Università degli Studi Roma Tre
Facoltà di Architettura
Matematica e Restauro
Prof. Corrado Falcolini
STUDIO E RIPRODUZIONE DELLA PIANTA DI SAN CARLO ALLE
QUATTRO FONTANE
STUDENTI : ROBERTO ROCCO ,VALENTINA SCOPONI
Cenni storici
La chiesa di San Carlo alle Quattro
Fontane è considerato uno dei capolavori
dell'architettura barocca. La chiesa è
dedicata a Carlo Borromeo, arcivescovo di
Milano, ma è soprannominata San Carlino
per le sue ridotte dimensioni tanto da
coprire con la sua area quella di uno solo
dei quattro pilastri che sorreggono la
cupola della basilica di San Pietro in
Vaticano. La chiesa ,il chiostro ed il
convento vennero realizzati tra il 1634 e il
1644 da Francesco Borromini. La facciata
venne progettata e realizzata molto più
tardi dal nipote Bernardo. La chiesa è a
pianta mistilinea e le parti corrispondenti ai
vertici sull'asse maggiore sono concluse da
absidi semicircolari. La cupola poggia su
un'imposta ed è un ovale incisa da un
profondo cassettonato nel quale si
alternano forme diverse (ottagoni, esagoni,
croci). Il movimento ondulatorio dei muri e
il ritmico alternarsi a forme sporgenti e
rientranti danno luogo a un palpitante
organismo plastico, la cui forma viene
sottolineata dall'assenza di sontuose
decorazioni.
Pianta come somma di più elementi
Per riprodurre matematicamente la pianta e la proiezione della cupola e del lanternino si è pensato di
ricondurre i vari elementi architettonici a forme semplici che passo passo si collegano tra loro dando
vita al disegno completo della Chiesa.
Sezione
Poligoni
Cerchi
Rette
Semiellissi
Ellisse
Ellisse
Triangolo
Proiezione cupola
Semiellissi
Poligoni
Ipocicloidi
Proiezione della cupola e della lanterna
1) Ellisse/Proiezione cupola
- Si determina la formula base dell’ellisse:
ellisse[a_,b_][t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t]}
- Successivamente si determina l’equazione modificando i raggi dei due assi dell’ellisse:
ParametricPlot[ellisse[1.17,0.75] [t]+{0.010,0},{t,0,2Pi}]
- E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere l’equazione chiave
ParametricPlot[ellisse
[1.17,0.75][t]+
{0.010,0},{t,0,2Pi},
PlotStyle -> {Hue[0.55],
Thickness [0.005]},
PlotRange ->
{{-2.5,2.5},{1.5,
-1.5}}, Axes->True]
Proiezione della cupola e della lanterna
2) Ellisse centrale/Decorazione lanterna
ParametricPlot[ellisse[0.165,0.15][t]
+{0.0165,0},{t,0,2Pi}]
Proiezione della cupola e della lanterna
3) Triangolo /Decorazione lanterna
- Si determina la formula base della retta:
Line [{pt1,pt2,…}]
-Successivamente si determino i punti/vertici del triangolo:
Graphics[Line[{{-0.125,0},{0.08,0.125},{0.08,-0.125},{-0.125,0}}]]
- E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere l’equazione chiave
Graphics[Line
[{{-0.125,0},{0.08,0.125},
{0.08,-0.125},{-0.125,0}}],
GraphicsStyle ->
{Hue[0.55],Thickness[0.002]},
PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},
Axes->True]
Proiezione della cupola e della lanterna
3) Ellissi /Composizione perimetro lanterna
-Si determina l’equazione dell’ellisse desiderata:
ParametricPlot[ellisse[0.27,0.45][t]+{0,0.8},
{t,-7.2/10Pi,-2.8/10Pi}]
-Utilizzo lo show per accertarmi che i tre
elementi creati siano corretti
Show[triangolo,ellisse2,ellisse1,cerchio1]
Proiezione della cupola e della lanterna
4)Definizione dei poligoni /basi delle
colonne della lanterna
- Partendo di nuovo dalla formula base della
retta si determinano i vertici del poligono da
determinare
Line [{pt1,pt2,…}]
base1=Graphics[Line[{{-0.18,0.45},{-0.189,0.449},{-0.195,0.53},{-0.35,0.5}, {-0.33,0.42},
{-0.339,0.419}}],GraphicsStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5},
{1.5,-1.5}},Axes->True]
- Da questo punto in poi tutte le operazioni appena illustrate si sono ripetute di volta in
volta per ciascun elemento.
Proiezione della cupola e della lanterna
5) Riproduzione in serie degli altri elementi e giustapposizione in pianta
Show[base1,triangolo,cerchio1,ellisse1,
ellisse2,base2,base3,base4,base5,bas
e6,base7,base8,ellisse3,ellisse4,ellisse
5,cerchio2,cerchio3,cerchio4,cerchio5]
GraphicsRow[{fig1,Show[base1,triangolo,
cerchio1,ellisse1,ellisse2,base2,base3,ba
se4,base5,base6,base7,base8,ellisse3,
ellisse4,ellisse5,cerchio2,cerchio3,cerchio
4,cerchio5]},ImageSize->
{1000,583},Spacing->-354]
Proiezione della cupola e della lanterna
6) Riproduzione decorazione centrale
- Dall’attenta osservazione del disegno si è pensato di riprodurlo attraverso la ricerca
dell’equazioni di un’ipocicloide, ovvero una curva generata da una circonferenza che
rotola sulla parte interna non di un’altra circonferenza ma di un’ellisse.
