Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 20072008
CURVE PIANE 1
Modelli matematico e categorie comuni delle curve: una prima
panoramica
I cinematismi piani e i grafici delle Funzioni
•
•
La curva come luogo di punti è immaginata come
prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di
libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive
di un punto in movimento secondo una legge data
come relazione analitica fra le coordinate x e y del
piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva):
equazione della curva.
1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di
un parametro (ad esempio il tempo)
x = f (t), y = g (t)
•
•
2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in
una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o
polare.
A esempio in forma polare….
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;
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Grado delle equazioni e ORDINI delle curve
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Se f(x, y) è un
polinomio (ridotto) di
grado m, la curva è
algebrica di Ordine
m (di primo grado
per una retta, di
secondo grado per
una conica). L’ordine
ha il noto significato
proiettivo del
massimo numero di
intersezioni con una
retta del piano
proiettivo.
La curva si dice
algebrica oppure
trascendente secondo
che sia algebrica o
trascendente la sua
equazione
Il punto doppio si
conta due volte
L’ordine di una curva non dipende dal tipo
coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è
rappresentata la sua equazione poiché le relazioni
che permettono il passaggio da un sistema di
riferimento cartesiano a un altro sono lineari e
dunque l'ordine di una curva algebrica rimane
invariato quando si cambia sistema di riferimento.
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Punti speciali di una curva
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MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto
nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti
distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO.
Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie
coniugate.
NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e
distinte e allora il punto si dice NODO;
CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora
quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti
invertono il loro senso.
ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere
immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.
ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite
evoluzioni.
Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella
di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.
Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o
coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti
DI FLESSO;
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Ordini delle curve e senso plastico della
variazione di curvatura
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TANGENTE di una curva e
curva come INVILUPPO
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•
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La tangente in un generico punto A di una curva piana
è la posizione limite della secante in A e in un punto A'
quando A' tende a A.
il variare del coefficiente angolare delle tangenti si
esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y
= f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).
La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette
tangenti, si può immaginare ogni suo punto come
generato dal moto di una retta che interseca in ogni
istante la sua posizione precedente. Una curva è
l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue
tangenti.
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Grado dell’equazione e ORDINE DELLA
CURVA: una rassegna morfologica
Coniche
(Quadratiche)
Cubiche
ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
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parabola
Serie
morfologiche
catenaria
Catenaria
d’ugual
resistenza
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sinusoide
Cicloide
di Sturm
lintearia
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kappa
Curva di
Schoute
a forma di
punta di matita
qui ottenuta come inversione
biassiale dell’iperbole
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Curva di
Agnesi
Grafico della funzione
Inversa del coseno
iperbolico
Cubica di Lamé
Curva di
Gauss
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strofoide
Folium di
Cartesio
Trisettrice di
MacLaurin
Qui costruita come intersezione di
due rette che ruotano
costantemente una alla velocità
tripla dell’altra
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Cubica circolare
razionale
cissoide
Cissoide come
curva mediana
della retta del
circolo
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Cubiche di
Chasles
Iperboli
cubiche
(P è un polinmio di terzo
grado)
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Parabole
(cubiche)
divergenti
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Quartica
razionale
piriforme
.
Curva a
“lacrima”
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Lemniscata
di Bermouilli
Lemniscata
di Gerono
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Quartiche bicircolari
razionali
Lumaca di
Pascal
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Cardioide
Qui costruita come pericicloide
.
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Quartiche di
Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
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Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche
e
toriche
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Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate
di Booth
e Ippopede di
Proclo
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Costruzioni cinematiche (come curve
di Watt) delle curve di Booth come
luoghi del centro di una conica che
ruota senza scivolare su una a lei
uguale e con i vertici coincidenti
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Quartiche di
Plücker
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Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
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Spirale
d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale
iperbolica
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Involuta del
circolo
•
•
Le involute di una data
curva piana C sono le
curve (inviluppo) tracciate
dall’estremo di un filo teso
lungo C e srotolato da
C;detto altrimenti sono le
tracce nel piano di un
punto d’una retta ruotante
senza scivolare su C (sono
dunque dei casi particolari
di cicloidi).
Una qualunque curva della
quale un’altra curva C è
l’evoluta si dice Evolvente
di C (quì il circolo è
l’Evolvente).
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Curve elastiche e parametriche
•
Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla
distanza da una curva detta direttrice
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curve di Bézier
•
•
curva di approssimazione ottenuta come
interpolazione di punti di controllo che non passa
attraverso i punti che interpola (tranne il primo e
dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al
numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di
ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo
grado).
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•
Come per Euclide la retta è quella
curva che coincide con ogni sua
tangente (la curva è una retta se
e solo se tutti i “punti di controllo”
giacciono sulla curva) così nelle
curve parametriche di Bézier la
curva è una retta se e solo se i
punti di controllo sono collineari.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
•
Una curva quadratica di Bézier si
costruisce assegnando i punti
intermedi Q0 e Q1

al variare di t da 0 a 1 il punto
Q0 varia da P0 to P1 e descrive
una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e
descrive una curva lineare di
Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1
e descrive una curva quadratica
di Bézier.
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Curve di approssimazione (B-spline)
•
•
Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono
le curve formate da più tratti di ordine uguale ma
anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di
controllo l’ordine della curva può tra n (in questo caso
è una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera
nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone
per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto
della spezzata di controllo.
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La categorizzazione comune delle curve
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Curve di Lamè
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