Storie di tentativi di avvicinare ai
problemi i miei studenti refrattari
Giovanni Artico alias “polarprof”
sito internet dei software prodotti
www.polarprof.org
I miei studenti e la risoluzione di problemi
Due atteggiamenti spontanei dei miei studenti:
•
•
Non ci provo neppure, perché non sono mai riuscito a risolverli
Invento dei calcoli con i dati che ho, e sto a vedere che cosa dice il prof.
Le difficoltà che ho rilevato:
•
•
•
Tentano di procedere sempre per “sintesi”, senza avere in mente tutta la serie di
operazioni per arrivare alla soluzione
Se ad un certo punto si bloccano perché con i dati a disposizione non possono
calcolare nient’altro, non cercano strategie alternative
Nel caso che capiscano che serve un’equazione (di solito perché è il periodo di
applicazione delle equazioni), hanno difficoltà a scriverla
Che cosa vorrei che facessero
•
•
•
•
•
Prima di iniziare a calcolare, definire il percorso completo per arrivare alla
soluzione, possibilmente descrivendolo con parole o grafici
Capire se i dati del problema consentano di procedere per “sintesi” o per “analisi”
o non siano sufficienti
Essere in grado di valutare la plausibilità della soluzione trovata
Nel caso di risoluzione per “analisi” essere in grado di scrivere le equazioni
necessarie
Conoscere qualche modo per risolvere in modo approssimato le equazioni,
valutando anche l’entità dell’errore
Azioni svolte
Frenare l’impulso a calcolare senza riflettere:
Strategia: spostare l’attenzione dai numeri alle relazioni tra le quantità in gioco.
Per fare questo ho riformulato la consegna, richiedendo la costruzione di un elenco
delle quantità e di un grafo dei legami tra di esse, e poi facendo derivare altri
problemi scambiando il ruolo dei dati e delle incognite.
Mostrare che esistono due modi di procedere:
Analizzando i grafi delle relazioni ho potuto illustrare le due possibili strategie
risolutive di “ sintesi” e “analisi” e le situazioni in cui ognuna è appropriata
Esempio di grafo delle relazioni
Problemi su: un rettangolo, di cui si considerino le relazioni tra area, base,
altezza, diagonale
A = Area
b = base
d =(b2+h2)
A = bh
h = altezza
d = diagonale
Problema1: base=5, diagonale=13, Area=?
Problema 2: base=5, Area=60, diagonale=?
Problema 3: Area=60, diagonale=13, base=?
Esempio di tabella delle relazioni
Problema: “Una merce durante il trasporto subisce un calo in peso del 5%. Se a
destinazione arrivano 25 t. , quante t. pesava alla partenza?“
Sarebbe bello questo grafo, ma tende a diventare confuso
A = peso all’origine
B = percentuale di calo
C = A * B / 100
D=A-C
25
D = peso all’arrivo
5
C = calo della merce
Quindi abbiamo ripiegato su questa tabella
Grandezze in gioco
Nomi
Peso alla partenza
A
#
% di calo sul peso alla partenza
B
#
Calo in t.
C
?
Peso all’arrivo
D
FORMULE
Relazioni
Dati
#
5
#
?
C=A*B/100
D=A-C
25
Rovesciando problemi
Partiamo dal problema dell’esame di terza:
1. Un cubo di lato dm 2 è sormontato da una piramide, alta dm 1.2, avente per base
una faccia del cubo. Trova il volume del solido.
•Io so risolverlo, è facile. Io non sopporto la geometria.
•Risolto? Va bene. Il lavoro da fare ora è scrivere altri problemi a
partire da questo, scambiando la cosa da trovare con uno dei dati.
Quali possibili problemi otteniamo?
•Scrivere? Ma che matematica è? Io ho scritto.
•Sentiamo
2. Un cubo di lato dm 2 è sormontato da una piramide, avente per base una faccia
del cubo. Sapendo che il volume del solido è dm3 10, trovare l’altezza della
piramide.
