Il triangolo più grande
del mondo
Giulio Manuzio
con
Luis Sartori do Vale
Arnaud Bertrand
coordinamento
Boris Vecchio
CircoScienza
Ass.Cult.Sarabanda
Università di Genova
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare
Giocoleria
con le idee
Una applicazione
dell’arte di non dare mai nulla per scontato
Gauss
Uno dei più grandi geni della storia Carl Friederich
Gauss (Brunswick 1777- Gottingen 1855), talvolta
indicato come il più grande matematico della
modernità, fu un genio precoce le cui capacità
vennero presto all’orecchio del duca di Brunswick che
lo sostenne e favorì in vari modi.
 Per sdebitarsi con il duca, Gauss accettò, tra l’altro, di
diventare direttore dell’osservatorio astronomico di
Gottingen e poi di occuparsi di problemi di misura del
territorio (rilevazione geodesica dell’Hannover)

Un sospetto
Fu mentre era immerso in queste ultime attività che gli
venne un sospetto:
 la misura del territorio si fa con i teodoliti misurando
degli angoli e utilizzando il teorema di Pitagora e il
fatto che la somma degli angoli di un triangolo vale
180 gradi.
 La domanda che Gauss si pose era la seguente:
 il teorema di Pitagora, e più in generale le proprietà a
noi note dei triangoli, sono applicabili anche a triangoli
molto grandi che si estendono su una vasta porzione
del territorio e, a maggior ragione, a triangoli i cui
vertici sono individuati da corpi celesti?

Il lavoro di un genio



Anzitutto, da buon matematico, Gauss affrontò il problema su
basi generali e scoprì che lo spazio piatto in cui la somma degli
angoli di un triangolo vale sempre 180 gradi è una eccezione e
che esiste una infinità di spazi in cui il teorema di Pitagora non
è più valido e la somma degli angoli di un triangolo è diversa da
180 gradi
Gli spazi in cui il teorema non è più valido si chiamano spazi
curvi, e Gauss individuò dei criteri matematici per definire la
curvatura di uno spazio e per studiarne le proprietà.
In secondo luogo fece eseguire delle misure tra le cime di
montagne distanti per verificare che, almeno su quelle distanze,
la somma degli angoli di un triangolo risultasse essere pari a
180 gradi entro gli errori di misura
Spazi piani
bidimensionali
Il segmento che
congiunga due punti
è anche la minima
distanza tra tali
punti
 La somma degli
angoli di un
triangolo vale 180
gradi
C=2pr

Uno spazio
bidimensionale curvo
che ben
conosciamo
: la
superficie
della terra
Le
osservazioni
di un essere
bidimensionale che
vive solo
sulla
superficie di
una sfera
Le osservazioni di un
essere
bidimensionale
insensibile alla
temperatura su una
superficie piana a
temperatura
variabile
Curvatura sferica
Le osservazioni di
un essere
bidimensionale
insensibile alla
temperatura su una
superficie piana a
temperatura
variabile
Curvatura iperbolica
Il dubbio

Il nostro spazio è piatto su piccola scala
ma, su grande scala, è forse curvo?

Esiste una variabile nascosta non
percepibile dai nostri sensi che cambia la
lunghezza dei nostri metri senza che noi
ce ne rendiamo conto?

O lo spazio in cui viviamo è curvo per
qualsiasi altro motivo?
E con la teoria della relatività il
dubbio diventa molto più interessante
Per la teoria della relatività:
 La geometria dell’intero universo può essere
piatta solo se il contenuto medio W di energia e
di massa per metro cubo di universo è un
numero ben preciso che vale circa
W = 10-26 kg/m3
 Per la relatività generale il raggio di curvatura R
dello spazio vale infatti, in generale, circa
R = 1,6 1052 m/ √(W/10-26-1)

Misure recentissime (2002) di un satellite
in orbita (WMAP) hanno fornito una
risposta esauriente al dubbio di Gauss

