RENDITE
RENDITA
• Rendita finanziaria è una successione di
capitali disponibili ad epoche differenti.
Una rendita si indica con:
S = {(Rk , tk), k = 0,1, 2, ..., n}
R0
R1
R2
… Rn
_____|_________|__________|________|______
t0
t1
t2
. . . . . tn
Classificazione: importo
•
a rata costante : gli importi delle rate sono
tutti uguali tra loro. In particolare, se l’importo è
unitario, la rendita si dice unitaria.
Esempio: cedole dei BTP costanti e pagabili
semestralmente.
•
a rata variabile: gli importi delle rate non sono
tutti uguali tra loro.
Esempio: interessi a tasso variabile su mutuo
Classificazione: numero rate
•
temporanea: le rate sono in numero
finito.
Esempio: BTP hanno una scadenza inferiore ai 30
anni, cedole pagabili semestralmente.
•
perpetua: le rate sono numerabili.
Esempio: una rendita che paga indefinitamente ogni
semestre una cedola pari al 2.5% del capitale
nominale, del quale è non è previsto il rimborso.
Classificazione: periodicità
•
periodica: le rate sono equintervallate.
Esempio: Affitto (trimestrale)
•
non periodica: le rate non sono
equintervallate.
Esempio: versamenti su conto corrente.
Classificazione: scadenza
•
posticipata: la scadenza di ciascuna
rata avviene nell’istante finale del relativo
periodo di competenza.
Esempio: Stipendio di un impiegato
•
anticipata: la scadenza di ciascuna rata
avviene nell’istante iniziale del relativo
periodo di competenza.
Esempio: Premi di assicurazione
Classificazione: Decorrenza
•
immediata: la prima rata è dovuta in t0 se la
rendita è anticipata, la prima rata scade in t1 se
la rendita è posticipata.
Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza immediata
•
differita: la prima rata scade in th (h1) se la
rendita è anticipata, la prima rata scade in th+1
(h1) se la rendita è posticipata.
Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza differita
VALORE ATTUALE
• Valore attuale di una rendita è la somma dei
valori attuali delle singole rate, calcolati nel
regime di attualizzazione prescelto.
• Il tasso di interesse utilizzato è anche detto
tasso di valutazione.
• Il valore attuale è solitamente calcolato nel
Regime di attualizzazione a sconto composto
essendo questo regime caratterizzato
dall'importante proprietà della scindibilità.
Esempio
• Adottando il fattore di sconto g(t) del
regime prescelto, il valore attuale di una
rendita di n rate, ossia la somma dei valori
attuali (in t0=0) delle singole rate Rk, è:
V =  Vk =  Rk g(tk)
in t0=0
Valore attuale rendita
Vn
V3
V2
V1
t=0
R1
R2
R3
Rn
t=1
t=2
t=3
t=n
V=V1+V2+V3+…+Vn
esempio
• Determinare il valore attuale di una rendita con
rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il
secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.
V  1000(1,07) 1  2000(1,07) 2  1000(1,07) 3  3497,75
Caso rata costante:
Valore attuale di una rendita periodica
posticipata immediata unitaria
t=0
1
1
1
1
t=1
t=2
t=3
t=n
V = (1+i)-1 +(1+i)-2+ ... + (1+i)-n
v=(1+i)-1
n
V=v
+v2
+ ... +
vn =
s
v

s 1
1 vn

 an |i
i
a figurato n al tasso i
v+v2+...+vn = v(1+...+ vn-1) =
an |i
• Ricordando la ridotta ennesima di una serie
geometrica di ragione v, si ha:




v(1  v n ) 1  v n

1 v
i
n
per i  0
per i  0
Valore attuale di una rendita periodica
posticipata immediata
t=0
R
R
R
R
t=1
t=2
t=3
t=n
V = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + ... + R(1+i)-n
v=(1+i)-1
n
1

v
V = Rv +Rv2 + ... + Rvn = R  v  R
 Ra n |i
s 1
i
n
s
esempio
• Determinare il valore attuale di una rendita
immediata posticipata di durata 10 anni, rata
pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.
V  Ra n |i  1000a10|0,07
1  1,07 10
 1000
 7023,57
0,07
Valore attuale di una rendita periodica
anticipata immediata unitaria
1
1
1
1
1
t=0
t=1
t=2
t=3
t=n-1 t=n
n 1
1+v+v2+...+vn-1
=
v
s 0
s
 an |i
 (1  v n ) 1  v n


