• Periodo storico-culturale della
diffusione della civiltà greca
• Vocabolo usato per la prima volta nel
XIX secolo da Droysen
• Un’era di progresso e di miglioramento
Droysen
• Storico tedesco dell’ottocento
• Inventa il termine ellenismo per
indicare il periodo che va dalla morte di
Alessandro Magno alla conquista
romana dell’Egitto
• L’Ellenismo è una visione storica intesa
come diffusione della civiltà greca oltre
la Grecia, soprattutto nelle aree orientali
Storia dell’ellenismo
• Inizio convenzionale  323/322 a.C.
anno della morte di Alessandro Magno
• Fine convenzionale  31 a.C. battaglia
di Azio, l’Egitto viene conquistato
dall’Impero Romano
• Lotta fra i successori di Alessandro
Magno 281 a.C. L’Impero di Alessandro
è suddiviso in 3 regni ellenistici
Regni ellenistici e rispettive
dinastie
periodo di massimo sviluppo della civiltà
ellenistica
• Dinastia tolemaica in Egitto
• Dinastia seleucide in Siria,
Mesopotamia, Persia
• Dinastia antigonide in Macedonia e
Grecia
• Dinastia attalide a Pergamo
Regni ellenistici
Caratteristiche dell’ellenismo
• Scomparsa della πόλις
• Diffusione della κοινὴ διάλεκτος
• Nascita di nuovi centri culturali
• Sviluppo di diversi rami della cultura
 Età aurea
Scomparsa della πόλις
(III-II sec. a.C.)
• Nascita della monarchia come forma di
governo
• Nascita di nuove forme di organizzazione
culturale (accademie e scuole)
• Nascita di una visione cosmopolita del
mondo e della cultura (contatto con gli
influssi orientali)
• Nascita di nuovi generi letterari (mimo) e
poetici
κοινὴ διάλεκτος
• Lingua comune basata sul dialetto attico del
IV-V secolo
• In uso per tutta l’età ellenistica e romana
• Inizialmente parlata all’interno dell’esercito di
Alessandro Magno, il suo sviluppo fu
favorito dalla diffusione della cultura greca in
una vasta area
• Strumento di comunicazione internazionale
per i contatti con la civiltà occidentale
Età aurea
novità nel campo scientifico
• Scoperte e invenzioni
Archimede
Erone
•Matematica e geometria
Euclide
Apollonio
Scoperte ed invenzioni
• Archimede:
le leve
gli spettri ustori
manus ferrea
principio di Archimede
vite di Archimede
odometro
• Erone: utilizzò per primo l’energia
meccanica del vapore
Archimede di Siracusa
dimostrazioni
• Rapporto fra diametro e circonferenza
uguale a quello tra l’area e il quadrato del
raggio
• L’area compresa tra una parabola e una
retta è uguale ai 4/3 di quella di un
triangolo
• Rapporto fra superficie e volume di una
sfera uguale a quello fra area e volume di
un cilindro retto circoscritto alla sfera
Apollonio di Perga
• Studiò le coniche (parabola, ellisse ed iperbole)
• Studiò le orbite eccentriche (deferenti ed epicicli)
Erone di Alessandria
• Elaborò la formula che afferma che
l’area di un triangolo, i cui lati abbiano
lunghezza a,b,c, è data da:
dove p è semiperimetro
Centri culturali dell’ellenismo
• Centri preesistenti: Atene
• Nuovi centri: Pergamo
Rovine
• Nuovi centri: Rodi
Rovine dell’acropoli
• Nuovi centri: Alessandria
La biblioteca
-Fondazione nel 332 a.C. su ordine
di Alessandro Magno
- Alla morte di Alessandro la
biblioteca venne amministrata dai
Tolomei
Storia
- Per suggerimento di Aristotele, fu costruita
una biblioteca chiamata “Bruchium”
- Il “Bruchium” divenne la maggiore
biblioteca d’Egitto e sede del sapere
universale
-
Sotto la guida di
Tolomeo I, la
biblioteca venne
rifornita di tutte le
opere più rilevanti e
importanti
- Tolomeo fece anche
erigere un faro presso il
porto di Alessandria,
affinchè le navi non si
