Prismi e Piramidi
Esempio di programmazione modulare
c.c. A059 Scienze matematiche, chimiche, fisiche e naturali nella
scuola media
Prismi e Piramidi
• Introduzione
• Prerequisiti
• Obiettivi
• Unità didattiche
Il prisma
La piramide
Introduzione
L’ argomento approfondito in tale tesina può costituire una unità
didattica che può considerarsi facente parte di un modulo così
strutturato
POLIEDRI
U.D. 3
PRISMI E
PI RAM I D I
U.D. 1
U.D. 2
CONTENUTI
CUBO
PARALLELE
PIPEDO
Definizione di prisma e sua
rappresentazione grafica
Sviluppo, area della superficie e
volume del prisma
Definizione e rappresentazione
grafica della piramide
Area della superficie
Volume della piramide
-
Prerequisiti
Per lo studio dei contenuti
individuati è necessario il
possesso dei seguenti prerequisiti:
• - U.D. 1 : Cubo
• - U.D. 2 : Parallelepipedo
-
- Prerequisiti necessari allo
studio delle U.D. 1 e 2
Obiettivi
•
•
•
•
•
Si ritiene necessario il
conseguimento dei seguenti
obiettivi specifici:
Saper distinguere i prismi
dalle piramidi
Individuare se sono regolari
retti, semplicemente retti oppure
obliqui
Costruire modelli di prismi
equiestesi
Costruire sviluppi piani di
prismi e di piramidi
Calcolare il volume e la
superficie di prismi e piramidi
Unità didattiche
• Definizione di prisma e sua
•
•
•
•
rappresentazione grafica
Sviluppo, area della superficie e volume
del prisma
Definizione e rappresentazione grafica
della piramide
Area della superficie della piramide
Volume della piramide
Definizione di prisma e sua
rappresentazione grafica
Sono chiamati prismi quei solidi che hanno la superficie formata da
due poligoni di base congruenti e da parallelogrammi laterali, tanti
quanti sono i lati del poligono di base
Un prisma può avere per base un poligono regolare o un poligono
qualsiasi, inoltre i suoi spigoli laterali possono essere perpendicolari
ai piani delle basi ma possono anche non esserlo.
Se un prisma ha spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi e
queste sono dei poligoni regolari il prisma è detto retto a base
regolare , allora le sue facce laterali sono rettangoli congruenti.
A questo punto possiamo far notare ai ragazzi che il cubo e il
parallelepipedo che hanno studiato precedentemente sono dei prismi.
In particolare i solidi studiati sinora possono essere rappresentati con
diagrammi di Venn in questa maniera :
Prismi
Parallelepipedi
Paral
Retti
Cubi
Facciamo notare ai ragazzi che è difficile disegnare
su un foglio un prisma, spesso è necessario disegnare
le basi un po’ schiacciate per cui è consigliabile
disegnare sempre accanto il poligono di base reale.
nella sua forma
Sviluppo, area della superficie e volume del
prisma
Specifichiamo ai ragazzi che solo di ogni prisma retto è possibile disegnare
lo sviluppo della superficie sul piano del foglio.
Tale sviluppo è formato dalle due basi e dal rettangolo delle facce laterali
che ha per base il perimetro della base e per altezza la stessa del prisma.
Quindi per trovare l’area della superficie di un prisma devo sommare
all’area di base, moltiplicata per 2, il perimetro di base moltiplicato per
l’altezza del prisma.
Proponiamo a questo punto un esercizio
Individua i prismi la cui superficie ha dato luogo ai due
sviluppi rappresentati. Descrivine le proprietà, cerca di
disegnarli sul tuo quaderno e,prese le misure necessarie,
calcolane l’area della superficie.
Per quanto riguarda il volume possiamo realizzare
sperimentalmente prismi con lo stesso numero di cartoncini
aventi lo stesso spessore, di forma quadrata o triangolare, ma
comunque con la stessa estensione, e metterli a confronto con
un parallelepipedo.
Avendo i cartoncini lo stesso spessore, i prismi avranno la
stessa altezza del parallelepipedo, se poi i cartoncini sono fra
loro equiestesi, i prismi avranno le basi della stessa estensione
di quella del parallelepipedo e quindi avranno lo stesso volume.
Poiché il volume del parallelepipedo è già noto possiamo dire
che il volume di un qualsiasi prisma è dato dal prodotto
dell’area di base per l’altezza.
Definizione e rappresentazione grafica della
piramide
Possiamo iniziare la lezione
sulla piramide facendo
subito degli esempi:
le guglie dei campanili o le
piramidi egizie, famose
tombe faraoniche.
