LE SUCCESSIONI
• Si consideri la seguente sequenza di numeri:
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…
• detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di
conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!
• Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento
per il precedente:
3 5 8 13
1, 2, , , ,
,...
2 3 5 8
•
• ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,...
1 5
• I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:
 1.61803 ...
2
1
LE SUCCESSIONI
• Le successioni sono particolari funzioni aventi come
dominio l’insieme N dei numeri naturali e come
codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei
numeri reali.
n  an
• Le successioni vengono indicate :
• Ovvero come : a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,...
• Il grafico di una successione
si trova nel primo o nel quarto quadrante.
2
Successioni numeriche:
rappresentazione grafica
Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano
cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori
di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi
costituito da una serie di punti isolati;
in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei
numeri dispari
3
LE SUCCESSIONI
Esempio 1.
1
n

a

• Si consideri la successione:
n
n
al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si
avvicina sempre di più al numero 0.
Esempio 2
n
n

a

10
• Si consideri la successione:
n
Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi
Esempio 3
• Si consideri la successione :
n  a n  (1) n
Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.
4
LE SUCCESSIONI

5
Successioni numeriche:
limitatezza
6
Successioni numeriche:
monotonia
7
Successioni numeriche:
monotonia
8
Teorema sulle successioni monotòne
9
LE SUCCESSIONI: realtà e modelli
• Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di
tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una
percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma
inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è
espresso da:
C n  C 0 (1  n  i)
• Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile
all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n
periodi è dato dal termine n-esimo della successione:
n  a n  C n  C 0 (1  i) n
10
LE SUCCESSIONI
• Proprietà dei limiti:
lim a n  bn   lim a n  lim bn
• A)
n
n
n
• B)
• C)
• D)
lim a n  bn   lim a n  lim bn
n
n
 an
lim 
n bn
lim a n
n 
bn
n
lim a
 n n


lim bn

n
 lim a n 
lim bn
n 
n 
11
LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione il cui termine generico è
rappresentato da un polinomio di grado h in n:
n  a n   0 n h  1n h1  ...   h
• Esempio 4:
n  a n  2n 2  5n  1
• Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha:
lim a n 
n
lim n 2 (2 
n 
5 1

)
2
n n
   (2  0  0)  
• In generale si ha: lim a n  sign( 0 )
n
12
LE SUCCESSIONI
• Un successione nella quale il termine generico è dato dal
rapporto di due polinomi assume l’espressione:
n  an 
• A)
• B)
• C)
h>k
h=k
h<k
 0 n h  1n h1  ...   h
 0 n k  1n k 1  ...   k
n  an 
n4  2
 n 2  n 1
n  an 
n  an 
n2  2
 n 2  n 1
n2  2
 n 4  n 1
13
LE SUCCESSIONI
• In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a
denominatore la potenza di grado più elevato:
• Nel caso A) si ha
2
2
n 4  (1 
an 
4
)
n 2  (1 
4
)
n
n

1 1
1 1
n 2  (1  
) 1 
n n2
n n2
• Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a
•  mentre il denominatore converge a –1 quindi la
successione diverge a 
14
LE SUCCESSIONI
• Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si
ottiene:
2
2
2
an 
n  (1 
2
1
)
2
n
n

1
1
1 1
n 2  (1  
) 1 
n n2
n n2
1
lim
• Per cui
n 
2
n2
1 1
1 
n n2

1
 1
1
e quindi la successione è convergente a - 1.
15
LE SUCCESSIONI
• Nel caso C) si ha:
n 2  (1 
an 
2
)
1
2
2
n2
n

1
1
1
1
n 4  (1 

) n 2  (1 

)
3
4
3
4
n
n
n
n
• Il numeratore tende ad un numero finito mentre il
denominatore tende all’infinito (per la precisione a  ),
quindi si ottiene:
n2  2
lim
•
=0
4
n   n  n  1
• La successione è convergente.
16
LE SUCCESSIONI
• Concludendo:
• A) se h>k la successione è divergente a
0
sign( )
0
• B)
se h=k la successione è convergente a
• C)
se h<k la successione è convergente a 0.
0
0
17
LE SUCCESSIONI
• Per quanto riguarda la successione il cui termine generico
ha la forma:
  0 n h  1n h1  ...   h
n  an  
  n k   n k 1  ...  
1
k
 0




 0n p  1n p 1 ... p
• si presenta una situazione difficile solo se la la base della
potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ 
, perché
si genera la forma indeterminata 1
18
LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione :
 1
n  a n  1  
 n
n

• Essa da luogo alla forma indeterminata 1
• ma si può dimostrare che tale successione è convergente
al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi
neperiani (non naturali!) lnx.
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LE SUCCESSIONI
• Si consideri ora la successione:
bn

1 

n  c n  1 

 an 
• Dove le due successioni n  a n e n  bn sono
divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla
forma indeterminata1 . In questo caso si opera così:
bn
•
bn

1
1 
 a
n

a 
 n an 
1  1



 a

n


a
 n  an
 
 
 
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LE SUCCESSIONI
• Calcolando il limite si ottiene:

lim 1  1
n  
an
bn
a
 n  an
b

 n
1
  lim 1 



n 
a n 


e



bn
lim
n  an
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LE SUCCESSIONI
• Esempio 5.
• Si consideri la successione

1 

n  a n  1 
2
 2n  3 
n2  n
• Il calcolo del limite porta a:
lim a n
n 
e
n2  n
lim
n  2n 2 3
1
 e2
 e
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LE SUCCESSIONI
• La successione geometrica:
n  a n  aq n1
• Se q  1 la successione è oscillante e lim a n non esiste.
n
• Se 1  q  1 la successione è convergente e lim a n  0
n
• Se q=1
la successione è costante e lim a n  a
n
• Se q  1 la successione è divergente e lim a n  sign(a)
n
23
LE SUCCESSIONI
• Esempio 6.
1
n  a n   15   
9
n
n  an  5
n  a n  (2) n
n
lim a n  0
n
lim a n  
n
lim a n  ???
n
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