urtassero
- L’esempio del padre fu seguito dal figlio
Tolomeo II, che si dedicò all’
arricchimento della biblioteca
- Sotto il suo governo, Alessandria diventò
una fiorente città cosmopolita: la più
grande del mondo antico prima del
primato romano
- La biblioteca di Alessandria fu la
culla della cultura metodologica,
dell’astronomia, della cartografia
geografica e della medicina
- I personaggi più importanti, che
frequentarono la Biblioteca di
Alessandria, furono:
- Euclide
- Aristarco di Samo
- Eratostene
- Aristofane di Bisanzio
Fine della biblioteca
- La distruzione della biblioteca fu
probabilmente causata da un
incendio appiccato da alcuni fanatici
cristiani, guidati da Teofilo
- Legata a questo episodio, compare
la figura di Hypatia, importante
filosofa, che venne uccisa da un
gruppo di fanatici
- La sua morte fu premeditata da
monaci cristiani per liberarsi di tutte
le conoscenze legate alla biblioteca
Ricostruzione
 La ricostruzione della
biblioteca iniziò nel 1995,
sponsorizzata dalla UNESCO
 La nuova biblioteca è stata
collocata nello stesso posto
della precedente
 E’ stata rappresentata come
un grande sole, che emerge
dalle acque
- La biblioteca oggi
contiene tutti i testi del
Sapere su undici piani:
4 scavati nel sottosuolo;
7 che convergono verso
il cielo
- Per una superficie di
45 000 mq
• Uno dei maggiori esponenti matematici
nell’età aurea
• Vissuto ad Alessandria d’Egitto, al tempo
di Tolomeo I, intorno al 300 a.C.
• Scarse informazioni
sulla vita di Euclide
• Le notizie su di lui ci
pervengono da
Proclo, storiografo
del V secolo d.C.
• Euclide passò probabilmente gran parte
della sua vita a dirigere la Biblioteca di
Alessandria
• Fondò qui un’illustre scuola
Due aneddoti riferiteci da Proclo
• “In geometria non esistono
vie regie”
• “Dagli una moneta, perché
vuol lucrare della
conoscenza”
• Non inventò nuovi teoremi, ma riordinò
in modo rigorosamente deduttivo circa
due secoli di scoperte matematiche
Elementi
Struttura degli Elementi
• 13 libri
+
• 2 libri (appartenenti probabilmente a
Ipsicle e Isidoro di Mileto)
Suddivisione
• 1-6: geometria piana elementare
• 7-9: teoria dei numeri interi e razionali
• 10: numeri incommensurabili e irrazionali
• 11-13: geometria dello spazio
Primo libro
• 23 definizioni
• 5 postulati
• 5 nozioni comuni (assiomi)
• 48 proposizioni
Principi
Edizioni degli Elementi
• Cassiodoro affermò che Euclide fu
tradotto in latino da Boezio attorno al
500 d.C.
 edizione andata perduta
• 1482: A Venezia, prima edizione a stampa
• 1505: Traduzione completa dal greco di
Bartolomeo Zamberti
• 1533: “Editio Princeps” di Basilea
• 1543: Tartaglia ne dà una versione in italiano
• 1703: Grande edizione di Oxford di D. Grey
• 1814-1818: Esce in 3 volumi con traduzione
latina e francese
• 1826-1829: Edizione del testo greco di E.F.
August
• 1833-1888: Edizione completa delle opere di
Euclide ad opera di Heiberg e Menge
Opere minori
• Opere giunte fino a noi:
 i “Dati”
 i “Fenomeni”
 l’ “Ottica”
 “Delle Divisioni”
• Opere andate perdute:
 i “Porismi”
 “Paralogismi”
 trattato sulle coniche
 scritto sui “Luoghi Superficiali”
Come sono formulati gli
elementi?
• POSTULATI: dal latino “postulare”= richiedere. E’
richiesta l’accettazione della verità di un enunciato.
• NOZIONI COMUNI: affermazioni non dimostrate
in quanto la loro verità risulta evidente (comune).
• DEFINIZIONI o TERMINI: frasi che presentano le
caratteristiche di un elemento e che si dovrebbero
fondare su concetti già conosciuti.