(1  i ) per i  0
 1 v
i
 n
per i  0
Relazione tra rendite anticipate e
posticipate
• Spostando l’istante di valutazione in avanti di un
periodo, una rendita posticipata appare come anticipata.
Di conseguenza, il valore attuale di una rendita
anticipata coincide con quello della posticipata
capitalizzato per un periodo.
1 v
1 v
an |i 

(1  i)  an |i (1  i)
1 v
i
n
n
Vant  Ran |i  Ra n |i (1  i )  V post (1  i )
esempio
• Determinare il valore attuale di una rendita
immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari
a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.
1  1,07 10
V  Ra n |i (1  i)  1000a10|0,07 (1  0,07)  1000
(1  0,07)  7515,23
0,07
Vant  V post (1  0,07)  7023,57(1  0,07)  7515,23
Valore attuale di una rendita
di n rate unitarie periodica posticipata
differita di p periodi
Vn
V3
V2
V1
1
t=0
1
t=p+1 t=p+2
1
1
t=p+3
t=p+n
V = vp+1+vp+2+...+vp+n=vp
a n |i =p/ a n |i
Valore attuale di una rendita di n rate
periodica posticipata differita di p periodi
Vn
V3
V2
V1
R
t=0
R
t=p+1 t=p+2
R
R
t=p+3
t=p+n
V = Rvp+1+Rvp+2+...+Rvp+n=Rvp a n |i =R p/ a n |i
Valore attuale di una rendita di n rate
costanti periodica anticipata
differita di p periodi
Vn
V3
V2
V1
t=0
R
R
R
R
t=p
t=p+1
t=p+2
t=p+n-1
n |i v
V = Rvp+Rvp+1+...+Rvp+n-1= Ra
p
=R p/ a
n |i
Relazione tra rendita posticipata differita di p
periodi e non differita
Esempio
• Rendita annua, 4 anni, i=12%, R=329,23
la prima rata verrà pagata tra 5 anni.
• Consideriamo post oppure ant è uguale:
Post:
Ant:
V = (1+0,12)-4 329,23
a4|0,12 (1  0,12) =635,51
V = (1+0,12)-5 329,23
t=0
t=4
a4|0,12 =635,51
R
R
R
R
t=5
t=6
t=7
t=8
t=9
Valore attuale di una rendita
unitaria posticipata perpetua
• Il valore attuale si ottiene calcolando il
limite per n che tende all'infinito (per valori
positivi del tasso di interesse).
lim a n |i = lim 1  v n
n 
n 
i
1
=
i
Esempio
Una rendita posticipata perpetua, la cui rata è di
1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%,
vale 1000/0,08= 12500 Euro.
Valore attuale di una rendita
unitaria anticipata perpetua
lim
n 
an |i
n
1 i
lim
1

v
= n 
(1  i ) = i
i
a|i = (1+i) a |i
Esempio
Una rendita anticipata perpetua, la cui rata è di
1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%,
vale 1000(1,08)/0,08= 13500 Euro
MONTANTE DI UNA RENDITA
• Il montante di una rendita è la somma dei
montanti delle singole rate, calcolati al
termine della rendita nel regime di
capitalizzazione prescelto.
• Il tasso di interesse utilizzato è anche
detto tasso di remunerazione
MONTANTE DI UNA RENDITA
t0
t1
t2
R1
R2
t3
tn-1
R3
Rn-1
tn
Rn
+
Mn-1
...
M3
+
M2
+
M1
esempio
• Determinare il montante di una rendita con
rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il
secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.
M  1000(1,07) 2  2000(1,07)1  1000  4284,9
Montante di una rendita periodica
posticipata immediata unitaria di n rate
•Sia 1+i = u
0
1
2
3
n-1
n
1
1
1
1
1
….
un-3
un-2
un-1
n 1
M=
un-1 +
un-2
k
u
 sn |i
+...+ u + 1= 
k 0
Relazione tra sn |i
e a n |i
• è la somma di n termini in progressione geometrica con
primo termine 1 e ragione u, si ha:
u n 1

