MATEMATICA PER
L’ECONOMIA
CORSO SERALE
I° MODULO
Prof.ssa Angela Ghiraldini
ARGOMENTI del MODULO






EQUAZIONI di I° e II° GRADO
DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO
MATRICI e DETERMINANTI
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE
RICERCA OPERATIVA
concetti generali
programmazione lineare
metodo grafico
metodo del simplesso
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

GENERALITA’
Data un’equazione lineare (di I° grado) a1x1 + a2x2 + … + aixi + … + anxn = b
essa si dice omogenea se b = 0
Un insieme di m equazioni lineari nelle medesime n incognite si dice
sistema lineare di ordine mxn e si scrive nella forma
a11x1 + a12x2 + … + a1ixi + … + a1nxn = b1
… + … + … + … + … + … = ..
ai1x1 + ai2x2 + … + aiixi + … + ainxn = bi
… + … + … + … + … + … = ..
am1x1+ am2x2 + … + amixi + …+ amnxn = bm
Dove aij è il coefficiente dell’incognita xj nella i-esima equazione
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

GENERALITA
Un sistema lineare può essere scritto anche nella forma matriciale AX = N
Dove A è la matrice m x n dei coefficienti delle incognite
X è la matrice n x 1 delle incognite
N è la matrice 1 x m dei termini noti
Una soluzione di un sistema lineare è una n-upla ordinata (s1, s2, … , si , … , sn)
che, sostitutita alla n-pla X, verifica tutte le equazioni del sistema
Un sistema lineare si dice omogeneo se la matrice N è nulla
Due sistemi lineari si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi di soluzioni coincidono
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

GENERALITA’
Circa la risolvibilità di un sistema lineare possono verificarsi i seguenti casi
SISTEMI
LINEARI
POSSIBILI
determinati
IMPOSSIBILI
indeterminati
POSSIBILE: quando ammette soluzione/i
DETERMINATO: quando ammette una sola soluzione
INDETERMINATO: quando ammette infinite soluzioni
IMPOSSIBILE: quando non ammette soluzioni
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUADRATI
Dato un sistema lineare quadrato in n equazioni e n incognite :

si chiama matrice incompleta (o dei coefficienti) la matrice A contenente i
coefficienti aij relativi alle incognite x1, x2, … , xi, … , xn , cioè la
A = (aij)
per i = j = 1,2,…,n

si chiama matrice completa la matrice B ottenuta aggiungendo ad A la colonna N
dei termini noti, cioè la
B=
a11
…
a1i
...
a1n
b1
…
…
…
…
…
…
ai1
…
aii
…
ain
bi
…
…
…
…
…
…
an1
…
ani
…
ann
bn
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUADRATI
TEOREMA di CRAMER
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema lineare quadrato abbia
una ed una sola soluzione è che il determinante della matrice incompleta A sia
non nullo.
Se detA ≠ 0, l’ unica soluzione è data dalle FORMULE di CRAMER :
x1 = Δ1/Δ , … , xi = Δi/Δ , … , xn = Δn/Δ
dove Δ = detA , e la quantità Δi , è il determinante della matrice ottenuta dalla
matrice A, sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUADRATI
Oss.1 essendo un teorema di esistenza ed unicità, se detA = 0 allora
il sistema è : indeterminato o incompatibile
Oss.2 se il sistema è omogeneo, con detA ≠ 0 , l’unica soluzione è,
banalmente, la x1 = x2 = … = xi = … = xn = 0
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
esempio
3x + y – 2z = -2
x - 2y + 5z = -1
2x + 3y – z = 11
-2
1
-2
Dx= -1
-2
5
11
3
-1
con
= 42
D=
3
-2
-2
Dy= 1
-1
5
2
11
-1
=-210
x = Dx/D
y = Dy/D
x=42/(-42)=-1
y=(-210)/(-42)=5
3
1
-2
1
-2
5
2
3
-1
= -42
3
1
Dz= 1
-2
2
3
-2
-1 =-84
11
z = Dz/D
z=(-84)/(-42)=2
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI
Se il sistema lineare che bisogna risolvere risulta essere non quadrato
(m≠n), oppure non di Cramer (m=n e detA=0), si ricorre al seguente
Teorema che fornisce una condizione di esistenza o non esistenza
delle soluzioni
TEOREMA di Rouchè-Capelli
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema AX = N ammetta
delle soluzioni è che la matrice incompleta A e la matrice completa
B abbiano la stessa caratteristica (rango), cioè k(A) = k(B)
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI
Oss.1 essendo un teorema di esistenza/non esistenza , non fornisce
un metodo per individuare le soluzioni
Oss.2 se applicato ad un sistema che verifichi il Teorema di
Cramer, oppure ad un sistema omogeneo,
risulta
banalmente verificato
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI
Se un sistema lineare, non quadrato o non di Cramer, verifica il Teorema di RouchèCapelli, cioè se k(A) = k(AN) = r , si possono verificare due situazioni:
r = n => esiste una unica soluzione
r < n => esistono infinite soluzioni dipendenti da n-r parmetri