3. Un cubo è sormontato da una piramide, alta dm 1.2, avente per base una faccia
del cubo. Sapendo che il volume del solido è dm3 10, trovare il lato del cubo.
Rovesciando problemi
•Provate a risolverli e poi metteteli tutti e tre in ordine di difficoltà
•Che cosa possiamo concludere?
Il numero 1 lo sanno risolvere (quasi) tutti, col numero 2 parecchi
si trovano in difficoltà, il 3 non riesce a nessuno.
Eppure parlano tutti delle stesse tre cose.
•Dove sta la differenza?
•C’è un modo per rendere più semplici anche il 2 e il 3?
Modi di ragionare
Una prima differenza si può notare nel modo in cui procedono i
nostri pensieri.
Nel primo caso si ha l’idea di un movimento sempre in avanti: a
partire dai dati del problema basta applicare le regole note per il
calcolo dei volumi e si arriva alla soluzione.
Nel secondo si ha la sensazione di muoversi un po’ in avanti e un
po’ indietro: si può andare avanti calcolando il volume del cubo,
però per il volume della piramide e l’altezza ci si muove all’indietro,
rovesciando le formule per il calcolo dei volumi.
Nel terzo problema i movimenti in avanti sono impediti, però anche
andare indietro non sembra possibile: è una situazione nuova, ma
non inusuale.
Mentre alla scuola media si presentano le prime due situazioni, la
terza dovrebbe essere l’oggetto della scuola superiore.
Schema delle 3 situazioni
Area una faccia
Lato cubo
Volume cubo
Altezza piramide
Volume piramide
Volume solido
Area una faccia
Lato cubo
Volume cubo
Altezza piramide
Volume piramide
Volume solido
Area una faccia
Lato cubo
Volume cubo
Altezza piramide
Volume piramide
Volume solido
1
2
3
Strategie per risolvere problemi
•
•
•
Partendo dai problemi di geometria di seconda e terza
media è facile mostrare che le possibili strategie risolutive
sono due:”sintesi” e “analisi”, e per ogni problema è più
adatta l’una o l’altra.
Lo studente però conosce solo la prima e tende ad usarla
anche quando non può funzionare.
Ci sono anche problemi che si possono affrontare bene sia
con l’una che con l’altra.
Altro esempio
Dal problema (P1):”Un cono circolare retto ha il raggio di base 3
e l’apotema 5 ; quanto misura il volume V ?”
invertendolo si possono ricavare questi altri, in cui si suppone di
voler raggiungere un determinato volume:
(P2):” Un cono circolare retto ha il raggio di base 3 e il volume 40
; quanto deve misurare l’apotema a ?”
(P3):” Un cono circolare retto ha il volume 40 e l’apotema 5 ;
quanto misura il raggio di base r ?”
Esempio (continua)
(P2) viene assegnato anche alla scuola media, (P3) no. Perché
no?
Perché non si può risolvere?
Perché gli studenti non hanno gli strumenti per risolverlo?
Che cosa intendiamo con “risolvere” il problema?
“Risolvere” ha lo stesso significato per tutti e in tutti i contesti?
Esempio: se il problema fosse stato posto da un fabbricante di
coni in acciaio, forse voleva dire che il volume desiderato non è
esattamente 40, ma compreso tra 39.9 e 40.1 , perché i suoi
strumenti non gli consentono di apprezzare differenze di peso
oltre 0.1.
Esempio (continua)
In che cosa sono simili (P2) e (P3) e in che cosa differiscono?
• sono simili perché entrambi richiedono di invertire la relazione creata con
(P1), che è
V 

3
 r 2  a2  r 2
esprimo questo dicendo che per risolverli devo seguire un procedimento
di “analisi”
• sono diversi perché per trovare a la relazione si può invertire facilmente
(lo fa senza sforzo un allievo normale di scuola media), mentre per trovare
r bisogna risolvere un’equazione completa di terzo grado.
Esprimo questo dicendo che per (P2) trovo facilmente una “sintesi”, per
(P3) no.