Per continuare la
discussione ora ci
serve un cenno
alle vicende che
costituiscono la
STORIA
dell’UNIVERSO
La storia dell’universo
-
-
-
I punti salienti di nostro interesse sono:
l’universo 13,7 miliardi di anni fa, all’istante del suo inizio (il
cosiddetto big bang), era piccolissimo e caldissimo e non ha
fatto altro che continuare a raffreddarsi e ad ingrandirsi con il
passare del tempo
L’universo ha attraversato tutta una serie di configurazioni
profondamente e radicalmente diverse da quella attuale
Prima dell’ultima configurazione l’universo è rimasto, per quasi
380000 anni, in stato di plasma ed era formato da elettroni,
protoni, nuclei di elio e da un numero circa un miliardo di volte
superiore di fotoni che continuamente interagivano
fortissimamente con le altre particelle
L’universo che oggi conosciamo è dovuto alla evoluzione, con il
prosieguo del tempo, dell’ultimo cambiamento di configurazione
assunta dall’universo 380000 anni dopo il big bang, quando,
abbastanza improvvisamente e a causa della diminuzione di
temperatura, l’universo ha cessato di essere un plasma ed è
diventata possibile la formazione degli atomi che costituiscono
l’odierno universo.
La storia
dell’universo
La radiazione fossile
Al momento della transizione, avvenuta 380000 anni dopo il big
bang i fotoni, la cui energia media diminuisce al diminuire della
temperatura dell’universo, hanno smesso di interagire
fortemente con le altre particelle e, da quel momento, non
hanno potuto far altro che cominciare a vagare per l’universo
senza più interagire con la materia.
- L’universo è dunque ancora adesso, 13,7 miliardi di anni dopo,
pieno di questa radiazione (si tratta di microonde come quelle
dei radar o dei nostri forni di cucina) che noi oggi chiamiamo
“radiazione fossile”
- Oggi ci sono circa 200 milioni di fotoni della radiazione fossile
per ogni metro cubo di spazio dell’universo!
- Poiché la radiazione fossile non ha interagito con nulla dal
momento della sua origine, essa ancora oggi trasporta
informazioni relative al momento di tale origine e quindi
informazioni relative all’assetto dell’universo 380000 anni dopo
il big bang
-
Temperatura
ed espansione dell’universo
La radiazione fossile ha le stesse caratteristiche della radiazione
che esce da una cavità chiusa, mantenuta a temperatura
costante T, in cui è stato praticato un piccolo foro
- E’ questo il motivo per cui si può collegare una temperatura alla
radiazione fossile!
- La temperatura T della radiazione fossile oggi è di 2,725 K
(gradi sopra lo zero assoluto di temperatura - circa - 270 C)
- Ma era di circa 3000 K al momento in cui la radiazione fossile
ha cominciato a vagare liberamente per l’universo
- Il raffreddamento della radiazione fossile è avvenuto in
conseguenza del fatto che nel frattempo tutte le dimensioni
dell’universo sono aumentate di un fattore dato da
3000/2,725 = 1100
-
Il satellite WMAP
- Il satellite WMAP ha misurato le caratteristiche della radiazione
fossile, ne ha determinato la temperatura ( i 2,725 gradi sopra
lo zero assoluto indicati prima) e ha anche misurato delle
piccolissime fluttuazioni di temperatura che dipendono dalla
direzione da cui la radiazione proviene
- Le fluttuazioni di temperatura sono veramente piccolissime
(decimillesimi di grado) ma sono la chiave per rispondere alle
domande che prima abbiamo formulato
- Si può dire che WMAP ha scattato una fotografia dello stato
termico dell’universo come si presentava 13,7 miliardi di anni fa
e solo 380000 anni dopo il big bang
Il risultato più atteso di WMAP
La foto più antica dell’universo
Blu scuro = 2,725300 K ; rosso = 2,725700 K
Una scoperta
Più o meno tutte
le macchie che
indicano una
fluttuazione
hanno le stesse
dimensioni
 L’angolo di cielo
sotto cui vediamo
tali macchie è
all’incirca uguale
per tutte le
fluttuazioni

