La fisica del moto browniano
Quale e’ stato il contributo di Einstein alla
comprensione del moto browniano ?
Albert Einstein e il suo
“annus mirabilis” (1905)
•
Effetto fotoelettrico
(“Su un punto di vista euristico riguardo la
produzione e trasformazione della luce”)
•
Moto browniano
(“Sul moto richiesto dalla teoria cinetica degli
atomi a piccole particelle sospese in un
liquido”)
•
Teoria della relativita’
ristretta
•
(“Sull’ elettrodinamica dei mezzi in
movimento”)
Cosa e’ il moto browniano
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La teoria cinetica dei gas
• N molecole, ognuna di massa m, in un contenitore
cubico di volume V (e lato L).
• Variazione di velocita’ alla parete: 2 vx
• Tempo tra collisioni: 2 L / vx
• Forza sulla parete: m vx2 / L
• In media < vx2 >= < vy2 >= < vz2 >= < v2 >/3
• Forza media sulla parete = N m v2 /3L
• Forza media per unita’ di superficie (pressione):
P = N m v2 /3V
La teoria cinetica dei gas
P V = N m v2 /3 = n R T
1 2 3 R
K  mv 
T
2
2 NA

NA=?
k=R/NA
Teoria del moto browniano:
la strada di Einstein
“In questo lavoro si mostrera’ che in accordo con la
teoria molecolare-cinetica del calore, corpi di
dimensioni visibili al microscopio sospesi in un liquido
eseguiranno movimenti di ampiezza tale da poter
essere facilmente osservati al microscopio, a causa
dei moto molecolari dovuti al calore.
E’ possibile che i moti che qui discuteremo siano
identici al cosiddetto “moto molecolare Browniano”;
tuttavia, le informazioni a me disponibili su questo
mancano tanto in precisione che non posso
formulare giudizi a riguardo.”
Teoria del moto browniano:
la strada di Einstein
“Se il movimento qui discusso potra’ essere realmente
osservato (insieme alle proprieta’ che ci si aspetta di
trovare), allora la termodinamica classica non potra’
piu’ essere considerata applicabile con precisione a
corpi microscopici: diverra’ possibile determinare
esattamente le vere dimensioni degli atomi. D’ altra
parte, se si provera’ che le predizioni di questo
movimento saranno sbagliate, questo sara’
un
pesante argomento contro la concezione molecolarecinetica del calore.”
Teoria del moto browniano:
la strada di Einstein
• Analisi della diffusione di una particella in un fluido
• Analisi della distribuzione di probabilita’
degli
spostamenti e come questa dipende dal coefficiente
di diffusione
• Formula che lega il rapporto R/NA, il coefficiente di
diffusione D, la viscosita’ del solvente , la
temperatura T e il raggio molecolare P:
RT 1
D
N A 6P
Teoria del moto browniano:
la strada di Langevin
“ Sono stato in grado di determinare …
che e’ facile dare una dimostrazione
infinitamente piu’ semplice mediante
un metodo completamente diverso.”
Urto elastico (1D)
MV  mv  MV 'mv'
1
1 2 1
1
2
2
2
MV  mv  MV '  mv'
2
2
2
2
Urto elastico (1D)
M (V  V ')  m(v' v)
M (V 2  V '2 )  m(v'2  v2 )
M (V  V ')(V  V ')  m(v' v)(v' v)
V  V '  v' v
MV ' mv '  MV  mv
V '  v  V  v'
Urto elastico (1D)
mM
2M
v' 
v
V
mM
mM
2m
M m
V'
v
V
M m
M m
Per m<<M
m
M m
m
M
M
M mm
m

 1
M m
M m
M m
m
1
M
M  m M  m  2m
2m

 1
M m
M m
M m
1
2m
M
Urto elastico (1D)
V'
2m
2m 

v  1 
V


M
M
V  V ' V
2m
2m
v
V
M
M
N collisioni
M V  2m(v0  v1  ...  vN 1 )  2m(V0  V1  ...  VN 1 )
Vi V
N  nt
2mNV  2mntV (t)
M V  2m(v0  v1  ...  vN 1 )  2mntV (t)
V 2m(v0  v1  ...  vN 1 )
Ma  M

 2mntV (t)
t
t
N collisioni
Ma  Fs   V(t)
  2mn
2m(v0  v1  ...  vN 1 )
Fs 
t
Forza stocastica e attrito hanno la stessa origine!
Un algoritmo per il moto
browniano
t
Vq 1  Vq   Vq
 Vs
M
1 collisione
2mv 2 v
Vs 

M
M v
2 v

M v
2 v
mv 
M v
1 v
mkT 
M v
2 2
2 kT
n
m 2v2 
Un algoritmo per il moto
browniano
12

 1
VN   N  (ri  0.5) 

M
i 1
1
 wq
2 kT t
M
Vq1  Vq 
 Vq
t  wq
M
Xq1  Xq  Vq1t
2 kT

n
2 kT t Fext

t
M
M
Possiamo adesso risolvere le
equazioni del moto sul computer
per verificare la relazione di Einstein
X
2

2kT

t