Risolvere problemi: le strategie
•
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•
•
•
La prima domanda che lo studente dovrebbe porsi di fronte
al problema è:
So trovare una sequenza di calcoli in grado di ottenere la
soluzione partendo dai dati ?
Se sì, può procedere per “sintesi”
(es. P1)
Se no, dovrebbe chiedersi:
So costruire una procedura per verificare se dato un qualsiasi
numero esso risolve il problema ?
Se lo sa, può procedere per “analisi”
(es. P3)
Se non sa nemmeno questo, allora non è un problema che sa
affrontare con l’algebra.
Risolvere problemi: l’ANALISI
•
•
•
•
Semplificando un po’, possiamo dire che si procede per “analisi” ogni
volta che si è costretti ad avanzare per tentativi.
Questo procedimento prevede la costruzione di un algoritmo che
funziona come un crivello in grado di trattenere solo le soluzioni del
problema, scartando tutti gli altri numeri.
Si usa chiamare questo crivello equazione.
I problemi da affrontare per “analisi” sono tra i più frequenti ed
importanti, in quanto esprimono le situazioni in cui si sa bene il
risultato desiderato, ma non si sa da dove partire per ottenerlo.
La costruzione dell’equazione (o, più di frequente, di un insieme di
equazioni concatenate) è l’attività in cui lo studente dovrebbe
diventare abile. E qui comincia una delle difficoltà.
Lo studente e l’equazione
Una delle difficoltà maggiori dei miei studenti di fronte ad un problema che non si
possa risolvere per “sintesi” è scrivere le equazioni necessarie a risolverlo per
“analisi”. In genere questo è il punto in cui si bloccano.
La soluzione che ho trovato più efficace per farli ripartire è di porre una domanda di
questo tipo:
“Io dico che la risposta può essere ….. (dico un numero a caso). Tu sei in grado di dire
se la risposta è giusta?”
Di solito questo li rimette in moto, poiché il compito appare più semplice, essendo
perseguibile mediante SINTESI. (Purtroppo nella mia scuola una fetta di allievi non
riesce neanche in questo, e mi tocca darli per persi, però sono una minoranza).
Verificare una proposta di soluzione
Le prime volte gli studenti tendono a fare i loro calcoli in fretta, magari con la
calcolatrice, e bisogna faticare un po’ per convincerli a scriverli per esteso sulla
lavagna, passo dopo passo e in ordine. Loro non sanno ancora che la cosa
importante cui prestare attenzione è la sequenza delle operazioni, che vanno ben
esplicitate, ma sono tutti attenti ai risultati numerici, in particolare a vedere se
viene quanto si attendono.
Il punto fondamentale è che lavorano avendo in mente un confronto finale tra due
valori numerici, quello ottenuto e quello atteso, e per fortuna questo aspetto è
chiaro a tutti.
Alla fine della verifica in genere trovano che la soluzione proposta non va bene e si
sentono un po’ persi, come se avessero speso tante energie per niente.
E’ a questo punto che interviene il docente, che può approfittare della situazione di
stallo e di attesa dello studente.
Io quasi sempre continuo così: “Proviamo con un altro numero, può darsi che vada
meglio”.
E la risposta invariabile è: “E come lo prendiamo, a caasoo?”.
E io ribatto: “Conosci un altro modo?”
Nasce l’equazione
Dopo alcuni tentativi andati a vuoto, ma scritti passaggio per passaggio, faccio notare
che la sequenza delle operazioni è sempre la stessa e si potrebbe rappresentarla
sostituendo una lettera al numero di prova e assegnando un nome anche a tutti i
risultati intermedi. La cosa non risulta difficile.
In questo modo abbiamo una serie di equazioni che rappresentano il procedimento di
“analisi” ed ora non rimane che risolverle in qualche modo.
Normalmente si cerca di inscatolare le equazioni una nell’altra mediante sostituzioni in
modo da arrivare ad un’equazione sola.
Ho notato che, spezzettando il procedimento in questo modo, anche i miei studenti
riescono ad arrivare all’equazione.
Ho costruito anche un software con cui gli studenti hanno potuto allenarsi in questa
attività.