• PROPOSIZIONI o TEOREMI: enunciati la cui verità
è dimostrata a partire da affermazioni precedenti, per
mezzo di deduzioni logiche.
LIBRO I
23 definizioni
5 postulati
5 nozioni comuni
48 teoremi
Ὅροι (definizioni)
ά́́́. Σημεῒόν ἐστιν̦ οὗ μέρος
οὐϑέν.
1. Un punto è ciò di cui non c'è
parte.
Un punto è ciò che non ha
dimensione.
β́́. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
2. Una linea è una lunghezza
senza larghezza.
Una linea ha solo la
lunghezza. Ha dunque una
sola dimensione.
Ma sono davvero
definizioni?
N.B. una definizione è
efficace se si basa su
concetti ed elementi già
conosciuti
γ́́.́́ Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
3. Le estremità di una linea sono punti.
Una linea è sempre finita
Infinito attuale:
Retta per noi
Infinito potenziale
retta per Euclide:
segmento prolungabile
δ́́. Εὐϑεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐϕ̉ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
4. Una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa stessa
έ́.́́ Ἐπιϕάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ
πλάτος μόνον ἔχει.
5. La superficie è ciò che ha solo lunghezza e
larghezza.
La superficie ha dunque due
dimensioni
vedi punto 2
ς́́.́́ Ἐπιϕανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
6. Gli estremi della superficie sono linee.
vedi punto 3
ζ́́. Ἐπίπεδος ἐπιϕάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου
ταῖς ἐϕ́́ ἑαυτῆς εὐϑείαις κεῖται.
7. È una superficie piana quella che giace
ugualmente rispetto alle rette su di essa
stessa.
vedi punto 4
Si ripete lo
schema dei punti
2, 3, 4
Queste prime definizioni sono tuttavia deboli, infatti non si basano
su enti conosciuti in precedenza.
La geometria che si studia oggi preferisce prendere il PUNTO, la
LINEA e il PIANO come ENTI PRIMITIVI da accettare: in questo
modo le definizioni collegate ai 3 concetti risultano più accettabili
GEOMETRIA DI EUCLIDE
GEOMETRIA DI OGGI
1. Il punto è ciò che non ha parti
(??)
PUNTO= ente primitivo
2. La linea è ciò che ha solo
lunghezza (??)
LINEA= ente primitivo
3. La superficie è ciò che ha solo
lunghezza e larghezza (??)
PIANO= ente primitivo
ί́́́. Ὅταν δὲ εὐϑεῖα ἐπ̉ εὐϑείαν σταϑεῖσα τὰς ἐϕεξῆς γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρϑὴ ἑκατέρα τῶν γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ
ἐϕεστηκυῖα εὐϑεῖα κάϑετος καλεῖται ἐϕ̉ ἣν ἐϕεστηκεν.
10. Qualora una linea retta innalzata su una linea retta produca angoli
adiacenti uguali uno all'altro ciascuno degli angoli uguali è retto, e la
retta che si innalza è detta perpendicolare rispetto a quella su cui
s'innalza.
ιέ́́́. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς
περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιϕέρεια], πρὸς ἣν ἀϕ̉ ἑνὸς
σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ
προσπίπτουσαι εὐϑεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιϕέρειαν]
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
15. Il cerchio è una figura piana compresa da una sola linea [che si
chiama circonferenza]*, rispetto alla quale sono uguali tra loro tutte le
linee rette che cadono [sulla circonferenza del cerchio]* da un solo punto
tra quelli che giacciono nel cerchio.
ιϑ́́. Σχήματα εὐϑύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐϑειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐϑειῶν
περιεχόμενα.
19. Le figure rettilinee sono quelle contenute da linee rette, i trilateri
(triangoli) contenuti da tre linee rette, i quadrilateri da quattro, e i
polilateri (poligoni) da più di quattro.