r =n
In questo caso il sistema da risolvere è non quadrato, non omogeneo ed i ranghi
della matrice incompleta e della completa coincidono e sono pari a n, quindi è
possibile estrarre almeno un minore di ordine < n
Si itera questo procedimento fino a quando il sistema ridotto ha dimensione tale da
poter essere risolto utilizzando le formule di Cramer o il metodo di sostituzione
Il sistema ridotto relativo al minore individuato è equivalente al sistema di partenza
quindi la unica soluzione ottenuta per esso è valida anche per il sistema iniziale
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
esempio
Rouchè-Capelli
1
x + 8y = 10
-2x + 3y = -1
5x + 2y = 12
per r = n
con
detB = -2
5
8
10
3
-1
2
12
=0
1 8
Consideriamo ora la sottomatrice quadrata M = -2 3
1 8
Poiché detM = -2 3 = 3 + 16 = 19 ≠ 0
ed essendo M sottomatrice
sia di A che di B, possiamo dedurre che entrambe la matrici hanno
caratteristica 2, cioè r = k(A) = k(B) = 2
Quindi, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione
essa inoltre è unica essendo r = n, cioè pari al numero delle incognite
Il sistema da risolvere è ora quello ridotto, quadrato di ordine 2
x + 8y = 10
mediante le formule di Cramer
x=2
-2x + 3y = -1
si ottiene la soluzione unica
y=1
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI

r <n
In questo caso il sistema da risolvere è non quadrato, non omogeneo ed i ranghi
della matrice incompleta e della completa coincidono, ma sono minori di n,
quindi è possibile estrarre almeno un minore di ordine r < n
Il sistema ridotto relativo al minore individuato è di ordine r , nelle r equazioni
rimanenti si passano a secondo membro le n-r incognite rimanenti e vengono ad
esse assegnati dei valori arbitrari
Il sistema ridotto di ordine r individuato è equivalente al sistema di partenza
Essendo quadrato lo si può risolvere ricorrendo alle formule di Cramer o al metodo
di sostituzione e la unica soluzione che si ottiene è valida anche per il sistema
iniziale
Ma tale soluzione dipende dagli n-r parametri, quindi in realtà il sistema iniziale ha
∞n-r soluzioni
A. Ghiraldini
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
esempio
Rouchè-Capelli
x + 7y – z = 15
x + 2y – 3z = -5
per r < n
A=
con
1 7
Consideriamo ora la sottomatrice quadrata M = 1 2
1
7 -1
1
2 -3
1 7
con 1 2 = -5 ≠ 0
M è sottomatrice sia di A che di B, si dedurre che entrambe la matrici hanno
caratteristica 2, cioè r = k(A) = k(B) = 2
Quindi, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione
infatti r < n, quindi esistono ∞1 = ∞n-r = ∞3-2 soluzioni
non unica
Il sistema da risolvere è ora quello a 2 incognite e 1 parametro
x + 7y = 15 +z
mediante le formule di Cramer si ottiene
x + 2y = -5 + 3z
la soluzione unica x=Dx/D y=Dy/D
Dx= 15+z 7 = -13
-5+3z 2
Dy = 1
1
15+z
-5+3z
quindi
x= (19/5)z - 13
y= 4 - (2/5)z