Dai numeri alle lettere
Avendo già impostato un procedimento con i numeri, non è difficile per gli studenti ripeterlo
mettendo una lettera al posto del numero di prova, specialmente se il procedimento è
spezzettato in piccoli passaggi successivi. I miei studenti hanno grossa difficoltà a maneggiare
espressioni con molte operazioni, per cui si rivela vincente la scelta di spezzarlo in modo
naturale in una sequenza di brevi passaggi concatenati.
Una volta riscritto il procedimento con le lettere, risulta abbastanza meccanico inscatolare i vari
passaggi uno nell’altro (con qualche problema di parentesi), in modo da arrivare ad un’unica
equazione in cui rimane come lettera solo l’incognita.
Testo del problema: “In un allevamento ci sono 200 animali tra galline e conigli. In tutto ci sono 564
zampe. Quante sono le galline?”
calcoli con i numeri
con le lettere
sostituire le lettere
incognita
x=20
x
passaggi per
costruire le
quantità da
confrontare
200-20=180
20*2=40
180*4=720
720+40=760
200-x=a
x*2=b
a*4=c
c+b=d
(200-x)*4=c
(200-x)*4+(x*2)=d
confronto
760=?=564
d=?=564
(200-x)*4+(x*2)=?=564
E’ opportuno sottolineare che solo in questo modo i miei allievi riescono ad arrivare fino
all’equazione, mentre si sa che quelli più bravi non hanno bisogno di tutto il percorso.
Potenza dell’ANALISI
L’ANALISI fornisce in ogni caso un procedimento per rispondere ad
una domanda:
“Questo numero è soluzione del problema?”
Ci fornisce quindi l’algoritmo per filtrare i numeri, lasciando passare
solo le soluzioni. Non sembra molto, però in mancanza di meglio è
un modo per giungere ad una soluzione, o almeno abbastanza
vicino da potersi accontentare.
Questo algoritmo, che si compone di una procedura di calcolo e
termina sempre con un confronto, prende il nome di equazione del
problema.
Una volta arrivati all’equazione, possiamo dire di avere in pugno la
soluzione del problema, perché ci sono strumenti anche molto
potenti per ricavarla dall’equazione.
“ANALISI” e ALGEBRA
•
•
•
•
La speranza di chi opera per “analisi” è che, studiando la sequenza di
operazioni del “crivello”, si riesca ad invertirlo, in modo da costruire un
procedimento di “sintesi” in grado di dirci subito quali sono le
soluzioni. La ricerca dei modi per invertirlo è la storia dell’algebra.
Come si sa, si finirà per capire che i casi in cui si può sperare di avere
successo sono pochi e ben delimitati. Anche se poi a scuola ci si occupa
solo di questi (o di una parte), lo studente dovrebbe avere chiara la
loro eccezionalità.
Nel caso in cui il tentativo ha successo, otteniamo la soluzione
“simbolica” del problema, altrimenti dobbiamo accontentarci di quella
numerica approssimata.
Benché la prima sia più pregiata, ritengo che alla seconda siano legate
interessanti opportunità didattiche da cogliere.
“Analisi” senza algebra?
Avendo avviato una volta questa attività di studio dei problemi ad inizio anno, prima di
parlare di algebra, ho illustrato alcuni modi per risolvere le equazioni, nei problemi
con dati numerici, utilizzando grafici o gli strumenti dell’aritmetica.
In particolare, ho provato a riprendere le tecniche in uso prima dell’esplosione
dell’algebra, con interessanti risultati.
Il punto di partenza sono i tentativi, a caso, usati per arrivare all’equazione.
La prima esigenza che nasce spontanea negli studenti è di trovare un modo per
mettere ordine nei tentativi, ed è qui che compare il faro in grado di fornire una
guida: l’ERRORE , da rendere più piccolo possibile. L’errore zero diventa l’obiettivo
finale e consente di stabilire una graduatoria tra i tentativi, in base alla loro
capacità di minimizzare l’errore.
