Lezione XI
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Moto rotatorio:
Esempi e ripasso
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Un tipico semplice esempio di cinematica rotazionale:
Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del
moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del
segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo
l’inizio del moto.
y
O
P
x
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Rivediamo i concetti che abbiamo studiato a riguardo e che ci servono
per risolvere il quesito
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Per descrivere un moto che oltre che traslatorio sia anche rotatorio, oltre che definire le
coordinate x0-y0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di
riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’
solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y.
y
0
Moto traslatorio + rotatorio
y’
x
0
x’
0
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Abbiamo stabilito di studiare questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto
rotatorio. Abbiamo applicato in sostanza il principio di sovrapposizione.
Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione
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Rotazione
Traslazione
y
x
7
Rotazione
Traslazione
y
x
8
Rotazione
Traslazione
y
x
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Definizione formale di moto puramente rotatorio di un corpo rigido
Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono
su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione
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Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari
all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in
un dato intervallo di tempo Δt
Δθ
Δθ
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E questo va inteso anche nel caso 3D
12
E questo va inteso anche nel caso 3D
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Stabiliremo di misurare gli angoli di rotazione in radianti.
Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di lunghezza
pari al raggio
R.
s
Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione
θ = s/R
1 rad
R
Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in
un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°
 1 rad ≈ 57,3 °
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Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo
Definiremo la velocità angolare media
Δt = t2 − t1
sarà
Δθ = θ2 − θ1
< ω > del corpo nell’intervallo Δt :
< ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt
In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la
velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt
 0 di questo rapporto:
ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt
Δt  0
In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con
agli istanti t1 e
t2
l’accelerazione angolare media
ω1 e ω2
le velocità angolari
< α > è definita dalla relazione:
< α > = (ω2 − ω1) / (t2 − t1 ) = Δ ω / Δt
e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione
α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt
Δt  0
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La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo:
[ T -1 ]
e in generale l’unità di misura è il
radiante / sec
L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato:
[ T -2 ]
e in generale l’unità di misura è il
radiante / sec2
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Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari
Caso lineare
Caso rotazionale
x
[L]
θ
[]
v = dx /dt
[L T-1]
ω = dθ /dt
[T-1]
a = dv/dt = d2x/dt2
[L T-2]
α = dω/dt = d2θ/dt2
[T-2]
Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari
per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di
radiante
θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze
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Queste grandezze sono vettori ?
Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ
Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come
vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla
somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori,
cioè:
θ1 + θ2 = θ2 + θ1
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Un libro ruota di 90° in senso orario
visto di fronte, e poi in senso antiorario
visto da sopra. Se l’ordine delle due
rotazioni viene invertito la posizione
finale è differente
Lo stesso succede se si adotta un
angolo di rotazione più piccolo, per
esempio di 45°, ma in questo caso
la differenza di orientazione finale
è minore
Nel caso di angoli sempre più
piccoli, la differenza di orientazione
finale tende a 0
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Quindi:
θ1 + θ2 = θ2 + θ1
Ma:
dθ1 + dθ2 = dθ2 + dθ1
Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa
dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori
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Di conseguenza, la velocità angolare:
ω(t) = dθ /dt
poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α)
Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio
Un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario:
ω
Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione,
orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario,
la cui lunghezza è pari al modulo ω.
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La cosiddetta regola della mano destra.
Nozione mnemonica: se con la mano destra
si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel
senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore
ω
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Rotazione con accelerazione angolare costante
Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante
In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio):
Moto traslatorio
Moto rotatorio
v = v0 + a t
ω = ω0 + α t
x = ½ ( v0 + v ) t
θ = ½ ( ω0 + ω ) t
x = v0 t + ½ a t 2
θ = ω0 t + ½ α t 2
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Torniamo quindi al quesito:
Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del
moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del
segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo
l’inizio del moto.
y
O
P
x
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(a) L’accelerazione angolare α e il tempo
t sono dati, vogliamo trovare θ.
Quindi useremo la
θ = ω0 t + ½ α t 2
All’inizio del moto si ha
t=0
ω0 = 0
e
α = 3 rad/sec2
Dopo 2 sec si avrà:
θ = 0 x 2 sec + ½ (3 rad/sec2) (2 sec)2 = 6 rad
(b) l’accelerazione
α e il tempo t sono dati, vogliamo ottenere ω, quindi useremo la:
ω = ω0 + α t
e cioè:
ω = 0 + (3 rad/sec2) (2 sec) = 6 rad/sec
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Se in un esempio del genere interviene una forza ci
potrebbe essere chiesto di calcolarne il momento…
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Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O
di un sistema di assi
in punto
x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r
P distante 1 m dal centro.
La forza agisce nel piano
Calcolare il momento
Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x.
x-y formando un angolo di 45° con l’asse x
y
che agisce sulla ruota
45°
30°
x
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Momento di una forza
Definizione: Se una forza
F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento
O è individuata da un vettore r,
il momento della forza rispetto a O è un vettore
definito dalla:
τ=rx F
dove il simbolo
x rappresenta il prodotto vettoriale fra r
e
F
Il modulo di τ è dato dalla relazione:
τ = r F sin θ
dove
θ
è l’angolo fra r e
F
La direzione è ortogonale al piano individuato da
la regola della mano destra
r e F, e il verso segue
28
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Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza
E cioè [ M L T−2 L ]  [ M L2 T−2 ]
L’unità di misura il nt-metro
Vediamo adesso di risolvere il quesito che ci era stato proposto

30
Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O
di un sistema di assi
in un punto
x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r
P distante 1 m dal centro.
La forza agisce nel piano
Calcolare il momento
Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x.
x-y formando un angolo di 45° con l’asse x
y
che agisce sulla ruota
45°
30°
x
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Applichiamo la definizione di momento di una forza:
τ=rx F
dove il simbolo
x rappresenta il prodotto vettoriale fra r
e
F
Il modulo di τ è dato dalla relazione:
τ = r F sin θ
In questo caso l’angolo θ è dato da:
θ = 45° − 30° = 15°
Pertanto il modulo del momento è dato da:
τ = r F sin θ = (1 m) (10 nt) (sin 15°)
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(1 m) (10 nt) (sin 15°)
(1 m) (10 nt) (0,26) = 2,6 nt-m
Si tratterà di un momento lungo l’asse z. Riguardo al verso, applicando la regola della
mano destra troveremo che punta verso di noi.
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