REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 1
REGOLATORI
P. I. D.
Dott. Ing. VINCENZO SURACI
ANNO ACCADEMICO 2012-2013
Corso di AUTOMAZIONE 1
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 2
REGOLATORI P.I.D.
INTRODUZIONE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 3
REGOLATORE P.I.D.
• Il regolatore P.I.D. è un controllore a struttura
predeterminata di tipo Proporzionale, Integrale e
Derivativo.
• È caratterizzato da tre parametri liberi, KP, KI e KD
• Tali parametri devono essere fissati dal progettista
della modalità di controllo per ottenere le prestazioni
desiderate dall’elemento controllato.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 4
REGOLATORI P.I.D.
STRUTTURA DI TIPO PARALLELO
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 5
SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALE
PER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO

𝑝
𝐾𝐼
e(t)
e(t) dt
c(t)
𝑝
𝐾𝑃
𝑝
𝐾𝐷
Suraci
d e (t)
dt
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 6
SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALE
PER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO
𝜒 𝑠
𝑝
𝑝1
𝑝
= 𝐾𝑃 + 𝐾𝐼 + 𝐾𝐷 𝑠
𝜀 𝑠
𝑠
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 7
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO
• Lo schema di tipo parallelo era utilizzato in
prevalenza per la realizzazione di dispositivi di
elaborazione con tecnologie meccaniche e
pneumatiche, attualmente in disuso.
• Il problema principale che affligge la struttura di tipo
parallelo è la suscettibilità al rumore di misura.
• Se si calcola la derivata come rapporto incrementale,
ridurre il passo di campionamento dei sensori
acuisce il problema!
• Può essere utile aumentare la precisione dei sensori,
ma il costo aumenta sensibilmente.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 8
EFFETTO DELLA DURATA DEL PASSO DI CAMPIONAMENTO
E DELLA LUNGHEZZA DEL BYTE
21 CAMPIONI
STIMA DELLA
DERIVATA
SEGNALE
ANALOGICO
81 CAMPIONI
DERIVATA ANALOGICA
STIMA DELL’AZIONE DERIVATIVA A.A. 2012/2013
Suraci
RAPPORTO INCREMENTALE
QUANTIZZAZIONE A 8 BIT
AUTOMAZIONE 81
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 9
EFFETTO DELLA DURATA DEL PASSO DI CAMPIONAMENTO
E DELLA LUNGHEZZA DEL BYTE
21 CAMPIONI
STIMA DELLA
DERIVATA
SEGNALE
ANALOGICO
81 CAMPIONI
DERIVATA ANALOGICA
RAPPORTO INCREMENTALE
QUANTIZZAZIONE A 32 BIT
STIMA DELL’AZIONE DERIVATIVA A.A. 2012/2013
Suraci
AUTOMAZIONE 91
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 10
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO
• A causa dell’inevitabile presenza di rumore, il calcolo
della derivata deve essere effettuato in modo da
attenuare il rumore sovrapposto al segnale utile e
quindi NON come rapporto incrementale.
• È sufficiente ottenere una stima del valore della
derivata piuttosto che il valore esatto.
• L’azione derivativa deve essere applicata solo nel
campo delle frequenze relative all’andamento della
variabile di errore. Ossia deve essere tarata sulla
banda del segnale di errore.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 11
RAPIDO EXCURSUS
DEFINIZIONE DI BANDA
DI UN SEGNALE ANALOGICO
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 12
BANDA DI UN SEGNALE ANALOGICO
• Dato un segnale analogico Reale
𝑥 𝑡 :ℝ → ℝ
• Generato da un sistema Causale
𝑥 𝑡 = 0 ∀𝑡 < 0
• Limitato
∃𝑀 ∈ℝ| 𝑥 𝑡
Suraci
ovvero
a Potenza finita
< 𝑀 ∀𝑡 ≥ 0
1
lim
𝑇→+∞ 𝑇
A.A. 2012/2013
𝑇
𝑥 𝑡
2 𝑑𝑡
=𝑃∈ℝ
0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 13
BANDA DI UN SEGNALE ANALOGICO
