Probabilità. Un percorso didattico
motivazioni, valutazione classica
L. Cappello
23 aprile 2014
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
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Un percorso
idee e spunti da attività realizzate nell’ambito del Progetto
Lauree Scientifiche di Trento (PLS)
contributi del Laboratorio di didattica e comunicazione della
Matematica dell’Università di Trento … Francesca Mazzini
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Un percorso – I contenuti
- situazioni motivanti
- valutazioni di probabilità
- eventi non “elementari” e legge della moltiplicazione
- probabilità di eventi che dipendono da altri
- giochi d’azzardo e probabilità
- primi elementi di statistica descrittiva
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Un percorso – Gli aspetti in esame
- modalità di presentazione dei concetti
non fa scienza, senza
per costruire significati degli oggetti matematici lo ritenere , aver inteso
Dante Alighieri
affinché i saperi siano disponibili a lungo
- competenze (abilità, capacità …) sottese
matematiche e trasversali
- contestualizzazione in un curriculum coerente
parti di un percorso, non episodi
- approccio laboratoriale
La matematica non è
uno sport per spettatori
G. Polya
non legato a luogo fisico ma modo attivo di operare
…
per compiere scelte
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didattiche efficaci
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Un percorso – I motivi del docente
Quali sono i vostri motivi per insegnare la probabilità?
“Ormai da molto tempo mi sono convinto che non si può ottenere una buona
formazione culturale dei giovani senza utilizzare l’immensa ricchezza
concettuale ed euristica della probabilità e della statistica … intesa … come
riflessione su alcuni fondamentali processi di conoscenza … e non solo come
strumento fondamentale per le scienze sperimentali ed umane”.
Giovanni Prodi
“... nessun argomento ha valore o interesse di per sé, ma ogni argomento lo
acquista se introdotto al momento giusto in connessione con altre problematiche
… sono le connessioni effettive (applicazioni, analogie, …) che danno ai giovani
l’impressione di fare scoperte e la soddisfazione di sentirsi creativi”.
Bruno de Finetti
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Un percorso – I motivi del docente
“La matematica non è semplicemente numeri, non più di quanto la musica sia
semplicemente note.
La musica si può amare, ci si può appassionare ad essa. Anche alla matematica ci si
può appassionare ….
Ogni insegnante deve agire a suo modo, secondo le proprie tendenze.
Ognuno deve usare i propri mezzi per interessare gli studenti.
Va bene tutto, si ha bisogno di tutto, senza esclusioni”.
S. Lang
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Motivazioni iniziali – Giochi d’azzardo
Attività. Gli studenti partecipano ad alcuni giochi d’azzardo.
Tengono traccia degli esiti.
Se gioco “a lungo” al 10 e Lotto diventerò milionario?
spazio agli interventi degli studenti
le risposte non subito, ma durante il percorso
Ha rilevanza sociale
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Motivazioni iniziali – Test clinici
Risulto positivo al test per l’HIV. Sono certamente malato?
“Lei è sieropositivo”. Ma era falso.
probabilità che un
individuo malato
risulti positivo al test
• Sapendo che il test “Elisa” ha una sensibilità del 99,9%,
vuol dire che al 99,9% ho contratto l’HIV?
• Qual è la probabilità che il test “Elisa” dia esiti errati?
… per rispondere servono ulteriori ipotesi
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Motivazioni iniziali – Test clinici
- Studio su medici tedeschi: sono fornite loro informazioni analoghe.
Secondo alcuni la probabilità di malattia è del 90% (ma è il 9%!).
- Test antidoping: M.D. Slaney squalificata nel 1996.
Probabilità che un atleta sia positivo a quel test e non dopato = 1%.
Significa: positivo al test = dopato al 99%?
No. La probabilità che sia dopato è dell’ 84,7%.
90.000 ogni anno effettuano il test …“molti” positivi ma innocenti.
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Motivazioni iniziali – Misconcetti
Regolarità
Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”.
Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?
“TTTTTTTTTT”
“TCTCCTCTTC”
Compensazione
“Marta è incinta. Ha già tre bambine.
Quindi è più probabile che il prossimo figlio sia maschio.”
E’ vero?