u 1
sn |i
u n 1
(1  i) n  1


i
i
•Il montante della rendita unitaria posticipata di n
rate coincide con il suo valore attuale
capitalizzato per n periodi.
s n |i  u  1
n
i
n
1

v
= un
i
= un a n |i
Montante di una rendita periodica
posticipata immediata di n rate
0
1
2
3
n-1
n
R
R
R
R
R
….
Run-3
Run-2
Run-1
n 1
M=
Run-1 +
Run-2
k
+...+ Ru + R= R  u  Rs n |i
k 0
Montante di una rendita periodica anticipata immediata
unitaria di n rate
0
1
1
1
2
1
n-1
n
1
u
+
un-2
+
un-1
+
un
sn |i = u + u2 + ... + un = u
u n 1
(1  i ) n  1
 (1  i )
i
i
esempio
• Determinare il montante di una rendita immediata
posticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro,
tasso 0,07 annuo.
M  Rs n |i  1000s10|0,07
1,0710  1
 1000
 13816,45
0,07
M  V (1  0,07)10  7023,57(1  0,07)10  13816,45
Relazione tra rendita anticipata e
posticipata
sn |i
(1  i ) n  1 = (1+i) s
n |i
= (1  i )
i
• Spostando l’istante di valutazione in avanti di un
periodo, una rendita posticipata appare come
anticipata. Il montante di una rendita anticipata
coincide con quello della posticipata capitalizzato per
un periodo.
Montante di una rendita periodica
anticipata immediata di n rate costanti R
0
1
2
n-1
R
R
R
R
n
….
Run-2
Run-1
Run
n 1
M=
Run +
Run-1
M = R sn |i
+...+ Ru = R u  u
k 0
k
 Rus n |i
esempio
• Determinare il montante di una rendita
immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari
a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.
1,0710  1
M  Rs n |i (1  i)  1000s10|0,07 (1  0,07)  1000
(1  0,07)  14783,60
0,07
M ant  M post (1  0,07)  13816,45(1  0,07)  14783,60
Riassunto rendite
POSTICIPATA
ANTICIPATA
MONTANTE
(1  i ) n  1
M R
 Rs n |i
i
M  Rs n |i (1  i )
VALORE
ATTUALE
1  (1  i )  n
V R
 Ra n |i
i
V  Ra n |i (1  i )
VALORE DI UNA RENDITA AL
TEMPO t
• Il valore V(t) al tempo t di una rendita è la
somma:
• dei montanti delle rate a scadenza
anteriore a t,
• della rata eventualmente a scadenza in t
• dei valori attuali delle rate a scadenza
posteriore a t, calcolati in base al regime di
capitalizzazione e attualizzazione
prescelto.
VALORE DI UNA RENDITA AL
TEMPO t
…..
.….
..…
….
R0
R1
R2
R3
t0
t1
t2
t3
… Rj
…
Rj+1 … Rn
t
tj+1
…
tn
VALORE DI UNA RENDITA AL
TEMPO t
•se tj  t <
tj+1
j
V (t)=  Rk f (t - tk) +
k 0
n
 Rk g( tk - t)
k  j 1
•Due rendite che al tempo t hanno lo stesso valore si
dicono finanziariamente equivalenti in t.
VALORE V(t) DI UNA RENDITA AL TEMPO t
SECONDO IL REGIME COMPOSTO
j
•V( t ) = (1 + i)t [  Rk (1  i) tk +
k 1
n
 Rk (1  i) tk ]
k  j 1
= (1+i)t V(0).
Questa formula è diretta conseguenza della
scindibilità del regime a interesse composto.
PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
FINANZIARIA
• Due rendite con lo stesso valore attuale
sono finanziariamente equivalenti ad ogni
tempo t se, e solo se, il loro valore è
calcolato con leggi coniugate ad interesse
composto.
CALCOLO DELLE QUANTITÀ
CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA:
RATA
V = R a n |i
V
•R =
a n |i
Problema inverso: trovare la rata
Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito
mediante il pagamento di 5 rate costanti annuali
posticipate, al tasso annuo del 7%, trovare la rata:
R  50 000 / an |i 12194,53 euro
• Una rendita annua posticipata, composta da quattro
termini, del valore attuale di 1000 Euro, richiede, ad un
tasso i=12%, una rata di:
R 1 000 / an |i  329, 23 euro
CALCOLO DELLE QUANTITÀ
CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA:
DURATA
V
V
-n
-n
=1 (1+i)  (1+i) = 1  i
•i
R
R
R  iV
 -n ln (1+i) = ln
R
  R  iV 
ln 
.
 R 
n
ln(1 + i )
R
V
i
Problema inverso: trovare la durata
Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito
mediante il pagamento di rate costanti annuali
posticipate pari a 12194,53 Euro, al tasso annuo del
7%, quante rate occorrono?
 12194,53  0,07 * 50000
 R  iV 
ln
ln 


