LICEO SCIENTIFICO G. ASELLI
Classe 3°E
ANNO SCOLASTICO 2005-2006
GRUPPO 3: Livio Cortellini, Marco Denti, Michele Manzini,
Alessandro Zurlini
LE CONICHE SECONDO
MENECMO
LA BIOGRAFIA DI MENECMO
• Non si sa molto sulla vita di Menecmo, il matematico
greco che per primo scoprì le sezioni coniche.
• Data di nascita: 380 a.C. circa
• Vissuto in Asia Minore
• Discepolo di Eudosso
• Amico di Platone
• Maestro di Alessandro Magno
• Ritiene che per imparare la geometria ci sia un’unica
strada sia per i re sia per i cittadini comuni
• Data di morte: 320 a.C. circa
LA STORIA DELLE CONICHE
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Menecmo pensava che le coniche si ottenessero come
intersezione di un cono circolare retto con un piano
perpendicolare alla generatrice del cono con angolo variabile
Alla fine del III secolo a.C. Apollonio osservò che bastava variare
l’inclinazione del piano di sezione per ottenere i vari tipi di coniche
Lo studio delle coniche fu seguito da secoli di silenzio
Queste curve generarono interesse nel Rinascimento quando
furono utilizzate per:
I movimenti dei pianeti (Keplero)
Le traiettorie dei proiettili (Galileo)
Le coordinate geometriche (Cartesio e Fermat)
Le proiezioni geometriche (Desargues, La Hire e Pascal)
Lo studio dei proiettili (Newton)
LA TEORIA DI MENECMO
(ED EUCLIDE)
• Menecmo ha utilizzato solo coni retti (l’asse è
perpendicolare alla base)
• I coni sono tagliati con piani perpendicolari alla
generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un
cateto
• Cono acutangolo: OXITOME (ellisse)
• Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola)
• Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)
• La teoria di Menecmo fu ripresa e integrata con l’ausilio
del famoso matematico Euclide, noto per i suoi teoremi
MENECMO
APOLLONIO
OXITOME (ELLISSE)
•
Se il triangolo per l’asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l'oxitome.
ORTOTOME (PARABOLA)
•
Se il triangolo per l’asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l'ortotome.
AMBLYTOME (IPERBOLE)
•
Se il triangolo per l’asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l‘amblytome.
BIBLIOGRAFIA
1. Enciclopedia Motta – Federico Motta Editore, Milano (2° Edizione)
2. La sintopedia – Istituto Editoriale Moderno, Milano
ENCICLOPEDIE MULTIMEDIALI
1. MSN Encarta
2. Omnia 2000
SITOGRAFIA
http://www.rappresentazione.net/migliari/Lezioni/AA_2000_2001/Sezioni_coniche/
Sezioni_coniche.htm
http://www.liguria.lafragola.kataweb.it/genova/superiori/calvino/section76862.html
http://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=artcorso&id=68
http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/Xah/Conicsections/conicSections
.html
http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/storia.htm
http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/menecmo.htm
http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/generale/index.htm
http://www.museo.unimo.it/labmat/menec.htm
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/the_sez1.htm
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/con1_01.htm
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/002ogg.htm
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/001ogg.htm
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/003ogg.htm
http://www.etimo.it/?term=ellissi
http://www.etimo.it/?term=parabola
http://www.etimo.it/?term=iperbole
DIMOSTRAZIONE OXITOME
Nel piano di base:
1)DE : EC = EC : EF, quindi: EC2 = DE·EF
Nel piano del triangolo per l'asse:
DAE simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi:
2) DE : EI = AE : EF, cioè
3) EC2 = DE·EF = EI·AE
HGA simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi:
4) IE : HA = EF : AG
Nel piano del triangolo per l'asse si ha: LFE simile LGA per il 1°
criterio di similitudine, quindi:
5) EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5), per la proprietà
transitiva, si ha
6) EI : AH = EL : AL. Scambiando i medi:
7) EI : EL = AH : AL. Si moltiplichi per AE al primo membro:
8) (EI·AE) : (EL·AE) = AH : AL.
Ma AH = 2AN e, tenendo conto della 3) si ha:
9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL.
Tutti questi segmenti stanno nel piano della sezione.Nel piano della
sezione introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine
A e asse x su AL. Poniamo: AE = x, EC = y, AL = 2a, AN = p
(parametro).La 9) si può scrivere:
10) y2 : (2a-x)x = 2p : 2a (equaz. dell'oxitome)
DIMOSTRAZIONE ORTOTOME
Si opera in tre piani: il piano del triangolo per l'asse; il piano di
base; il piano della sezione (per ABC).
Nel piano di base, per il 2° teorema di Euclide: CE2 = DE·EF.
Nel piano del triangolo per l'asse, i triangoli DAE e VHA sono
simili per il 1° criterio di similitudine, quindi:
DE:AE=AV:AH cioè DE:AE=2AV:2AH ma 2AH=AI=EF e
AV=AG (parametro) e quindi:DE:AE=2AV:EF cioè DE·EF =
AE·2AV.
Segue che CE2 = AE·2AV.
Posti CE=y , AE=x , AV=p , nel piano della sezione si ha
l'equazione classica della ortotome: y2=2px
DIMOSTRAZIONE AMBLYTOME
Nel piano di base:
1) DE : EC = EC : EF, quindi: ED·EF = EC2.
Nel piano del triangolo per l'asse
2) DAE simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: DE : EM = AE : EF, cioè
3) EC2 = ED·EF = EM·AE.
4) IGA simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: EM : AI = EF : AG.
5) LFE simile LGA per il 1° criterio di similitudine, quindi: EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5) (per la proprietà transitiva) si ha:
6) EM : AI = EL : AL. Scambiamo i medi:
7) EM : EL = AI : AL. Moltiplichiamo per AE al primo membro:
8) (EM·AE) : (EL·AE) = AI : AL.
Ma AI = 2AN e, tenendo conto della 3), si ha:
9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL.
Tutti questi segmenti stanno sul piano della sezione.
In questo piano introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL (da L verso A).
Poniamo: AE = x, EC = y, LA = 2a, AN = p (parametro).
La 9) si può scrivere: y2 : (2a+x) = 2p : 2a (equazione dell'amblytome).