Stefano Lagomarsino: laboratorio
1, costruire e usare ipertesti
L’ellisse come luogo di punti
• Nell’ultima lezione abbiamo
presentato le coniche, e in
particolare l’ellisse, come
sezioni di un cono circolare
retto
• l’ellisse infatti si ottiene
sezionando un cono con un
piano che forma con il suo
asse un angolo minore di 90°,
ma maggiore della
semiapertura del cono.
• Ora dimostreremo che l’ellisse può essere definita anche in
un altro modo:
• Nel piano di un’ellisse, infatti, esistono due punti per i
quali la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto
dell’ellisse è sempre la stessa.
• Questi due punti si chiamano “fuochi dell’ellisse”.
• Ma torniamo, per ora, al nostro
cono.
• Supponiamo di inserire,
all’interno del cono, una sfera
tangente al piano dell’ellisse
ed al cono stesso, nel modo
mostrato nella figura.
• Secondo te, in quanti punti si
toccano cono e sfera?
Due punti
Infiniti punti
Hai risposto: due punti
• Probabilmente ti ha confuso il
disegno.
• In realtà, se una sfera tocca un
cono in due punti, lo tocca
anche in infiniti altri punti che
stanno tutti su una
circonferenza il cui piano è
perpendicolare all’asse del
cono.
• Nota anche un’altra cosa:
le semirette giacenti sul
cono e che partono dal
vertice sono tutte tangenti
alla sfera, ed i segmenti
che vanno dal vertice al
punto di tangenza sono
tutti uguali.
• Un’altra domanda: ci sono
altre sfere che sono
tangenti al cono e al piano?
Si
No
Hai risposto: infiniti punti
• Infatti. Il cono tocca la sfera su
infiniti punti che stanno tutti su
una circonferenza di raggio più
piccolo del raggio della sfera.
• Il piano della circonferenza è
perpendicolare all’asse del
cono.
Hai risposto: No
• Non nella parte di spazio compresa
fra il vertice ed il piano dell’ellisse,
• però, nell’altra parte dello spazio ce
n’è un’altra, più grande della prima.
• Ovviamente, anche questa
circonferenza tocca il cono in
infiniti punti.
• Altra domanda: in quanti punti si
toccano la sfera e il piano
dell’ellisse?
Uno
infiniti
Hai risposto: Si
• Infatti, ce n’è un’altra nella
parte di spazio illimitata che
si trova dall’altra parte del
vertice, rispetto al piano.
• Ora si chiede: in quanti punti
si toccano la sfera e il piano
dell’ellisse?
Uno
Infiniti
Hai risposto: uno
• Infatti fra una sfera ed un
piano ad essa tangente ci può
essere un solo punto di
intersezione, quello più vicino
alla sfera stessa.
• Da notare che ogni retta del
piano che passa per tale punto
è anch’essa tangente alla
sfera.
Hai risposto: infiniti
• Questo era vero per il cono, ma
non può essere vero per il piano.
• Infatti se ci fossero più punti di
tangenza fra piano e sfera, il
segmento che unisce tali punti (che
per forza appartiene al piano)
sarebbe interno alla sfera.
• Il piano quindi sarebbe in parte
interno, in parte esterno alla sfera
(e quindi non sarebbe tangente)
• Fra le due sfere ed il piano
dell’ellisse ci sono quindi 2
punti di intesezione.
• Chiamiamo tali punti “fuochi
dell’ellisse” (e indichiamoli
con F1 ed F2).
F1
F2
• Scegliamo ora, a caso, un
punto dell’ellisse (chiamiamolo
“punto P”)
• tracciamo anche la semiretta
che parte dal vertice del cono e
passa per il punto dell’ellisse
che abbiamo scelto.
F1
F2
P
• Indichiamo poi con A e B i punti
di contatto fra tale semiretta e le
sfere tangenti al piano dell’ellisse.
• A proposito, secondo te, la
distanza fra A e B dipende dalla
scelta di P oppure no?
Non dipende dalla scelta di P
dipende dalla scelta di P
A
F1
F2
P
B
Hai risposto: non dipende dalla scelta di P
V
• Infatti il segmento
AB è la differenza
fra il segmento VB
ed il segmento VA,
che non dipendono
dalla scelta della
semiretta.
A
A’
B’
B
Hai risposto: dipende dalla scelta di P
V
• Guarda bene: prendi due punti P e P’
sull’ellisse, e considera i
corrispondenti punti A’ e B’.
• I segmenti VA e VA’ sono uguali
• e sono uguali anche VB e VB’
• Allora AB e A’B’ non possono che
essere uguali.
• Quindi la lunghezza di AB non
dipende dalla scelta di P.
A
A’
P
P’
B’
B
• Unisci ora il punto P con i due
fuochi
• sta attento perché questo
passaggio è cruciale:
• Secondo te, il segmento PF1 ed
il segmento PA sono uguali o
diversi?
Sono uguali
sono diversi
A
F1
F2
P
B
Hai risposto: sono diversi
• Bisogna ammettere che qui la
prospettiva è veramente
fuorviante.
• Pero pensaci un attimo:
• i due segmenti sono entrambi
tangenti alla sfera
• inoltre passano entrambi per
P. Giusto?
A
F1
F2
P
B
• Ora, una sfera stacca
segmenti uguali su tutte le
tangenti che passano per un
punto P (vedi disegno).
• Di conseguenza i segmenti,
anche se sembrano diversi,
per un effetto di prospettiva,
in realtà sono uguali.
P
Hai risposto: sono uguali
• Giusto, questo era proprio
difficile.
• In effetti i segmenti di tangente
condotti da un punto ad una
sfera sono tutti uguali fra loro.
P
• Quindi il segmento PA ed il
segmento PF1 sono fra loro
uguali.
• E analogamente anche PB è
uguale a PF2 (questo dal disegno
si vede ancora meno, ma è
sempre vero).
• Ora fa attenzione
• Se PA=PF1 e PB=PF2 allora:
A
F1
F2
P
B
PF1 + PF2 =AB
PF1 + PF2 =PA+PB
Hai risposto: PF1 + PF2 =PA+PB
V
• Questo è vero, ovviamente, ma
pensaci, A, P e B stanno sulla
stessa retta, e sono consecutivi,
quindi la somma dei due
segmenti PA e PB è proprio
uguale al segmento AB, non ti
pare?
A
P
B
Hai risposto: PF1 + PF2 =AB
• Giustissimo, finalmente siamo arrivati
all’ultimo passaggio ...
• Allora, abbiamo concluso che
per ogni punto P dell’ellisse,
la distanza PF1, sommata alla
distanza PF2, è uguale al
segmento AB
• Ora, come abbiamo visto, la
lunghezza di AB è
indipendente dalla scelta di P
• Ma allora, la somma delle
distanze del punto P dai due
fuochi F1 ed F2 è indipendente
dalla scelta di P.
A’
A
F1
F2
P
P’
B’
B
Conclusione
• Questo significa che per ogni ellisse esistono due punti (i
due fuochi) per i quali è costante la somma delle loro
distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse.
• Questo è proprio quello che si voleva dimostrare.