12194,53
R 


 5
n

ln (1 + i )
ln (1 + 0,07)
Ricerca del tasso di interesse
n
•Da V = R an |i = R  1  i   k
k 1
n
g(i) = R
k

1

i


k 1
-V,
funzione del tasso di valutazione i.
•Si noti che per g(i*) = 0 si riottiene l'espressione
n
V  R  1  i *  k
k 1
Proprietà funzione
n
g (0)  R  1 k  V  nR  V  0
k 1
n
lim g (i )  R  1  i   k  V   V  0
i  
k 1
(la funzione ha asintoto orizzontale di ordinata negativa)
n
g ' (i )  R   k (1  i )  k 1  0
k 1
n
g ' ' (i )  R   k (k  1)(1  i )
k 1
(la funzione è decrescente)
k 2
0
(la funzione è
convessa)
L’equazione g(i)=0 ha perciò una ed una sola soluzione i*  0, che
corrisponde al tasso di valutazione della rendita.
Per determinare i* conviene ricorrere a metodi numerici.
Ricerca del tasso di interesse
• Metodi numerici iterativi per trovare i*
g(i)
g(0)
i*
i
Metodo bisezione
•
•
•
•
•
•
•
•
•
High=1
Low=0
Do while (high-low)> 0.0001
If g((high+low)/2)>0 then
High=(high+low)/2
Else: low=(high+low)/2
End if
Loop
Interesse= (high+low)/2
COSTITUZIONE DI UN CAPITALE
• Una sequenza di prestazioni finanziarie
periodiche (ossia una rendita) può essere
utilizzata per costituire, ad una
determinata epoca futura, una disponibilità
finanziaria di importo prestabilito. In
questo modo si procede alla costituzione
di un capitale.
classificazione
• numero dei versamenti
- costituzione mediante un unico versamento
Il capitale S si costituisce mediante un unico versamento all’epoca
iniziale
- costituzione graduale di un capitale
Il capitale S si costituisce mediante più versamenti tra l’epoca
iniziale e quella finale
• epoche di pagamento
- costituzione con versamenti posticipati
il capitale S da costituire si renderà disponibile all’atto in cui si
effettuerà l’ultimo versamento
- costituzione con versamenti anticipati
Il capitale S da costituire si renderà disponibile un periodo dopo
l’ultimo versamento.
Costituzione mediante unico
versamento
• Il capitale S che si vuole costituire all’epoca futura t
tramite un unico versamento R è il montante di R in t,
dati il regime di capitalizzazione ed il tasso di interesse
periodale i.
• L’unico versamento R necessario per costituire S non è
altro che il suo valore attuale. Basta quindi esplicitare R
dall’espressione del capitale da costituire.
• In particolare, nel regime di capitalizzazione semplice:
S = R (1 + it)
S
R
1  it
Costituzione mediante unico
versamento
• In regime composto (convenzione
esponenziale):
R
S
1  i 
t
In regime composto (convenzione lineare):
R
S
1  i  n (1  if )
Esempio
• Qualora si intenda disporre di 100 000 Euro
dopo 5 anni dal versamento iniziale, e posto che
il tasso praticato dalla banca sia il 4.56% in
capitalizzazione composta, il versamento iniziale
è:
R
100 000
1  0.04565
R = 80 015.13 Euro
Costituzione mediante versamenti periodici:
regime composto
• Costituzione di un capitale mediante versamenti
periodici posticipati di importo costante R in
regime composto al tasso periodale i:
S  Rs n |i
R  S / s n |i  S n |i
 n |i
i