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Motivazioni iniziali – Misconcetti
Numeri ritardatari
Numeri che non escono
Scommettereste sull’uscita del 5 sulla ruota di Palermo?
I numeri estratti
- Fino al 1993 i numeri ritardatari comparivano su Televideo
- Gennaio 2005: giocati al Lotto 1,2 miliardi di euro.
Il doppio del gennaio 2004. Ma vincite quasi uguali.
… il 53 non usciva da 182 estrazioni sulla ruota di Venezia!
Attività. Prima di ogni estrazione ciascun studente punta sul
numero che preferisce. Il docente su un numero “a caso”.
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Motivazioni iniziali – Altre situazioni
si possono proporre all’inizio sotto forma di quesiti o come lettura (eccetto “filtri”),
o in seguito come approfondimento
• Genetica: determinazione del sesso dei figli
morbo di Cooley e microcitemia
• Un caso giudiziario: O.J. Simpson e l’omicidio della moglie
Nel 1995 è assolto. Nel 1996 è condannato
E’ stata utilizzata la probabilità … male: scelta distorta dei “casi possibili”
Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è poi uccisa da lui
Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è poi uccisa da lui
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Motivazioni iniziali – Altre situazioni
• Storia: assicurazioni sul trasporto di merci (XIV secolo)
la storia della probabilità è più antica della storia
• Filtri antispam: bloccare le e-mail indesiderate
• Economia: assicurazioni e valutazione soggettiva
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Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare
Lanciamo due dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6.
Su quale punteggio (somma dei due numeri usciti) scommettete?
Perché?
Mettiamoci le mani!
Gli studenti esplorano il pb: effettuano prove, si accorgono di alcuni fatti, iniziano
ad organizzarli, usano conoscenze pregresse … formulano congetture
Provano a giustificare
Una questione più semplice
Lanciamo un dado. Qual è la probabilità che esca “6”?
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Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare
dado blu
un modello
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
"+"
1
2
3
4
5
6
dado nero
la tabella è simmetrica … questo fatto corrisponde a qualche proprietà algebrica?
il punteggio “7” è quello che compare più volte nella tabella
la probabilità che il punteggio sia “7” è: 𝟔 = 1
𝟑𝟔
6
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esce lo stesso numero sui due dadi
il numero che esce sul dado nero
è maggiore di quello sul dado blu
e se estraiamo a caso due numeri, ciascuno
da un sacchetto della tombola?
numero caselle verdi: anche 𝟑𝟔 − 𝟔 : 𝟐
dado blu
Probabilità di altri eventi
dado blu
Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare
6
5
4
3
2
1
"+"
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
9 10 11 12
8 9 10 11
7 8 9 10
6 7 8 9
5 6 7 8
4 5 6 7
3 4 5 6
dado nero
6
5
4
3
2
1
"+"
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
9 10 11 12
8 9 10 11
7 8 9 10
6 7 8 9
5 6 7 8
4 5 6 7
3 4 5 6
dado nero
escono i numeri “2” e “5”
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Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare
il punteggio è un numero pari
dado blu
dado blu
il punteggio è “5”
il punteggio è “9”
6
5
4
3
2
1
"+"
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
9 10 11 12
8 9 10 11
7 8 9 10
6 7 8 9
5 6 7 8
4 5 6 7
3 4 5 6
dado nero
d
p
il punteggio è “13”
"+"
p
d
dado nero
Dal modello: la probabilità è una misura degli insiemi
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Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare
Perché lo stesso punteggio su diagonali? Esempio: il “5”.
x := punteggio dado nero
y := punteggio dado blu
punteggio totale = 5
x+y=5 o y=-x+5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
"+"
1
2
3
4
5
6
y
x
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Valutazioni di probabilità – Consolidamento
Alcuni esempi
eventualmente assegnati per il lavoro autonomo
Esercizi dai testi in adozione (tra poco)
dadi, monete, carte, urna, roulette, Lotto … ma poi non solo giochi!
- sperimentare e manipolare oggetti
- modellizzare: tabelle, elenchi, grafi ad albero, schemi …
- valutare i risultati numerici
La Lotteria Italia 2014 ha venduto 7,7 milioni di biglietti. Ogni biglietto costa 5 €.