Diciamo quindi che anche le
piramidi sono poliedri, ma a
differenza dei prismi hanno
una sola base che può
essere un poligono
qualunque, e le facce
laterali sono dei triangoli
che hanno un vertice
comune : il vertice della
piramide.
Facciamo osservare che se la
base della piramide è un
poligono regolare, il piede
dell’altezza coincide col centro
del poligono e la piramide è
detta retta a base regolare.
In questo caso le facce
laterali sono triangoli isosceli
congruenti.
Facciamo notare che anche la
piramide non è semplice da
disegnare sul foglio e
mostriamo qualche sistema per
rappresentarla.
Limitiamoci a considerare una
piramide retta a base
quadrata
Si può dedurre facilmente dalla
fig. 1 che l’area della
superficie laterale della piramide
in questione, si ottiene
moltiplicando per 4 l’area di un
triangolo costituente una faccia.
V
D
C
K
H
A
B
Fig. 1
Ma per il calcolo di codesta area
ci serve un elemento diverso dal
lato del quadrato di base e
dall’altezza.
Tale elemento è proprio l’altezza
della faccia triangolare chiamata
apotema della piramide.
Vediamo dunque come è possibile ricavare
questo elemento.
Dalla fig. 1 si può facilmente osservare che
l’apotema, indicata con VK, non è altro che
l’ipotenusa del triangolo rettangolo VHK i cui
cateti sono VH ( altezza della piramide) e HK
(metà lato di base).
Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK
possiamo dire che
VK =  VH2+ HK2
Facciamo subito un esempio
Di una piramide retta a base quadrata, supponi di conoscere
l’apotema laterale e lo spigolo di base. Come trovare l’altezza ?
Se invece conosci l’apotema e l’altezza come procedi per trovare
lo spigolo di base ?
Se conosci lo spigolo di base e lo spigolo laterale, come procedi
per trovare l’apotema e poi l’altezza ?
E infine, se conosci lo spigolo laterale e la diagonale di base come
fai a conoscere gli altri elementi ?
Dopo aver risolto insieme ai ragazzi il precedente esercizio servendoci
della fig. 1 e del teorema di Pitagora applicato più volte
opportunamente,
si può passare a trovare l’area della superficie della piramide.
Area della superficie della piramide
Immaginiamo di tagliare la piramide considerata precedentemente lungo gli
spigoli laterali e di distenderne la superficie sopra il piano: otteniamo il
seguente sviluppo
a
l
E’ evidente che l’area della
superficie laterale si trova
moltiplicando l’area di una
faccia per 4 :
Al = (1/2*l*a)*4
Applicando le proprietà
commutativa e associativa si
ha
Al = ½*l*a*4 = (4*l)*a*1/2 =
p*a*1/2
Quindi l’area della superficie
laterale si trova moltiplicando
il semiperimetro di base per
l’apotema.
Chiaramente l’area della superficie
della piramide si trova sommando
all’area della superficie laterale
l’area di base
E’ importante a questo punto
ricavare insieme ai ragazzi le
formule inverse.
Come applicazione può essere interessante far vedere come si può
costruire un particolare sviluppo della piramide usando riga e
compasso :
1.
2.
disegna la base della piramide e una sua faccia laterale
punta il compasso nel vertice della faccia laterale e, con raggio uguale
allo spigolo laterale, traccia un arco di circonferenza
3.
inscrivi nell’arco tracciato tanti triangoli congruenti quante sono le facce
laterali della piramide
Le facce laterali della piramide formano un poligono che è equiesteso ad un
triangolo avente per base il perimetro di base della piramide e per altezza
l’apotema.
L’area di tale triangolo ci dà la superficie laterale e quindi ritroviamo la
relazione precedente.
V
V
a
l
a
l
l
4l
l
l
Volume della piramide
Per il calcolo del volume della
piramide, utilizzando dei
modellini uguali di piramide
retta a base quadrata, si fa
vedere che 6 piramidi formano
un cubo che ha per spigolo il
lato di base della piramide.
Se si indica con l il lato di base e
quindi lo spigolo del cubo
possiamo dire che il volume
della piramide è uguale a 1/6
di quello del cubo di lato l e
quindi:
V = 1/6 l3
Se si indica con l il lato di base e
quindi lo spigolo del cubo possiamo
dire che il volume della piramide è
uguale a 1/6 di quello del cubo di
lato l e quindi:
V = 1/6 l3
Facendo delle trasformazioni opportune :
V=1/6l3 =1/3*1/2*l2*l = 1/3*l2*1/2l =
1/3Ab*h
infatti l2 è l’area di base e si può
subito verificare che ½ l è l’altezza h
della piramide quindi il volume della
piramide è dato da 1/3 dell’area di
base per l’altezza