(1  i ) n  1 per i  0

1
per i  0
n
N.B. problema
inverso del
montante: trovare
la rata
Sigma figurato n al tasso i
 n |i
 n |i
è la rata costante da versare per n
periodi tale da costituire il capitale di 1
euro all’atto dell’ultimo versamento al
tasso periodale i.
è funzione decrescente del tasso i.
Costituzione di un capitale mediante
versamenti periodici anticipati
di importo costante R
in regime composto al tasso periodale i
S  Rsn |i
R  S / sn |i  Sn |i
n |i
i

 (1  i )((1  i ) n  1) per i  0

1
per i  0
n
Sigma anticipato figurato n al tasso i
• è la rata costante da versare per n periodi
tale da costituire il capitale di 1 lira un
periodo dopo l’ultimo versamento al tasso
periodale i.
• è funzione decrescente del tasso i
Esempio
• Si può costituire in 10 anni un capitale di 1000
Euro, al tasso i=12%, mediante dieci versamenti
annui anticipati di importo costante:
• R = 50.88 Euro
1 0|0.12 = 0.050879.
Se le rate fossero posticipate, l'importo di
ciascuna sarebbe maggiore:
R = 56.98 euro
 n|i
= 0.056984.
Fondo di costituzione all’epoca k mediante
versamenti periodici di importo costante R in
regime composto al tasso periodale i.
• Per conoscere quale somma è stata
accantonata fino ad una certa epoca, occorre
calcolare il fondo di costituzione a quella data
epoca.
• Il fondo di costituzione ad una epoca t, ossia il
montante in t delle k rate versate fino a
quell’epoca, è
Ft  Rs k |i
se t è intero
Ft  Fk (1  i ) f  Rs k |i (1  i ) f
Ft  Fk (1  if )  Rsk |i (1  if )
se t = k + f (con k intero e 0 < f < 1).
Esempio
• Sono stati effettuati sei versamenti mensili
posticipati di 200 Euro al tasso 0.5% mensile, e
ci si domanda a quanto ammonti il fondo di
costituzione accumulato.
F6  Rs 6|0.005  1215.10 Euro
Esercizio 1
•
Per l’acquisto di un appartamento si decide di pagare subito 50000 e di
pagare il rimanente in rate trimestrali di Euro 2000 per 10 anni
versando la prima rata tra tre mesi. Tasso annuo nominale convertibile
trimestralmente è il 6%. Si determini il prezzo dell’appartamento.
i4=0,06/4=0,015
1  (1  0,015) 40
V  2000
 59831,69
0,015
Il valore dell’appartamento è 50000+59831,69=109831,69
Esercizio 2
• Per far fronte alla restituzione di un debito
esigibile tra tre anni di 80000 Euro, Tizio vuole
fare versamenti semestrali costanti al tasso
annuo del 4,8%. Determinare la rata.
i2=(1+0,048)1/2-1 = 0,0237
(1  0,0237)6  1
80000  R
0,0237
R = 12564,91
esercizi
• Rendite:
• ACD: es. 4.2, 4.5, 4.6, 4.9 punto b
• BC: es. 1,3,5,7,13
• Costituzione capitale:
• ACD: es. 6.1, 6.2, 6.3, 6.5
• BC: es.1 punto a, es.5, 8, 12