RETTE DI TARATURA
Esempio di una retta di taratura costruita
per analisi dell’Azoto Nitrico (N-NO3)
nelle acque
prof. roberto finocchi
ITC “Cattaneo” San Miniato (PI)
a.s. 2002/2003
• In chimica analitica si presenta spesso il problema di
adattare ad una serie di punti sperimentali la “retta
migliore” (best fitting), che consente di ricavare una
relazione fra le due variabili.
• In questo modo possiamo ad esempio correlare
l’assorbanza di un campione incognito, opportunamente
trattato, con la concentrazione.
• La correlazione
TARATURA.
avviene
tramite
una
RETTA
DI
• La retta di taratura viene “costruita” partendo da una
serie di valori sperimentali dove si conosce sia
l’assorbanza che la concentrazione.
DATI DI PARTENZA
n. campione a
conc. nota
Assorbanza
1
conc. N-NO3
mg/l
0.000
2
0.102
0.271
3
0.255
0.635
4
0.354
0.798
5
0.408
1.035
6
0.510
1.277
0.000
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
COME SI TRATTANO I VALORI?
ESISTONO TRE METODI
 metodo grafico
 metodo analitico
 calcolo della retta di regressione
(metodo dei minimi quadrati)
METODO GRAFICO
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
1,200
1,100
1,000
si prende il valore di
ABS misurato
0,900
es. 0,550
0,800
0,700
0,600
0,500
si ricava il
0,400
valore di conc.
0,300
in questo caso
0,200
0,225 mg/l
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
METODO GRAFICO
VANTAGGI DEL METODO GRAFICO
• Non si devono fare calcoli
• Il grafico ottenuto può essere utilizzato più volte
METODO GRAFICO
SVANTAGGI DEL METODO GRAFICO
• Si deve disegnare il grafico
• Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità
dell’operatore
• Non è sempre facile determinare i valori che
cerchiamo sugli assi del grafico e quindi i risultati
ottenuti possono essere affetti da errore pur partendo
da dati precisi
• Non abbiamo un fattore numerico di controllo che
indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie
di dati sperimentali
METODO ANALITICO
Con questo metodo si calcola, partendo da una retta
disegnata manualmente, la sua equazione sotto la
forma Y=aX+c
dove
a coefficiente angolare
c termine noto
METODO ANALITICO
Per determinare i valori di a (coefficiente angolare) e c (termine
noto) della forma Y=aX+c si deve risolvere l’equazione seguente:
Y - Y1 =
Y2 - Y1
X2 - X1
(X - X1)
dove
X e Y sono le variabili della retta di taratura
X1 e Y1 sono le ascisse e le ordinate di un punto P1 che cade sulla
retta tracciata manualmente
X2 e Y2 sono le ascisse e le ordinate di un punto P2 che cade sulla
retta disegnata
METODO ANALITICO
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
P2
1,300
1,200
di coordinate (X2;Y2) nel
nostro caso
1,100
(0,370 ; 0,900)
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
P1
di coordinate (X1;Y1) nel
nostro caso
(0,205 ; 0,500)
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
METODO ANALITICO
All’equazione Y - Y1 =
Y2 - Y1
X2 - X1
(X - X1)
sostituiamo i valori delle coordinate del punto P1 e del punto P2
P1  (0,205 ; 0,500)
P2  (0,370 ; 0,900)
e si ottiene l’equazione
Y – 0,500 =
0,900 – 0,500
0,370 – 0,205
(X – 0,205)
METODO ANALITICO
dopo un banale calcolo algebrico l’equazione
Y – 0,500 =
0,900 – 0,500
0,370 – 0,205
si trasforma nella forma
(X – 0,205)
Y = 2,4242 X – 0,003
Sapendo che nel grafico di partenza la Y corrisponde
all’assorbanza (ABS) mentre la X alla conc. (in mg/l) abbiamo:
ABS = 2,4242 conc. – 0,003
segue che
conc. =
ABS + 0,003
2,4242
METODO ANALITICO
VANTAGGI DEL METODO ANALITICO
RISPETTO AL METODO GRAFICO
• Una maggiore precisione nei risultati in quanto i
parametri a e c della retta di taratura vengono
calcolati con due punti scelti ad hoc dall’operatore.
Si scelgono sempre punti della retta disegnata dove
è facile determinare con precisione sia il valore sulle
ascisse che sulle ordinate.
METODO ANALITICO
SVANTAGGI DEL METODO ANALITICO
• Si deve disegnare il grafico
• Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità
dell’operatore
• Si devono fare dei calcoli
• Non abbiamo un fattore numerico di controllo che
indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie
di dati sperimentali
RETTA DI REGRESSIONE
Secondo questo modello matematico la retta migliore che possiamo
costruire è quella che consente di minimizzare i quadrati delle
distanze (misurate lungo l’asse delle ordinate) fra i punti osservati e
la retta stessa
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
RETTA DI REGRESSIONE
Anche in questo caso, come nel metodo analitico,
si trova l’equazione della retta sotto la forma
Y=aX+c dove a è il coefficiente angolare e c il
termine noto.
RETTA DI REGRESSIONE
Il coefficiente angolare a si calcola applicando la relazione:
dove
Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente
Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente
n è il numero di misure fatte
RETTA DI REGRESSIONE
Il termine noto c si calcola con la relazione:
c  Y  aX
dove
Y è la media delle ordinate della serie dei dati sperimentali
a è il coefficiente angolare calcolato con la relazione vista
nella slide precedente
X è la media delle ascisse della serie dei dati sperimentali
RETTA DI REGRESSIONE
Con i dati sperimentali si può calcolare anche il coefficiente
2
di determinazione R
Questo coefficiente ci indica come la retta, calcolata con la
regressione, fitta i dati sperimentali
Il valore del coefficiente R2 varia da 0 a 1
2
R = 1 indica una perfetta corrispondenza dei valori
sperimentali e la retta calcolata con la regressione
R2 = 0 indica la totale discordanza tra i sperimentali e la retta
calcolata con la regressione
RETTA DI REGRESSIONE
R2 si calcola tramite la relazione:

 X i  Yi 
 X i Y1 

n



2
R 
2
2






X
Y


i
i
2
2
 X i 
  Yi 

n
n 

 

2


dove
Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente
Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente
n è il numero di misure fatte
n
1
2
3
4
5
6
conc
X
0.000
0.102
0.255
0.354
0.408
0.510
ABS
Y
0.000
0.271
0.635
0.798
1.035
1.277
X
0.272
Y
0.669
S Xi
S Yi
1.629
4.016
S Xi2
S Yi2
2.654
16.128
RETTA DI REGRESSIONE
X*Y
0.000
0.028
0.162
0.282
0.422
0.651
X2
0.000
0.010
0.065
0.125
0.166
0.260
Y2
0.000
0.073
0.403
0.637
1.071
1.631
S XiYi
S Xi2
S Yi2
1.546
0.627
3.815
RETTA DI REGRESSIONE
Sostituendo i valori calcolati come nella slide precedente nelle
relazioni

 X i  Yi 
 X i Y1 

n


R2 
2
2





X
Y


i
i
2
2
 X i 
  Yi 

n
n

 

2
c  Y  aX


si ottiene l’equazione della retta nella forma Y=aX+c
e tramite il valore di R2 si valuta come questa retta approssima i
dati di partenza
RETTA DI REGRESSIONE
VANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA
REGRESSIONE RISPETTO AGLI ALTRI METODI
DI
• Non si deve obbligatoriamente disegnare la retta
• Si calcola direttamente il coefficiente angolare e il termine noto
applicando delle relazioni matematiche
• La retta è univoca, cioè partendo da una stessa serie di dati
“tutti” ottengono la stessa retta di taratura
• Si riesce a determinare numericamente come la retta ottenuta
“si adatti” con i dati di partenza
• Se si dispone di un computer (e lo si sa usare) i calcoli risultano
banali, esistono programmi (tipo Excel) che danno il risultato in
automatico
• Molti strumenti per l’analisi chimica hanno al proprio interno un
software che calcola direttamente la retta di taratura con questo
metodo
RETTA DI REGRESSIONE
SVANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA DI
REGRESSIONE
• I calcoli che si devono fare, se non si dispone di un computer,
possono risultare anche laboriosi
• Se non si plottano su un grafico sia i punti sperimentali che la
retta di regressione, può risultare difficile vedere come si
comporta la retta calcolata rispetto ai valori sperimentali. A
questo problema si può ovviare utilizzando programmi tipo
Excel, che permettono di disegnare il grafico e
contemporaneamente visualizzare sia la retta di regressione,
con la propria funzione analitica, che il coefficiente R2
RETTA DI REGRESSIONE
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
R2 = 0,9936
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
RETTA DI REGRESSIONE
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
RETTA DI REGRESSIONE
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
RETTA DI REGRESSIONE
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
2
R = 0,9997
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
RETTA DI REGRESSIONE
ABS
retta taratura N-NO3
1,400
1,300
2
R = 0,9997
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
R2 = 0,9936
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
RETTA DI REGRESSIONE
retta taratura N-NO3
ABS
Le due rette non sembrano molto
differenti però se si ipotizza che il
nostro campione incognito abbia
un’assorbanza di 1,2 vediamo che
con la retta blu (R2 pari a 0,9936)
otteniamo una conc. di 0,487 mg/ll
mentre con l’altra retta (retta rossa)
ad
un’assorbanza
di
1,2
corrisponde una conc. di 0,477
mg/l.
La differenza tra le due conc.
equivale ad un errore percentuale
del 2,09%.
1,400
1,300
2
R = 0,9997
1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
R2 = 0,9936
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
conc. mg/l
Naturalmente, vedendo l’andamento della retta, si può notare che l’errore
aumenta per assorbanze alte mentre diminuisce per quelle basse.
Pertanto si può concludere che anche con il metodo della retta di regressione
l’operatore deve intervenire in modo critico, considerando nel calcolo solo i
punti che ritiene significativi, in modo da avere una retta con coefficiente R2 più
vicino possibile ad 1.