Probabilità. Un percorso didattico
esperimenti e simulazioni
L. Cappello
9 Maggio 2014
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
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Simulazioni con il foglio elettronico – Per …
- costruire significati di oggetti matematici e di risultati teorici
“ok in teoria, ma nella pratica le cose vanno diversamente” (misconcetti)
- sperimentare in prima persona
non è un racconto
- effettuare “molte” prove di un dato esperimento
in modo da osservare fatti significativi
- curare la progettazione e la formalizzazione
esigenze concrete del software, non del docente
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Simulazioni con il foglio elettronico – Attenzione a …
- interpretare gli esiti delle prove
in modo corretto ma adeguato al livello della classe
- integrare la trattazione “teorica” con le simulazioni
non contrapporre approccio classico e approccio frequentista
- non pensare che il calcolatore generi numeri casuali
però le sequenze prodotte si comportano come se lo fossero
- controllare i risultati e operare consapevolmente
- sperimentare anche mediante manipolazione di oggetti
le simulazioni sono delle rappresentazioni, non la realtà
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Simulazioni – Lancio di due dadi
Cosa possiamo affermare sugli esiti dei lanci?
Attività. Lancio dadi – base
traccia di lavoro
realizzazione
Attività. Lancio dadi – approfondimento
traccia di lavoro
file predisposto per studenti
realizzazione
gli studenti tengono traccia scritta delle loro risposte
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Simulazioni – Lancio di un dado
Più semplice
Eventualmente come esercizio da svolgere in modo autonomo
Attività. Lancio di un dado
traccia lavoro: analoga ad attività lancio di due dadi
realizzazione base
realizzazione avanzata (VBA)
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Simulazioni – Giochiamo alla zara
Più articolato
Eventualmente gli studenti possono lavorare sul file predisposto dal docente
Attività. Lancio di tre dadi
Traccia di lavoro: conviene puntare sul “9” o sul “10”?
ricerca per tentativi o verifica del risultato già trovato per via teorica
realizzazione base
realizzazione avanzata
se gli studenti non hanno ancora calcolato la probabilità dei punteggi,
è opportuno non compaia la colonna delle stime a priori
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Simulazioni – Una conclusione: le differenze
Gli studenti discutono le loro congetture. Il docente precisa …
tra frequenza relativa e
stima a priori, in modulo
Le differenze d
numero prove
- al crescere di n non sempre decrescono
- se n è “grande” è “molto” probabile che siano “piccole”
più precisamente
al crescere di n è sempre più probabile che si “avvicinino” a 0
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Simulazioni
Simulazioni:
– Una
unaconclusione:
conclusione le
(insegnante)
Differenze
tra frequenza e frequenza teorica,
in modulo
Le differenze D
al crescere di n non sempre decrescono
anzi
se n è “grande”, in “numerosi” casi diventano “grandi”
[“grandi” dell’ordine della radice di n]
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Simulazioni – Una conclusione: le frequenze relative
Non possiamo prevedere quale punteggio uscirà al prossimo lancio.
Però possiamo affermare qualcosa sugli esiti di “molti” lanci.
Al crescere del numero delle prove è sempre più probabile che la
frequenza relativa di un evento si “avvicini” alla stima a priori della sua
probabilità.
… è probabile, ma non è certo che questo accada
0.22222
0.19444
0.16667
0.13889
frequenza
0.11111
relativa
0.08333
esito "7"
esito "4"
0.05556
0.02778
1
19
37
55
73
91
109
127
145
163
181
199
217
235
253
271
289
307
325
343
361
379
397
415
433
451
469
487
505
523
541
559
577
595
0.00000
numero lancio
Due dadi. Frequenze relative.
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Simulazioni
Simulazioni:
ed una
esperimenti
conclusione
– Una
(insegnante)
conclusione
Tale risultato vale per ogni esperimento in cui si effettuano prove ripetute, tra
loro indipendenti e nelle “stesse” condizioni.
Esprime la sostanza della Legge dei grandi numeri.
E’ una legge teorica e si può dimostrare.
E’ verificata dall’esperienza (“Legge” empirica del caso).
Ciò che è più probabile in teoria, si realizza più spesso anche nella pratica.
Un altro modo di valutare la probabilità (schema frequentista):
la probabilità di un evento è data dalla frequenza relativa di
tale evento, osservata su un “grande” numero di prove.