Una volta stabilita la graduatoria di merito tra i tentativi, qualche studente è tentato di
trovare correlazioni tra l’andamento dei tentativi e gli errori, in base a
ragionamenti sulla proporzionalità delle variazioni. Se il docente dà una spintarella,
si arriva naturalmente ad una regola di interpolazione lineare in grado di
razionalizzare i tentativi.
Regula falsi
Il procedimento di interpolazione lineare per azzerare l’errore è usato fin dai tempi più
antichi e ha preso vari nomi, tra cui il più usato è “regola di falsa posizione” (in latino
regula falsi).
Il primo esempio in cui si sono imbattute le mie allieve di quell’anno è questo:
un esempio decisamente fortunato, in cui però l’attenzione cade
prova
errore
naturalmente sulle variazioni, e non si fa fatica ad ipotizzare che
nel caso generale le variazioni nelle due colonne di numeri
7
3
formino una proporzione. Infatti il passo successivo è stata la
9
1,5
formulazione del procedimento di interpolazione in termini
?
0
generali, incontrando anche le storiche difficoltà legate al segno
delle variazioni, che obbligavano gli antichi ad enumerare vari
casi, non usando numeri col segno.
Dalla proporzione tra le variazioni si ricava
facilmente che p2-s=e2(p1-p2)/(e1-e2), da cui si
prova
errore
trova s. Il procedimento è un po’ macchinoso,
p1
e1
p1-p2
e1-e2 ma alla portata di allievi diligenti.
p2
e2
Gli antichi erano andati più avanti e usavano
p2-s
e
2
s
0
una formula più semplice.
La regula falsi nella storia
I metodi di falsa posizione si trovano nei testi di aritmetica che vanno dal papiro Rhind
fino all’inizio del secolo XX e rappresentano il top delle abilità dello studente in questa
materia. Essi consentono di risolvere tutti i problemi che conducono ad un’equazione di
primo grado o anche ad un sistema di equazioni lineari, senza l’uso di metodi algebrici.
La formula usata per trovare la soluzione è:
s
p1e2  p2 e1
e2  e1
che si può ricavare da quella vista nella diapositiva precedente, ma è più semplice da
maneggiare e da ricordare.
Non utilizzando numeri negativi, i testi antichi sono obbligati a fornirne parecchie
varianti, a seconda che gli errori siano per eccesso o per difetto. Anche i nostri studenti
hanno la tendenza ad usare quantità positive, e quindi bisogna avvertirli che le
differenze vanno prese con il segno corretto.
Ci sono anche varianti della regola, però l’idea base che le accomuna è questa: il
problema si affronta facendo uno o due prove numeriche sbagliate (a seconda del tipo
di problema), ma la successiva va a colpo sicuro alla soluzione. Il caso in cui basta una
sola prova (metodo di singola falsa posizione) si presenta quando il risultato da
raggiungere è proporzionale al numero di prova: per esempio, i problemi “sopra 100 e
sotto 100” dei libri di economia (croce dei miei studenti) rientrano in questa categoria.
Egizi e Babilonesi
“La larghezza di un rettangolo misura un quarto meno della lunghezza. 40 è la misura della
diagonale. Quanto valgono lunghezza e larghezza?”
(da una tavoletta babilonese proveniente da Susa – circa 1800 A.C.)
La soluzione comincia così: “Metti che la lunghezza sia 1. Allora la larghezza …” Seguono i calcoli
per trovare la diagonale, che risulta 1:15 (notazione sessagesimale). Il testo prosegue
dicendo:”Siccome ci aspettavamo 40, trova l’inverso di 1:15 ecc .”
E’ un bel esempio di singola falsa posizione, che avrebbero ben potuto usare gli studenti delle
magistrali di un tempo.
I papiri egiziani presentano qualcosa di analogo, nel senso che partono a risolvere il problema da
una proposta di soluzione, anche se poi non è facile capire se avessero in mente una regola di
falsa posizione o operassero in questo modo per facilitare il calcolo con le loro particolari
frazioni.