Il primo premio consiste in 5.000.000 €.
- Qual è la probabilità di vincere il primo premio, comprando un solo biglietto?
- Per quanto tempo dovrei comprare un biglietto al giorno, per essere sicuro
di vincere il primo premio (ossia comprando tutti i biglietti)? [> 20.000 anni]
- Quanto spenderei in totale?
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Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima
Il Gratta e Vinci Miliardiario
𝟐𝟎
La probabilità di vincere 500 milioni è 𝟏𝟎𝟎. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Disponiamo 100.800.000 schedine una di seguito all’altra. La fila è lunga
15 cm x 100.800.000 = 15.120 km
“E’ come pescare uno dei 20 fogli vincenti tra tutti quelli che formano il percorso.”
http://www.iene.mediaset.it/puntate/2014/03/26/toffa-gioco-d%E2%80%99azzardo-le-probabilita-di-vincere_8480.shtml
Come lo trasformereste in un esercizio per gli studenti?
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Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima
Il SuperEnalotto
La probabilità di vincere il primo premio è
𝟏
𝟔𝟐𝟐. 𝟔𝟏𝟒. 𝟔𝟑𝟎
Quanto è “piccolo” tale numero? Un’attività.
http://www.youtube.com/watch?v=SOB_4PyhpN8
dal minuto 16.06 al minuto 22.21
Quali accorgimenti didattici sono stati utilizzati nel video?
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Valutazioni di probabilità – Equiprobabilità
Attività. Lanciamo in l’alto questa gomma. Su quale faccia
scommettete che ricada a terra?
astragalo e giochi dell’antichità
Le facce non hanno la stessa probabilità di uscita
Equiprobabilità: da simmetria, densità, omogeneità …
è comunque un nostro giudizio
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Valutazioni di probabilità – Dipendono solo dall’evento?
Attività. Da questo mazzo di 40 carte estraggo una carta.
Qual è la probabilità che la carta sia un asso?
Proviamo
ma ho tolto gli assi!
La mia valutazione di probabilità dipende dalle informazioni
che ho sull’esperimento
- Intolleranza al lattosio.
Invito a cena una persona. Qual è la probabilità che sia intollerante
al lattosio? Vediamo dei dati.
Il vostro giudizio di probabilità ora è cambiato?
- L’insider trading è reato
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Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto
La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1.
Diremo che l’evento è impossibile se la sua probabilità è 0.
Diremo che l’evento è certo se la sua probabilità è 1.
Un modo di valutare la probabilità (schema classico):
la probabilità di un evento è data da
𝐜
𝐧
dove
c è il numero dei casi in cui esso si verifica (casi favorevoli),
n è il numero dei casi che possono accadere (casi possibili).
Stiamo assumendo che tali casi siano tutti “ugualmente
possibili” tra loro.
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Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto
Più precisamente
Abbiamo considerato degli eventi (affermazioni sull’esperimento)
E a ciascuno di essi abbiamo associato un numero, la probabilità.
La probabilità è una funzione
dalla famiglia degli eventi nell’intervallo [0,1].
Allora, se indichiamo con p una funzione di tale tipo, la
probabilità di un evento E si denota con p(E).
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Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture
• Esercizi sui concetti
a) “Mario ha due figli e almeno uno di essi è maschio”
b) “Mario ha due figli e il maggiore di essi è maschio”
Qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio?
a) casi possibili: MM MF FM; probabilità 1/3
b) casi possibili: MM MF;
probabilità 1/2
Assumiamo equiprobabili : “nasce un maschio”, “nasce una femmina”.
Dalla genetica: il sesso di un figlio è indipendente da quello degli altri.
• Letture: genetica, casi giudiziari, storia (viste in Motivazioni)
eventualmente esposizione ai compagni
• Esercizi relativi alla genetica
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Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture
Il gioco della zara
Si gioca con tre dadi. A turno, ogni giocatore chiama un numero
compreso tra 3 e 18 e poi lancia i dadi.
Vince chi per primo ottiene come punteggio il numero chiamato.
- Su quale valore della somma scommettete?
- Perché si escludono i punteggi dal 3 al 7 e dal 14 al 18?
Se troppo difficile, “repetere le volte” … con il foglio elettronico
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