Assumiamo che le prove avvengano nelle “stesse” condizioni.
Riferimento per studenti
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Simulazioni – Una conclusione: le frequenze assolute
La Legge dei grandi numeri esprime un risultato sulle frequenze relative.
Vale un risultato analogo per le frequenze assolute? No.
Le frequenze assolute di un evento E, al crescere del numero n di prove,
non tendono ad “avvicinarsi” alla frequenza teorica p(E)∙n. Anzi.
Un esempio. Lancio di un dado. Il numero “2” è uscito
110 volte su 600 lanci
1.030 volte su 6.000 lanci
9.934 volte su 60.000 lanci
| frequenza – valore teorico |= 10
| frequenza – valore teorico |= 30
| frequenza – valore teorico |= 66
Non sempre c’è “recupero”.
Anzi, gli scostamenti dalle frequenze teoriche aumentano.
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Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche
L’idea
Lanciamo una moneta n volte (per comodità n = 4, 9, 16, …)
Rappresentiamo gli esiti di ogni sequenza di lanci mediante un quadrato,
suddiviso in n quadratini uguali.
Quando esce “testa” coloriamo in blu un quadratino.
Quando esce “croce” coloriamo in arancione un quadratino.
Nell’esempio: 9 lanci, 5 teste.
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Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche
Gli esiti di alcune sequenze di lanci
4 lanci
3 teste
100 lanci
47 teste
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9 lanci
5 teste
400 lanci
194 teste
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Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche
Un’interpretazione
già dai grafici; solo dopo si conta
- Al crescere del numero di lanci …
le aree degli insiemi blu si “avvicinano” a 1/2 dell’area del quadrato
il numero di quadratini blu si “allontana” dalla metà del numero
di quadratini in cui è stato suddiviso il quadrato
- Le aree rappresentano le frequenze relative
Il numero di quadratini rappresenta le frequenze assolute
- Dunque, nella situazione in esame, cosa possiamo affermare
sull’andamento delle frequenze relative?
E su quello delle frequenze assolute?
un riferimento … ma con attenzione
http://risorsedocentipon.indire.it/offerta_formativa/f/index.php?action=copertina_percorso&lms_id=243&id_ambiente=7
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Esperimenti
Simulazioni:
– Prove
una conclusione
con oggetti(insegnante)
Cosa succede quando lanciamo materialmente un dado?
Lancio di un dado in una classe. Gli esiti:
E’ equivalente a ripetere l’esperimento tante volte
… le frequenze di 16*6*7- 3 = 669 lanci:
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Esperimenti
Simulazioni:
– Prove
una conclusione
con oggetti(insegnante)
E se lanciamo una moneta?
Possono bastare 300 lanci complessivi … probabilmente
Quale delle due monete è truccata?
Gli studenti provano a scoprirlo analizzando gli esiti delle prove
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Esperimenti
Simulazioni:
– Test
una di
conclusione
ipotesi (insegnante)
Ovvero prove ripetute per negare la validità di una congettura
L’errore di D’Alembert. Nel lancio di 2 monete consideriamo
i tre esiti: “due teste”, “una testa e una croce”, “due croci”.
Sono equiprobabili?
Proviamo!
Gioco della zara. Conviene puntare sul “9” o sul “10”?
“… la lunga osservazione ha fatto dai giocatori
stimarsi più vantaggiosi il 10 che il 9 …”
(G. Galilei)
La differenza tra le due probabilità è minore dell’1%! [2/216]
Proviamo … con il foglio elettronico
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Esperimenti
Simulazioni:
– Un
unaproblema
conclusione
“inverso”
(insegnante)
Attività. Ricostruzione dell’urna.
Il docente mette in un sacchetto delle biglie uguali, alcune blu altre nere.
Comunica solo il numero totale delle biglie.
Gli studenti estraggono una biglia alla volta, ne registrano il colore e la
reinseriscono nel sacchetto.
Quante biglie blu prevediamo ci siano nel sacchetto?
L’idea è di ricorrere alla frequenze relative
Si possono anche distribuire più sacchetti uguali e poi unire i risultati dei gruppi.
Oppure simulare estrazioni al calcolatore.
E’ delicato interpretare gli esiti.
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Esperimenti
Simulazioni:
- Non
unasolo
conclusione
prove ripetute
(insegnante)
… consideriamo anche rilevazioni statistiche:
alcuni esercizi
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