Esempio (problema R26 del papiro Rhind): “Aggiungendo un quarto di se stessa ad una quantità si
ottiene 15”. Per la soluzione si parte supponendo che sia 4.
Cinesi
L’enunciazione più chiara del metodo di falsa posizione si trova nei testi cinesi dei primi secoli
della nostra era, dov’era chiamata ying bu zu shu (regola del troppo e del non abbastanza): si
parte da una jia (falsa) she (supposizione) e, dopo aver fatto tutti i calcoli elencati nel testo
del problema, si arriva ad un valore che può essere o ying (troppo) o bu zu (non abbastanza)
grande. Dopo aver determinato gli errori, si applica la formula già vista per trovare la
soluzione.
Il testo di riferimento è il Jiuzhang Suanshu (Prescrizioni di calcolo in 9 capitoli), del III secolo D.C.,
che dedica tutto il VII capitolo alla regola, illustrandola con 20 problemi accuratamente
graduati sotto il profilo didattico. Nei primi 8, per esempio, lo studente deve applicare la
regola, ma le false supposizioni gli sono fornite nel testo, in quanto lo scopo è solo di
imparare i vari casi della regola. Poi si passa a supposizioni libere, con problemi neanche
tanto banali, che si tradurrebbero anche in sistemi di due equazioni o coinvolgenti funzioni
lineari a tratti, usando tra l’altro in modo disinvolto le frazioni.
Ho trovato che questa impostazione didattica ha qualcosa da insegnare anche a me, poiché mi
sono accorto di aver saltato un passaggio forse utile con i miei studenti, ossia l’assegnazione
di problemi in cui invece di cercare la soluzione dovessero solo controllare se un valore dato
era corretto o meno.
Indiani e Arabi
Nel Lilavati di Baskara (12° sec. D.C.) si trova una descrizione, con esempi, del metodo di semplice
falsa posizione. E’ possibile che il metodo sia passato dalla Cina in India e poi agli Arabi, anche
se non ci sono riscontri storici precisi.
Gli Arabi usarono estensivamente il metodo di doppia falsa posizione, dedicandogli anche interi
libri, come il Kitab al Khata’ayn (libro dei due errori) di Abu Kamil. In genere era presentato
mediante problemi, spesso di eredità, però si trova anche una dimostrazione geometrica
della regola (di Qusta ibn Luqa).
Europa
Fibonacci nel cap. XIII del Liber Abaci presenta le regole per elchatayn (in arabo due errori, da cui
qualcuno dice che venga anche il Catai) con le quali mostra come si risolvano quasi tutti i
problemi d’abaco. La procedura che usa inizialmente è quella della proporzione tra le
variazioni, ma poi introduce anche la formula più usata.
La regola si tramanda nei trattati d’aritmetica, con tentativi di estenderla alle equazioni
quadratiche e ai sistemi.
Un esempio d’uso per risolvere i sistemi lineari si trova nella Epitome Arithmeticae Praticae del
Clavius (1583).
Interessante questa considerazione che si trova nel Traité d’Arithmétique di Bézout (1766), che
illustra la regola su problemi esemplari e conclude:
“Il metodo che è servito per risolvere i problemi precedenti si chiama metodo di doppia falsa
posizione, perché conduce al risultato con l’aiuto di due false supposizioni; questa regola è
applicabile solo ai problemi in cui gli errori diminuiscono proporzionalmente alle ipotesi fatte
sui valori delle incognite. Quando questa condizione non si verifica, il calcolo lo indica,
conducendo a un numero che non risolve il problema, e la questione è di competenza
dell’Algebra.”
La Regula Falsi in classe
Dopo aver mostrato vari esempi di interpolazione con la proporzionalità delle variazioni, ed aver
constatato i problemi che si incontrano se non si usano i numeri con segno, ho buttato là
questa osservazione: “I Cinesi facevano in quest’altro modo, non so se funziona. Provate, per
favore”.
All’inizio ci fu la solita diffidenza verso il nuovo, ma, dopo qualche prova comparativa, questo
metodo diventò lo standard, comportando meno passaggi e più automatismo, assumendo
naturalmente la denominazione di “metodo dei Cinesi”.