• Ad energia finita
+∞
𝑥 𝑡
2 𝑑𝑡
=𝐸∈ℝ
0
• Esso è quindi Fourier-Trasformabile
+∞
𝑥 𝑡 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 ∈ ℂ
𝑋 𝑓 =
𝑋 𝑓 = 𝑋 −𝑓
ESSENDO x(t) REALE
X(f) È PARI
0
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 14
BANDA DI UN SEGNALE ANALOGICO
• Per il teorema di Parseval
+∞
+∞
𝑥 𝑡
2 𝑑𝑡
=2
0
𝑋 𝑓
2 𝑑𝑓
=𝐸∈ℝ
0
• Definiamo spettro di densità di energia la
trasformata del segnale di autocorrelazione
+∞
𝑋 𝑓
2
𝑥 𝑡 + 𝜏 𝑥 𝑡 𝑑𝜏 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
=
𝑡=−∞
Suraci
+∞
𝜏=−∞
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 15
BANDA DI UN SEGNALE ANALOGICO
• Lo spettro di densità di energia, espresso in deciBel
ed in funzione della pulsazione, è il diagramma di
Bode (del Modulo)
𝜔
𝑓=
2𝜋
→
10log10 𝑋 𝑓
2
= 20 log10 𝑋 𝜔
• Per i segnali analogici, la banda è l'intervallo di
frequenze (dalla minima alla massima) che «contiene»
la maggior parte dell'energia del segnale.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 16
REGOLATORI P.I.D.
STRUTTURA DI TIPO SERIE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 17
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE
e(t) AZIONE
PROPORZIONALE
E INTEGRALE
AZIONE
PROPORZIONALE
E DERIVATIVA
c(t)
• Lo schema di tipo serie è utilizzato per realizzare
dispositivi di elaborazione con tecnologie
elettroniche.
• L’azione proporzionale e integrale precede quella
proporzionale e derivativa per ottenere una parziale
attenuazione del rumore di misura e alla
quantizzazione.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 18
e(t)
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE
+
𝐾𝑃𝑠
+
𝐾𝐼𝑠
𝐾𝐷𝑠
𝜀 𝑡 𝑑𝑡
𝜒 𝑠
1
𝑠
𝑠
= 𝐾𝑃 1 + 𝐾𝐼
𝜀 𝑠
𝑠
Suraci
c(t)
+
𝑑𝜀 𝑡
𝑑𝑡
+
1 + 𝐾𝐷𝑠 𝑠
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 19
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE
j(t)
𝑠
𝑠
𝜑 𝑠
1
𝐾
𝑠
+
𝐾
𝑃
𝐼
= 𝐾𝑃𝑠 1 + 𝐾𝐼𝑠
=
𝜀 𝑠
𝑠
𝑠
Suraci
A.A. 2012/2013
ZERO REALE IN:
−𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
POLO
NELL’ORIGINE
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 20
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE
EFFETTO DELLA AZIONE INTEGRATORE
𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
Suraci
𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
𝐾𝐼𝑠 𝐾𝑃𝑠
Pulsazione di taglio
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 21
EQUIVALENZA
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE (s)
REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO (p)
𝜒 𝑠
1
𝑠
𝑠
= 𝐾𝑃 1 + 𝐾𝐼
𝜀 𝑠
𝑠
=
𝐾𝑃𝑠
+𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐼𝑠
𝐾𝐷𝑠
+
1
+ 𝐾𝐷𝑠 𝑠
𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐷𝑠
𝑠+
𝐾𝑃𝑠
1
𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐼𝑠
1
𝑠
=
+ 𝐾𝐷𝑠 𝑠
+ 𝐾𝐼𝑠
1
+ 𝐾𝐼𝑠 𝐾𝐷𝑠 =
𝑠
𝑝
𝐾𝑃 = 𝐾𝑃𝑠 +𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐼𝑠 𝐾𝐷𝑠
𝑝
𝐾𝐷 = 𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐷𝑠
𝑝
𝐾𝐼 = 𝐾𝑃𝑠 𝐾𝐼𝑠
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 22
REGOLATORI P.I.D.
LIMITI DEGLI ATTUATORI
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 23
REGOLATORE P.I.D. – LIMITI DEGLI ATTUATORI
• Un regolatore P.I.D. è connesso a monte di un
attuatore, il quale presenta:
• una saturazione data dalla massima escursione
della variabile di controllo;
• una banda passante che determinata la «rapidità
di esecuzione» dell’attuatore;
• un valore massimo che può raggiungere la
variabile di forzamento nel funzionamento a
regime permanente o per intervalli di tempo di
durata limitata (sovraccarico transitorio).