Per numero lati congruenti A
•Triangoli (def. 20 e 21)
due classificazioni
Per gli angoli
Equilatero (3 lati congruenti)
(ἰσόπλευρoν)
A
triangoli
Isoscele (2 lati congruenti)
(ἰσοσκελές)
Scaleno ( 3 lati diversi)
(σκαληνόν)
B
Rettangoli (1 angolo retto)
(ὀρϑογώνιον)
B triangoli
Ottusangoli (1 angolo ottuso)
(ἀμβλυγώνιον)
Acutangolo (3 angoli acuti)
(ὀξυγώνιον)
κβ́́. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ
ἰσόπλευρόν τέἐστικαὶ ὀρϑογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ
ὀρϑογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρόν δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρόν
μέν, οὐκ ὀρϑογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον
πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν
ἐστιν οὔτε ὀρϑογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα
τραπέζια καλείσϑω.
22. Tra le figure quadrilatere è un quadrato quello che è equilatero e
rettangolo, un rettangolo quello che è rettangolo ma non equilatero, un
rombo quello che è equilatero ma non rettangolo, un romboide quello che
ha lati e angoli opposti uguali, e che non è né equilatero né rettangolo;
tutti quelli oltre a questi siano chiamati trapezi.
PER EUCLIDE
QUADRATO: lati congruenti e angoli retti
RETTANGOLO: angoli retti ma non lati congruenti
ROMBO: lati congruenti ma non angoli retti
ROMBOIDE: lati e angoli opposti congruenti ma
non equilatero rettangolo
TRAPEZIO: quadrilatero generico
PER NOI
κγ́́. Παράλληλοί εἰσιν εὐϑεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐϕ̉ ἑκάτερα τὰ μέρη, ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
23. Le linee rette parallele sono quelle che stanno sullo stesso piano
e se prolungate all'infinito da entrambe le parti, non si incontrano tra
loro da nessuna parte.
Κοιναὶ ἔννοιαι (nozioni comuni)
ά́́́. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
1. Le cose uguali ad una medesima cosa sono anche uguali tra loro.
Se A=B e C=B allora A=C.
β́́. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεϑῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
2. E qualora cose uguali siano aggiunte a cose uguali, le somme sono uguali.
Dati A+B=C e A'+B'=C', se A=A' e B=B' allora C=C'.
γ́́. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀϕαιρεϑῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
3. E qualora cose uguali siano sottratte a cose uguali, i resti sono uguali.
Dati A−B=C e A'−B'=C', se A=A' e B=B' allora C=C'.
δ́́. Καὶ τὰ ἐϕαρμόζοντα ἐπ̉ ἀλλήλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
4. E cose che coincidono tra loro sono uguali una all'altra.
έ́.́́ Kαὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν [ἐστιν].
5. E il tutto è più grande della parte.
Αἰτήματα (postulati)
ά́.́́ Ἠιτήσϑω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον
εὐϑεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
1. Risulti postulato che si possa condurre una linea retta da un
punto a qualsiasi altro punto.
β́́. Καὶ πεπερασμένην εὐϑεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ̉
εὐϑείας ἐκβαλεῖν.
2. E che una linea retta limitata possa essere prolungata
continuamente in una linea retta.
γ́́. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράϕεσϑαι.
3. E che si possa con qualsiasi centro e raggio descrivere un
cerchio.
δ́. Καὶ πάσας τὰς ὀρϑὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἴναι.
4. E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.
έ́. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐϑείας εὐϑεῖαἐμπίπτουσα τὰς
ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρϑῶν
ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐϑείας
ἐπ̉ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐϕ̉ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο
ὀρϑῶν ἐλάσσονες.
5. E che qualora una linea retta cadendo su due linee rette
formi gli angoli interni e dalla medesima parte minori di
due angoli retti le due rette estese all'infinito vengano a
incontrarsi da quella parte dove ci sono gli angoli minori
di due angoli retti.
Ovvero: quando una retta che cade su due rette forma
gli angoli coniugati interni la cui somma sia inferiore
a un angolo piatto, le due rette prolungate
continuamente si incontrano dalla parte dei due
angoli coniugati.
Teorema di Pitagora
Dal V postulato alle geometrie non euclidee
Geometria euclidea
geometria iperbolica
(Lobacevskij)
geometria ellittica
(Riemann)
curvatura del piano
nulla
negativa
positiva
numero di rette
parallele a una
retta data e
passanti per un
punto esterno
ad essa
1
almeno 2
0
somma degli angoli
interni di un
triangolo
180°
<180°
>180°