Misi a punto alcune attività al computer per rinforzare la padronanza del metodo e per mostrarne
l’efficacia nel rendere minimo l’errore. Non mancai di inserire alcuni esempi di situazioni in
cui il metodo fallisce, lasciando così la porta aperta a ulteriori sviluppi e solleticando la
curiosità dei più attenti.
Approntato lo strumento, mi accinsi al passo più importante: l’applicazione alla risoluzione dei
problemi. Sapevo che sarebbe stata dura e che avrei perso molti all’inizio, però bisognava
testare la bontà della tecnica, che è quella già descritta, ma resa ora meno indigesta da un
marchingegno in grado di limitare il numero di tentativi più o meno casuali.
Il modo di procedere proposto richiama quelli illustrati anche in molti manuali di aritmetica
antichi, e verrà applicato ad un breve esempio.
Risolvere il problema: fase 1
Testo del problema: “In un allevamento ci sono 200 animali tra galline e conigli. In tutto ci sono
564 zampe. Quante sono le galline?”
docente
calcoli
studente
Ipotizza una soluzione
x=20
Penso che siano 20 galline
Esegui i calcoli per stabilire
se può essere la soluzione
giusta
200-20=180
20*2=40
180*4=720
720+40=760
Trovo il numero di conigli
Zampe totali delle galline
Zampe totali dei conigli
Totale delle zampe
E’ giusto?
No
Perché?
Perché doveva risultare 564
Scrivi il confronto eseguito
760=?=564
Di quanto è l’errore?
760-564=196
L’errore è 196
Note: Uso un simbolo speciale per indicare il confronto.
Faccio tenere a mente che l’errore è stato calcolato sottraendo il numero di destra da quello
di sinistra.
Risolvere il problema: fase 2
Invito lo studente a formulare un’altra ipotesi di soluzione (ragionevole). Dice x=50.
Lo invito a ripetere la stessa sequenza di calcoli di prima, con le dovute sostituzioni.
Risulta che il numero totale di zampe viene 700.
L’errore, calcolato nello stesso verso di prima, viene 136.
Costruiamo una tabella delle proposte di soluzione e degli
errori. Mediante la Regula Falsi troviamo il valore che
dovrebbe azzerare l’errore: (50*196-20*136)/(196-136).
Risulta 118, che dovrebbe essere la soluzione.
ipotesi
errore
20
196
50
136
Però nulla garantisce che questa sia la soluzione, e quindi bisogna controllare, ripetendo la
sequenza dei calcoli e il confronto finale. In questo caso la soluzione è giusta.
Le parti più difficili in tutto questo:
• individuare le due cose da confrontare
• calcolare l’errore con il segno corretto.
Domande (vere) degli allievi:
• E se la terza volta non viene il risultato giusto?
• Ma questa è algebra?
Dove sta l’algebra?
La domanda “E se la terza volta non viene il risultato giusto?” apre la porta verso un ventaglio di
possibilità, tra cui, come diceva Bézout, anche l’Algebra, ma non solo.
Intanto, si potrebbe pensare di insistere con la regola, per vedere se ci si avvicina sempre di più al
risultato: in molti casi questo succede, e anche abbastanza rapidamente. E’ uno dei metodi
per risolvere le equazioni, anche se non il migliore.
Poi, i miei studenti hanno già chiesto: “perché a volte sì e a volte no?”: un’occasione imperdibile
per passare del tempo a parlare di funzioni lineari e non e della proporzionalità come caso
particolare (caso in cui si può risparmiare una prova); nei programmi del professionale c’è
questo argomento, ma nel giro di dieci anni si è eclissato dai libri di testo. Con il risultato che
in quinta tutti sanno che due cose sono proporzionali quando crescendo una cresce anche
l’altra.