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 24
SCHEMA FUNZIONALE DI UN ATTUATORE
DISTURBO
VARIABILE DI CONTROLLO
VARIABILE DI
FORZAMENTO
DELL’ATTUATORE
VARIABILE
CONTROLLATA
LIMITAZIONI ALLA:
ATTUATORE
• MASSIMA ESCURSIONE
• RAPIDITÀ DI VARIAZIONE
• SOVRACCARICO TRANSITORIO
SISTEMA DA
CONTROLLARE
ATTUATORI ATTIVI (SERVOMECCANISMI)
ATTUATORI PASSIVI
MASSIMO VALORE
STAZIONARIO
FORZAMENTO
FORZAMENTO
ANDAMENTO LIMITE DELLA RISPOSTA A GRADINO
CAMPO DI
ESCURSIONE
DELLA VARIABILE
DI FORZAMENTO
MASSIMO VALORE
IN TRANSITORIO
CAMPO DI MASSIMO VALORE
ESCURSIONE STAZIONARIO
DELLA VARIABILE
DI FORZAMENTO
tempo
Suraci
A.A. 2012/2013
tempo
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 25
REGOLATORI P.I.D.
CAMPO DI UTILIZZO
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 26
REGOLATORE P.I.D. – CAMPO DI APPLICAZIONE
• Utilizzato per soddisfare le prestazioni relative al
comportamento a regime permanente;
• SENZA MODELLO
• solo PI;
• tuning in modo empirico;
• MODELLO NELLA DINAMICA DOMINANTE
• solo PI;
• Tuning sistematico;
• non permette di influire sul comportamento
transitorio
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 27
REGOLATORE P.I.D. – CAMPO DI APPLICAZIONE
• MODELLO NELLA DINAMICA DOMINANTE
• PI+D;
• Tuning sistematico;
• Un parziale miglioramento del comportamento
in transitorio è ottenuto dall’azione derivativa.
• L’inserimento dell’azione integrale determina un
rallentamento del transitorio rispetto a quello che
aveva l’elemento in esame nel controllo a catena
aperta.
• L’inserimento dell’azione derivativa attenua tale
rallentamento del comportamento dinamico.
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 28
REGOLATORI P.I.D.
STIMA DELLA DERIVATA
FILTRO DEL PRIMO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 29
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
La stima della derivata può essere effettuata rendendo operativo un filtro del primo
ordine costituito da un polo reale e da uno zero reale.
La posizione del polo e dello zero va scelta in modo che il filtro del primo ordine
abbia un comportamento simile a quello della derivata ideale nell’intervallo di
frequenza centrato sulla banda passante dell’elemento controllato.
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
BANDA PASSANTE
DELL’ELEMENTO
CONTROLLATO
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 30
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
Un filtro del primo ordine è in grado di stimare la derivata entro
una banda di frequenze ben definita.
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 31
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
Un filtro del primo ordine è in grado di stimare la derivata entro una banda di frequenze
ben definita.
Oltre tale banda di frequenza il rumore NON è amplificato
come invece accade nel derivatore ideale, ma NON è
nemmeno attenuato.
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 32
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
In corrispondenza delle basse frequenze, ovvero a regime
permanente, il filtro di stima del primo ordine presenta solo una
attenuazione (che sarebbe stata nulla nel caso di derivata) che
varia il guadagno complessivo del regolatore e di cui bisogna
tenere conto.
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 33
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
RISPOSTA AL GRADINO
L’andamento della risposta a gradino presenta una discontinuità
in corrispondenza dell’istante iniziale.
Ciò sta a confermare che le componenti a frequenza più elevata