- Si è partiti dall’equazione base dell’ipocicloide:
ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t]+b*Cos[(a-b)/b*t],(a-b)*Sin[t]-b*Sin[(a-b)/b*t]}
- Successivamente si è lavorato sull’equazione al fine di trovare i valori necessari a
soddisfare le nostre esigenze:
ipocicloide1=ParametricPlot[ipocycloid[0.8,0.1][t]*{0.58,0.38}+{0.010,0.005},
{t,0,2Pi}, PlotStyle->{ Hue[0.55], Thickness[0.002]}, PlotRange->{{-2.5,2.5},
{ 1.5,-1.5}},Axes->False]
Proiezione della cupola e della lanterna
- La curva trovata non soddisfa le nostre aspettative visto che anche se il posizionamento
delle 2 cuspidi in alto e in basso va bene,gli archi tra questi dovrebbero avere una
curvatura meno accentuata.
- Il passo successivo è stato quello di modificare il parametro b (raggio della circonferenza
piccola che ruota sull’ellisse) in modo tale da avere delle curvature più tese tra le cuspidi.
ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t ]+b/1.5*Cos[(a-b)/b*t + Pi],(a-b)*Sin[t]
-b/1.5*Sin[(a-b)/b*t + Pi]}
Proiezione della cupola e della lanterna
-Dopo le modifiche l’ipocicloide
presenta la curvatura voluta,ma
ancora le 2 cuspidi laterali non sono
posizionate nei punti voluti.
-Quale può essere la causa ?
1.Questo disegno non è riproducibile
con un’ipocicloide
2.Quell’ipocicloide non è inscritta in
un’ellisse
-Per rispondere a questa domanda è stato applicato un manipulate all’equazione
dell’ellisse esterna per vedere se l’ipocicloide è racchiusa nell’ellisse.
-Manipulate[GraphicsRow[{fig1,ParametricPlot[k*ellisse[1.17,0.75][t]+{0.010,0},{t,0,2Pi},
PlotStyle->{Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->True]},
ImageSize->{1000,583},Spacings->-354],{k,0,1}]
Proiezione della cupola e della lanterna
Il risultato che si ottiene è particolarmente interessante perché mette in evidenza il fatto
che non tutte le cuspidi dell’ipocicloide toccano il perimetro dell’ellisse.
Quindi si può dire che questa ipocicloide non è iscritta in un’ellisse.
Proiezione della cupola e della lanterna
10) Completamento proiezioni
- Definizione dell’equazione delle ellissi laterali
ellisse6=ParametricPlot[ellisse[0.7,0.35][t]+{0,0.72},{t,0.07Pi,0.93Pi},PlotStyle->
{Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False]
ellisse8=ParametricPlot[ellisse[0.49,0.48][t]+{-1.2,0},{t,Pi/2,3/2Pi},PlotStyle->
{Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False]
-Definizione dell’equazione
delle ellissi rette
retta1=Graphics[Line[
{{-1.18,0.485},{-0.69,0.79}}],
GraphicsStyle->
{Hue[0.55],Thickness[0.005]
},PlotRange->
{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},
Axes->False]
Proiezione della cupola e della lanterna
La resa finale ottenuta attraverso la messa insieme dei diversi elementi è soddisfacente.
Disegno della sezione della Chiesa
1) Ellisse/Sezione colonne
- Partendo dall’equazione base dell’ellisse si determinano le varie equazioni una per una
determinando di volta in volta il periodo necessario al caso esaminato:
ellisse2=ParametricPlot[ellisse[0.078,0.078][t]+{-0.81,0.865}, {t,1.05Pi,5/2Pi}, PlotStyle>{Red,Thickness[0.0035]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->True]
Il passaggio viene ripetuto
diverse volte fino ad
ottenere il disegno di tutte le
colonne sezionate
Disegno della sezione della Chiesa
GraphicsRow[{fig1,Show[ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a,ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a,
ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,ellisse13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16
a]},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354]
Questo è il risultato ottenuto sovrapponendo i disegni con l’immagine
Disegno della sezione della Chiesa
Con gli stessi criteri visti in precedenza si producono rette e poligoni per le parti non curvilinee
G12=Graphics[Line[{{0.8,0.955},
{0.73,0.995},{0.76,1.02},{0.68,1.07},
{0.565,1.11},{0.55,1.08},{0.51,1.095}}],
GraphicsStyle->{Red,Thickness [0.004]},
PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},
Axes->False]
Successivamente si producono le absidi come archi di ellisse
ellisse17a=ParametricPlot[ellisse[2.,1.4][t]+
{0,0.02},{t,-0.064Pi,0.066Pi}, PlotStyle->
{Red,Thickness[0.003]},PlotRange->
{{-2.5,2.5}, {1.5,-1.5}}, Axes->False]
Disegno della sezione della Chiesa
GraphicsRow[{fig1,Show[G12,G13,G14,G15,G16,G17,G18,G19,ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a,
ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a,ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,elliss
e13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16a,ellisse17a,ellisse18a,ellisse19a],G1,G2,G3,G4,G5,G6,
G7,G8,G9,G10,G11},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354]
Risultato finale