Un’altra opportunità che si può facilmente offrire oggi è quella di risolvere graficamente il
problema, mediante le incredibili capacità del computer. Unico inghippo: per fare un grafico
serve una formula con una lettera, e fino ad ora non ne abbiamo usate. Può essere questa
una delle motivazioni per invogliare lo studente a tradurre in formule il procedimento usato
per validare le ipotesi di soluzione. Sarebbe un primo passo sulla via dell’algebra.
Dove comincia l’algebra?
Spinto dalla foga, ho provato a forzare le tappe invitando i miei studenti a scrivere
l’equazione anche nei problemi lineari: è confortante sapere che la prima
osservazione è stata: “Ma perché dobbiamo farlo, se riusciamo ugualmente a
trovare la soluzione?”
Vuol dire che serve un buon motivo per introdurre un nuovo strumento, ed è difficile
farlo senza schiodarsi dai problemi lineari con una sola incognita. Per cui bisognerà
passare a problemi quadratici, cubici o anche peggiori, da risolvere in prima
battuta per via grafica.
Il passo successivo dovrebbe essere la necessità di passare alla soluzione simbolica, e
anche per questo bisognerà trovare una buona motivazione. La ricerca della
soluzione simbolica segna per me il passaggio all’algebra, in quanto richiede la
trasformazione delle equazioni per renderle più semplici. Però è interessante
notare quanta strada si può fare anche con la sola aritmetica, e tutto grazie alle
considerazioni suscitate dall’errore.
Procedere per tentativi
•
•
È un modo di operare poco valorizzato e non gradito agli studenti più
bravi, forse perché l’incertezza che lo caratterizza (sui tempi e sulle
quantità) viene percepita come un disvalore; eppure tutte le
applicazioni della matematica ne sono intrise, e solo a scuola si tende a
ingenerare l’impressione che tutti i problemi abbiano una soluzione
esatta.
Lo studente usando questa tecnica si imbatte in conoscenze
interessanti:
– familiarizza con la questione, non semplice, delle approssimazioni
– nella necessità di organizzare e velocizzare i tentativi, può essere
guidato ad esplorare:
• modelli simbolici dei calcoli (equazioni)
• tabelle di numeri a due colonne (funzioni)
• procedure iterative con il foglio elettronico
• i programmi per il disegno del grafico di funzioni
• le tecniche di interpolazione (almeno lineare)
da “ANALISI” a “SINTESI”
•
•
Una volta che allo studente sia chiara la potenza dei metodi
approssimati, e ne abbia una certa padronanza, si possono
illustrare i motivi per cui sarebbe desiderabile o necessario
ottenere soluzioni simboliche, avvertendo comunque che
la cosa è spesso impossibile e fornendo magari anche
qualche cenno sulla storia della loro ricerca.
Lo studente è naturalmente portato al metodo di “sintesi”,
anche a sproposito (vuole sempre avere una formula da
usare). Può esservi ragionatamente condotto dalla
necessità di risolvere una classe di problemi, con dati
variabili, o dalla difficoltà di risolvere per tentativi un
sistema di equazioni. In ogni caso non si fa fatica a
convincerlo che la soluzione simbolica è preferibile.
PROBLEMA risolubile per via algebrica
STRATEGIA DI
RISOLUZIONE
Conosco
un procedimento per
trovare la soluzione con una serie di
operazioni sui
dati?
SI
Conosco
un procedimento per verificare
se una proposta di soluzione
è valida?
NO
NO
SI
Risolvo per
SINTESI
Non so
risolverlo
Descrivo il procedimento di validazione
mediante una o più EQUAZIONI
SOLUZIONE NUMERICA
APPROSSIMATA
Posso cercare
la soluzione in
due modi
SOLUZIONE
SIMBOLICA
Metodi numerici
iterativi e ricorsivi
Devo INVERTIRE il procedimento
di validazione (risolvo per
Metodi
grafici
Devo TRASFORMARE le equazioni
(conservando le stesse soluzioni)
finché l’incognita vi compare una sola volta
SI
Nel procedimento
di validazione ho usato l’incognita
più di una volta?
NO
Per fare questo devo imparare le
regole del CALCOLO LETTERALE
ANALISI)
So invertirlo
facilmente