non sono attenuate.
b1 s + b0
a1 s + a0
DERIVATA “APPROSSIMATA”
CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
A.A. 2012/2013
tempo
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 34
REGOLATORI P.I.D.
STIMA DELLA DERIVATA
FILTRO DEL SECONDO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 35
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
Un filtro del secondo ordine è costituito da due poli complessi
coniugati e da uno zero reale.
b1 s + b0
a1 s + a0
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
BANDA PASSANTE
DELL’ELEMENTO
CONTROLLATO
A.A. 2012/2013
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 36
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
La posizione dei poli e dello zero va scelta in modo che sia
compresa entro l’intervallo di frequenza centrato sulla banda
passante dell’elemento controllato con le azione proporzionale e
integrale.
b1 s + b0
a1 s + a0
.1
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
1
10
BANDA PASSANTE
DELL’ELEMENTO
CONTROLLATO
A.A. 2012/2013
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 37
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
Un filtro del secondo ordine è in grado di stimare la derivata
entro una banda di frequenze ben definita.
b1 s + b0
a1 s + a0
.1
s
1
10
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 38
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
Ad alte frequenze, il rumore è attenuato, a differenza di quanto
accade nel filtro del primo ordine.
b1 s + b0
a1 s + a0
.1
s
1
10
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 39
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
DIAGRAMMA DI BODE
In corrispondenza delle basse frequenze, permane una
attenuazione finita e quindi occorre adeguare il guadagno del
regolatore.
b1 s + b0
a1 s + a0
.1
s
1
10
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
w (rad/sec) 100
DERIVATA
“APPROSSIMATA”
A.A. 2012/2013
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 40
STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
RISPOSTA A GRADINO
L’andamento della risposta a gradino non presenta una brusca
discontinuità in corrispondenza dell’istante iniziale. Ciò sta a
confermare che le componenti a frequenza più elevata sono
attenuate.
b1 s + b0
a1 s + a0
s
DERIVATA
“ESATTA”
Suraci
DERIVATA “APPROSSIMATA”
CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
DERIVATA “APPROSSIMATA “
CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
A.A. 2012/2013
b 1 s + b0
s 2 + a1 s + a0
tempo
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 41
REGOLATORI P.I.D.
STIMA DELLA DERIVATA
ATTENUAZIONE DELL’EFFETTO
DEL RUMORE DI MISURA
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 42
Confrontiamo i risultati del filtraggio di un andamento
sinusoidale con sovrapposta una sinusoide di ampiezza minore
e di pulsazione molto superiore (rumore sinusoidale).
VALORE
“VERO”
DERIVATA
DEL VALORE
“VERO”
VALORE STIMATO
DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO
DEL PRIMO ORDINE
VALORE
MISURATO
VALORE STIMATO DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO DEL SECONDO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 43
Il filtro del primo ordine il rumore è attenuato ma non
trascurabile, mentre con il filtro del secondo ordine il rumore è
praticamente eliminato.
VALORE STIMATO
DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO
DEL SECONDO ORDINE
Suraci
DERIVATA
DEL VALORE
“VERO”
A.A. 2012/2013
VALORE STIMATO
DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO
DEL PRIMO ORDINE
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 44
Si noti che il segnale filtrato presenta uno sfasamento ovvero un
ritardo finito rispetto al segnale di ingresso.
VALORE
“VERO”
DERIVATA
DEL VALORE
“VERO”
VALORE STIMATO
DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO
DEL PRIMO ORDINE
VALORE
MISURATO
VALORE STIMATO DELLA DERIVATA
CON IL FILTRO DEL SECONDO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 45
REGOLATORI P.I.D.
NON LINEARITÀ
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 46
SCHEMA DI BASE CON LE NONLINERITÀ NELL’AZIONE INTEGRALE
Le nonlinearità a soglia e a saturazione consentono:
1. SOGLIA - di tenere in contro l’underflow del PID;
2. SATURAZIONE - di limitare l’escursione della variabile di
controllo in ingresso all’attuatore.
KI
e(t)
m(t)
Kp
Kd
Suraci
e (t) dt
d e(t)
dt
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 47
SCHEMA DI BASE CON LE NONLINERITÀ NELL’AZIONE INTEGRALE
La nonlinearità attrattore consente di attivare l’integratore
quando l’errore è inferiore ad un valore minimo prefissato.
Quando l’entità dell’errore è rilevante è sufficiente l’azione
proporzionale.
KI
e(t)
m(t)
Kp
Kd
Suraci
e (t) dt
d e(t)
dt
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 48
SCHEMA DI BASE CON LE NONLINERITÀ NELL’AZIONE INTEGRALE
La linearità del tipo a saturazione dopo l’integratore evita che
l’azione integrale vada in overflow.
KI
e(t)
m(t)
Kp
Kd
Suraci
e (t) dt
d e(t)
dt
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 49
SCHEMA FUNZIONALE CON AZIONE DERIVATIVA IN BANDA
KI
s
m(t)
e(t)
Kp
Kd
b1 s + b0
a1 s + a0
DERIVATA IN BANDA, STIMATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 50
SCHEMA FUNZIONALE CON AZIONE DERIVATIVA IN BANDA
KI
s
m(t)
e(t)
Kp
Kd
b1 s + b0
s 2 + a1 s + a 0
DERIVATA IN BANDA, STIMATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 51
REGOLATORI P.I.D.
TEMPO DELL’AZIONE INTEGRALE
E TEMPO DELL’AZIONE DERIVATIVA
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 52
SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALE
PER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO
𝜒 𝑠
𝑝
𝑝1
𝑝
= 𝐾𝑃 + 𝐾𝐼 + 𝐾𝐷 𝑠
𝜀 𝑠
𝑠
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 53
𝜒 𝑡 =
𝐾𝑃 𝜀 𝑡
+
𝐾𝐼
𝜀 𝑡 𝑑𝑡
AZIONE
INTEGRALE
AZIONE
PROPORZIONALE
𝜒 𝑠
1
= 𝐾𝑃 + 𝐾𝐼 + 𝐾𝐷 𝑠
𝜀 𝑠
𝑠
1
𝐾𝑃
𝐾𝐷
𝐵𝑝 =
𝑇𝐼 =
𝑇𝐷 =
𝐾𝑃
𝐾𝐼
𝐾𝑃
𝜒 𝑠
𝐾𝐼 1 𝐾𝐷
= 𝐾𝑃 1 +
+
𝑠
𝜀 𝑠
𝐾𝑃 𝑠 𝐾𝑃
𝜒 𝑠
1
11
=
1+
+ 𝑇𝐷 𝑠
𝜀 𝑠
𝐵𝑝
𝑇𝐼 𝑠
Suraci
A.A. 2012/2013
𝑑
𝐾𝐷 𝜀 𝑡
𝑑𝑡
+
AZIONE
DERIVATIVA
Bp
BANDA
PROPORZIONALE
TI
TEMPO
DELL’AZIONE
INTEGRALE
TD
TEMPO
DELL’AZIONE
DERIVATIVA
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 54
TEMPO AZIONE INTEGRALE
1
𝐵𝑝 =
𝐾𝑃
𝜒 𝑠
1
11
=
1+
+ 𝑇𝐷 𝑠
𝜀 𝑠
𝐵𝑝
𝑇𝐼 𝑠
BANDA PROPORZIONALE
RISPOSTA INGRESSO AL GRADINO
UNITARIO
ANDAMENTO
DELL’AZIONE
1
= 𝐾𝑃
INTEGRALE
𝐵𝑝
ANDAMENTO
DELL’AZIONE
PROPORZIONALE
𝐾𝑃
𝑡
𝑇𝐼
0
TEMPO
DELL’AZIONE
INTEGRALE
Suraci
TI
tempo
𝐾𝑃
𝑇𝐼 =
𝐾𝐼
𝐾𝐷
𝑇𝐷 =
𝐾𝑃
TEMPO AZIONE DERIVATIVA
RISPOSTA INGRESSO A RAMPA
UNITARIA
ANDAMENTO
DELL’AZIONE
𝑇𝐷
PROPORZIONALE
𝐵𝑝
ANDAMENTO
1
DELL’AZIONE
𝑡
𝐵𝑝
DERIVATIVA
0
TEMPO
DELL’AZIONE
DERIVATIVA
A.A. 2012/2013
TD
tempo
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 55
REGOLATORI P.I.D.
CONFIGURAZIONE PARALLELO
ZERI
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 56
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
c s 
KI
G s  
 KP 
 KDs
e s 
s
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 57
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO - ZERI
2
KI
KDs  KPs  KI
G s   K P 
 KDs 

