
12
−1
12
−25
0
25
−12
12
−13
−13
12
−13
−13
12
0
−12
25
−12
−25
12
0

Qx   12x 2  25x  12
continua
7
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Risolviamo l’equazione

12x 2  25x 12  0
25  625  576 25  7
x


24
24


Dunque

Equazioni reciproche
3
4
4
3

S  1, 1, 3 , 4 

4 3 

Anche in questo caso puoi notare che a S appartengono le soluzioni reciproche
3
4
e
4.
3
8
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni binomie
Un’equazione si dice binomia se si può scrivere nella forma
xn  k
dove n è un intero positivo e k un numero reale.
Per risolvere un’equazione binomia 
si applica la definizione di radicale:
 se n è pari l’equazione ammette:
• due soluzioni opposte se k ≥ 0 :
• nessuna soluzione se k < 0
x k
n
 se n è dispari l’equazione ammette:
• una sola soluzione per qualsiasi valore di k :

x
n
k

9
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni binomie
ESEMPI
1.
x 3  27
Se calcoliamo la radice cubica di entrambi i membri otteniamo:


3
2.
x 3  3 27
x 4  16
cioè
x  3 27
ossia
x  3


Se calcoliamo la radice quarta di entrambi i membri otteniamo:

4
x 4  4 16
cioè
x 2
ossia

x  2
10
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni trinomie
Un’equazione si dice trinomia se si può scrivere nella forma
ax 2n  bx n  c  0
a0
dove n è un intero positivo e gli esponenti dell’incognita sono uno il doppio dell’altro.


Per risolvere l’equazione trinomia ax2n + bxn + c = 0
•
si opera la sostituzione di variabile xn = t
•
si risolve l’equazione di secondo grado in t così ottenuta at2 + bt + c = 0
•
Indicate con t1 e t2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie
x n = t1 ∨ x n = t2
11
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni trinomie
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione
2x 4  x 2  3  0
Essendo n = 2 l’equazione è biquadratica.
Operando la sostituzione x2 = t otteniamo 2t2 − t − 3 = 0

Risolviamo ora l’equazione ottenuta nell’incognita t:
Operando poi la sostituzione inversa si ha:
Dunque
S





3 ,  
3 
2
2 

t
3
x 
2
2
x  1
2
1 1 24

4
da cui
x  
impossibile
3
2
3
2
1


12
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni irrazionali
Si dice irrazionale un’equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l’incognita.
Esempi:
• sono equazioni irrazionali
2x 1  3x 1
• non sono equazioni irrazionali
7x  x  2
e
e
3
x 1 2x
x 2  3  2x  3
 bisogna eliminare i segni di radice
Per risolvere un’equazione irrazionale
e per far questo è necessario
elevare a potenza i due membri dell’equazione.
Ricordiamo che:


Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l’equazione A(x) = B(x) è equivalente
all’equazione [A(x)]n = [B(x)]n per qualsiasi valore di n.
Si può affermare che:
 un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza pari non conduce in generale a
un’equazione equivalente a quella data
 un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza dispari conduce sempre a
un’equazione equivalente a quella data.
13
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Le equazioni irrazionali con un solo radicale possono essere ridotte alla forma:
n
Equazioni irrazionali
Ax   Bx 
Il caso n dispari
Se n è dispari, basta elevare a potenza n entrambi i membri; il caso più frequente è quello in cui n = 3:
3
ESEMPIO

Ax   Bx 
1
x 3 x 2 0
3
Isoliamo il radicale al primo membro:
Eleviamo
 al cubo e svolgiamo i calcoli:
Scomponiamo:

3
Ax   Bx 
3
1
x2 x
3
1 3
x2
x
27
 2
x

6
x
    3  0



x 3  27x  54  0
x  6  x  3
14
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni irrazionali
Il caso n pari
Se n è pari, e il caso più frequente è n = 2, abbiamo a disposizione due metodi risolutivi:
Ax  Bx
Primo metodo
• Risolvere l’equazione
Ax   Bx
• Procedere alla verifica delle soluzioni
Secondo metodo
2
• Risolvere il sistema





B x   0
2
Ax   Bx
15
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
ESEMPIO
x 2  2x  4  3x  4
Secondo metodo
Primo metodo
x  2x  4  3x  4
• Eleviamo al quadrato:
• Sviluppiamo i calcoli:

• Risolviamo:
x

5
4
2
2

x2
x2
• Per la condizione di equivalenza deve
essere
4
x
3
3x  4  0
8x 2  26x  20  0
• Verifichiamo sostituendo nell’equazione:
5
x

 4
Equazioni irrazionali
e questo insieme rappresenta l’insieme
di accettabilità delle soluzioni.

L’equazione polinomiale che si ottiene
elevando al quadrato è la stessa del

primo metodo.
Delle due soluzioni trovate

1
1

4
4
non è soluzione

22
è soluzione
5
4
non è
accettabile perché non è maggiore di
La sola soluzione è quindi

x  2.
16
4
3
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni irrazionali
Equazioni con due o più radicali
ESEMPIO
x  2  2 x 1
• Si eleva una prima volta al quadrato:
•
x  2  4  x 1 4 x 1
Si svolgono i calcoli e si isola il radicale:
 al quadrato:
• Si eleva una seconda volta
• Si trova la soluzione:
• Si verifica:

4 x 1  3
16x  1  9
7

x 
16

7
7
  2  2  1
16
16
25
9
 2
16
16
5 5

4 4
Come metodo alternativo si può determinare l’insieme di esistenza dell’equazione e, ad ogni passaggio
di elevamento a potenza, trovare le condizioni di equivalenza.



17
Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali
Equazioni irrazionali
Equazioni con i radicali al denominatore
ESEMPIO
x2  x4 
6
x4
• Imponiamo le condizioni di esistenza dei radicali:



• Riduciamo l’equazione in forma intera:
• Isoliamo il radicale:







x20
x40
cioè
x  2
x  2 x  4  x  4  6
x  2 x  4  2  x
• Le soluzioni saranno accettabili se:
• Eleviamo al quadrato e risolviamo:
x  2
2 x  0








2  x  2
x  2 x  4   2  x 

La soluzione trovata appartiene all’insieme di accettabilità, quindi
2
10 x  4  0

x2
5

S   2 
 5 
18