I risultati di una buona analisi
q = 180 / l

spettroWmap.jpg
Ma perché?
Perché ci sono le fluttuazioni?
Perché le loro dimensioni sono
distribuite in quel modo?
I risultati di una buona analisi
q = 180 / l

spettroWmap.jpg
Un possibile meccanismo
-
-
Le fluttuazioni possono aver avuto origine solo in una frazione di
secondo dopo il big bang
Le fluttuazioni consistevano di addensamenti o di rarefazioni
locali di materia e di fotoni
La materia contenuta in una fluttuazione tendeva, attraverso il
fenomeno della gravità, ad attirare materia e fotoni verso il
centro, ma
i fotoni contenuti in una fluttuazione tendevano ad espanderla
per effetto della pressione di radiazione che i fotoni esercitano
Si trattava di sistemi non in equilibrio che si espandevano e si
contraevano attorno alla loro posizione di equilibrio
L’universo vibrava come vibra l’aria per causa di un suono
Al momento del disaccoppiamento ogni fluttuazione è stata
sorpresa in qualche momento della sua oscillazione
Un possibile
meccanismo
-
-
-
-
La maggior parte delle fluttuazioni non è riuscita però a
compiere delle oscillazioni complete ed ha continuato a crescere
(espansione e raffreddamento) o a contrarsi (contrazione e
riscaldamento) per 380000 anni.
La crescita e la contrazione avvengono con la velocità con cui
varia di dimensioni un gas di fotoni e dunque ad una velocità
c/√3
Al momento del disaccoppiamento dalla materia le dimensioni di
tali fluttuazioni erano dunque
(3 108/√3 m/s . 380000 . 3 107s) = 2 1021 m
A partire da quel momento l’estensione delle fluttuazioni è
cresciuta insieme all’universo espandendosi di circa 1100 volte
(così come qualsiasi altra dimensione)
Perciò oggi la loro estensione vale:
h = 1100 . 2 1021 m = 2,2 1024 m
Un
calcoletto



Noi oggi riceviamo su WMAP la radiazione che proviene da
strutture di queste dimensioni e che distano da noi 13,7 miliardi
di anni luce e dunque:
l = 1,2 1026 m
Perciò se lo spazio non ha curvatura noi dobbiamo osservare le
strutture dovute alle fluttuazioni sotto un angolo
h/l = (2,2 1024 / 1,2 1026) radianti = 1 grado
Sotto un angolo minore se lo spazio ha curvatura iperbolica;
maggiore se ha curvatura sferica
I risultati di una buona analisi
q = 180 / l

spettroWmap.jpg
Il triangolo più grande del mondo
è molto prossimo ad un triangolo
tracciato in uno spazio piatto (1%)
Anche a scale confrontabili con le
dimensioni dell’universo lo spazio
appare piatto
Sembra che il problema di Gauss
abbia una soluzione banale
Ma la soluzione apparentemente banale
solleva molti più problemi di quanti non
sembra risolverne
La teoria della relatività prescrive infatti
che lo spazio possa essere piano solo se
la densità media della materia e
dell’energia vale un numero esatto molto
prossimo a
10-26 kg/m3
(intanto abbiamo pesato il mondo!)
Ma perchè
 Perché
tra tutti gli infiniti universi
variamente curvi che sono possibili il
nostro è piano?
 Come
è potuto succedere che la densità
media della materia e dell’energia abbia
assunto, tra gli infiniti valori possibili,
proprio il valore che rende piatto lo
spazio?
E ancora

Perché analizzando i
dati di WMAP e di altri
esperimenti
fondamentali si trova
che la composizione in
materia e in energia
dell’universo deve
essere quella indicata
in figura?
La soluzione è prevista per il
FUTURO
End
Composizione
dell’universo al
variare del
tempo
Alla PENZIAS E WILSON
Blu scuro = 0 K ; Rosso = 4 K ; quel verde = 2,725 K