s
s
 KI
KI  KD 2 KP

1   1s 1   2 s 
s 
s  1 
s  KI
KI
 s
KI
s
Suraci
 KD 2 KP
 KI
2


s 
s  1 
1   1   2 s   1 2 s
KI
 KI
 s

A.A. 2012/2013

AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 58
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO - ZERI
KP

KP









1
2

 1 2 K
KI

I
 

KD
 KP
 KD
 2 
  1 2 
  2  


KI
  K I
 KI
 KP
 KD
KP
KD
2
 2 
  2  
  2 
2 
0
KI
KI
 KI
 KI
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 59
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO - ZERI
KP
KD
 
2 
0
KI
KI
2
2
KP KI  
2 
2
2
KP
KD
  2 4
0
KI
KI
KP
1 
 2
KI
K P2  4 K D K I 
KP  2 KDKI
1 e 2 reali
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 60
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO – ZERI COINCIDENTI
Due soluzioni reali e
coincidenti per 2
KD KI
K  4K D K I  1  4
KP KP
2
P
1
 1  4 TD  TI  4TD
TI
K P TI
2 

2K I
2
KP KP
KP
1 


2
K I 2K I 2K I
1 coincide con 2
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 61
REGOLATORI P.I.D.
CONFIGURAZIONE PARALLELO
INFLUENZA DEGLI ZERI
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 62
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
c s 
KI
G s  
 KP 
 KDs
e s 
s
CON ZERI COINCIDENTI
TI  4TD
KI
K
T

2
I 
I
1  s   1  s 
G s  
s
s 
2  K 2 K K
P
D I
2
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 63
3
2
1
KI  KPs  KDs2
G s  
s
TI  4TD
K I  TI 
G s  
1  s 
s 
2 
0

-1
2
-2
-3
-6
Suraci
2
TI
-5
-4
-3
A.A. 2012/2013
-2
-1
0
1
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 64
3
2
1
KI  KPs  KDs2
G s  
s
K
 I 1   1s 1   2 s 
s
TI  4TD
 1, 2
TI  TI  4TI TD

2
Suraci
2
0

-1
1

1
1
2
-2
-3
-6
-5
-4
-3
A.A. 2012/2013
-2
-1
0
1
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 65
Bode Diagram
110
100
90
Magnitude (dB)
80
70
𝑇𝐼 > 4𝑇𝐷
60
50
40
30
20
10
0
90
𝑇𝐼 > 4𝑇𝐷
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Suraci
A.A. 2012/2013
5
10
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 66
3
2
2

TD
1
KI  KPs  KDs2
G s  
s
K
 I 1   1s 1   2 s 
s
TI  4TD
 1, 2
TI  i 4TI TD  TI

2
Suraci
0
-1
-2
2 -3
-6
-5
-4
-3
A.A. 2012/2013
-2
-1
0
1
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 67
Bode Diagram
120
100
Magnitude (dB)
80
𝑇𝐼 < 4𝑇𝐷
60
40
20
0
90
Phase (deg)
45
𝑇𝐼 < 4𝑇𝐷
0
-45
-90
-3
10
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Suraci
A.A. 2012/2013
2
10
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 68
REGOLATORI P.I.D.
CONFIGURAZIONE PARALLELO
STIMA DELLA DERIVATA
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 69
c s 
KI
G s  
 KP 
 KDs 
e s 
s
Mettendo in evidenza KP
Sostituiamo i tempi delle azioni
integrale e derivativa
 KI 1 KD 


1 1
K P 1 

s   K P 1 
 TD s  
 KP s KP 
 TI s

Raggruppiamo i termini
 1  sTI
K P 
 sTI
Suraci
Ipotizziamo gli zeri coincidenti…

 1  sTI

  TD s   K P 


 sTI
A.A. 2012/2013
 TI
 
 4
TI  4TD

s

AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 70
azione
proporzionale e integrale
TI s + 1
TI s
Kp
+
+
.25 TI s
 TI s  1 
 TI 
  K P  
G s   K P 
4
 TI s 
azione proporzionale e
derivativa
1 Zero
azione
.25
TI s
derivativa
s
b1 s + b 0
s 2 + a1 s + a0
Stima della
azione derivativa
2 Poli
Suraci
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 71
b1 s + b0
s 2 + a1 s + a0
Stima
della azione
derivativa
ASSUNZIONI
1. Il filtro di stima deve avere guadagno unitario;
2. Facciamo coincidere lo zero del filtro di stima della azione
derivativa con quello della azione integrale;
3. Impostiamo due poli complessi coniugati.
 s+1
s2/wn2 +2z s /wn +1
Suraci
Stima
della azione
derivativa
  TI
A.A. 2012/2013
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 72
ASSUNZIONI
4. Poli a destra dello zero, poli con parte Re = parte Im
3

1
1


TI
TI
1
1


TI TI
1
1


 1
2
1

TI
1
0
-1
-2
   cos(3 4)  0.707
-3
-6
Suraci
1
TI
1

TI
-5
-4
-3
A.A. 2012/2013
-2
-1
0
1
AUTOMAZIONE 1
REGOLATORI P.I.D.
Slide n. 73
azione
proporzionale
e integrale
30
TI s + 1
TI s
modulo (dB)
Kp
20
+
10
+
.25 TI s
0
-10
azione
derivativa
azione
proporzionale e
integrale
-20
.01
TI s + 1
TI s
Kp
azione
derivativa
in banda
Suraci
(.25 TI) (TI s +1)
1/( TI )2s2 + 1.41/( TI ) s + 1
A.A. 2012/2013
.1
1
1/TI
10
100
w (rad/sec)
1/TI)
+
+
 = 10 ÷ 100
AUTOMAZIONE 1