Dal modellino dei Gas perfetti
alla Tecnologia del vuoto
 Il gas perfetto è un
“modellino” teorico che
permette di “progettare e
dimensionare i sistemi da
vuoto”, parte tutto da
PV= NkT (*)





P pressione del gas,
V Volume che lo contiene,
N numero di molecole,
k costante dei Boltzmann e
T temperatura del gas (K)
Vuoto e Spettrometria di Massa
 L’equazione (*) contiene
tutte le informazioni
necessarie per qualsiasi tipo
di gas.
 Ed è impressionante:
mette in relazione grandezze
MACROSCOPICHE
(P, V e T)
con la grandezze microscopica
N
( numero di atomi, molecole)
Macroscopico
Dilatazione termica
lineare
l-l0=al0(t-t0)
Dl=al0Dt
supeficiale
A-A0=2aA0(t-t0)
DA=2aA0Dt
Volumica
V-V0=3aV0(t-t0)
DV=3aV0Dt
Vuoto e Spettrometria di Massa
Se prendiamo to = 0 oC,
DV=3aV0Dt diventa:
V-V0= 3a V0t: V=V0 +3a V0t
 Per fluidi (gas e liquidi)
 V=V0+b V0t
dove b = 3a
Dilatazione dei gas
Dati sperimentali
DV =V-V0 =m ∙ t,
da V=V0 + b ∙ Vo t si ha: m = b ∙ Vo
Per tutti i gas che non condensano,
a pressione costante si ha che
b è lo stesso.
Ad un gas rarefatto (vuoto) questo
modellino si adatta molto bene.
Vuoto e Spettrometria di Massa
=
1
273.15 º C
Scala termometrica dei Kelvin
Riscriviamo DV= b ∙ Vo ∙ Dt , dato che to = 0 oC, si ha V= Vo (1+ b ∙ t)
tk = T = tc + 273.15
Conversione della scala termometrica
da ° Celsius a gradi Kelvin
V= Vo (1+ b ∙ t)
t


 273.15  t 
V = Vo  1 
=
V


=
o 
 273.15 
 273.15 
 273.15  T  273.15   Vo 
= Vo  
 T
=
273.15

  273.15 
 Vo 
V =
 T
 273.15 


 Vo 
 Vo 
V
=

T
 V  273.15   T1
 1  273.15  1



 1 = 


V

o
V2 = 
V2  Vo   T2
  T2


 273.15 
 273.15 
Vuoto e Spettrometria di Massa
1ª legge di Gay-Lussac
o (Volta Gay-Lussac)
V1
T1
=
V 2 T2
V constante 2a legge di Gay-Lussac
Dp = m’ ∙ Dt,
Anche in questo caso si ha m’ = b ∙ po,
come per la variazione di volume si aveva m = b ∙ Vo
Quindi allo stesso modo con
1
e b vale sempre =
273.15 º C
la scala assoluta si ha:
 po 
p=
 T
 273.15 
Vuoto e Spettrometria di Massa
2ª legge di Gay-Lussac
o (Volta Gay-Lussac)
p1 T1
=
p 2 T2
T costante e Legge di Boyle -Mariotte
p
1
V
Si comprima un gas rarefatto con un sistema di termostatazione , che permetta
di mantenere costante la temperatura, si ottiene il comportamento riportato
sopra.
Posso riscrivela quindi
pV= costante
p1V1= costante e p2V2 =costante
↓
p1V1 = p2V2
Vuoto e Spettrometria di Massa
Partiamo dalla relazione p1V1 = p2V2 (§)
T1
V1
=
T2
V2
Prendiamo la 1a legge di Gay-Lussac:
Moltiplichiamo 1o e 2o membro dell’equazione (§) per questa quantità uguale:
V1
V2
*
p1V1 = p2V2 *
T1
T2
(#)
T1
p1
=
T2
p2
Prendiamo la 2a legge di Gay-Lussac:
Moltiplichiamo 1o e 2o membro dell’equazione (#) per una quantità uguale
p1
p2
*
V1
V2
Vuoto e Spettrometria di Massa
*
p1V1 = p2V2 *
T1
T2
*
T1
T2
2
2
2
p1 V1
T1 p 2V2

= 2
p 2V2 T2
Si ricava
2
2
2
p1 V1
T1 p 2V2
= 2
p 2V2 T2
($)
Cerco di ordinare a 1o membro tutto con il pedice 1 ed al 2o membro con il pedice 2,
moltiplicando 1o e 2o membro dell’equazione ($) per una quantità uguale
p 2V2
p 2V2
= 2
2
T1
T1
p 2V2
T12
2
*
Semplifico;
Vuoto e Spettrometria di Massa
2
2
p1 V1
T1 p 2V2
= 2
p 2V2 T2
*
p 2V2
T12
Si ha quindi;
Equazione di Stato dei Gas perfetti
2
2
2
p1 V1
p2 V2
=
2
2
T1
T2
2

pV
= cost
T
Tutti i tipi di gas in condizioni rarefatte (pressioni basse
alto vuoto, quello che interessa a noi)
soddisfano la seguente legge:
pV = cost T
Vuoto e Spettrometria di Massa
Vediamo se questo modello va bene
 Se il modello va bene per i sistemi
da vuoto allora misuro P1 con la
valvola aperta, dopo chiudo la
valvola.
 Svuoto il volume dei tubi, aprendo
la valvolina verso la pompa (la
pressione Vtubi raggiungerà il valore
minimo mentre in Vcil non cambia
(valvola chiusa).
 Chiudo la Valvolina e riapro la
valvola, avrò l’espansione del gas dal
volume Vcil a tutto il volume Vcil
+Vtubi , misurerò una pressione P2
ovviamente minore di P2
PV= costante  P1Vcil=P2(Vcil+Vtubi)
Vuoto e Spettrometria di Massa
Questo vale per ogni successiva operazione
 P1Vcil = P2(Vcil+Vtubi) (a)
 P2Vcil = P3(Vcil+Vtubi) (b)
P1Vcil P2 (Vcil  Vtubi )
=
P2Vcil P3 (Vcil  Vtubi )
 P3 ... = P4 .... ecc.
Se divido il primo membro
di (a) per il primo membro
di (b) , se uso la stessa
quantità (secondi membri)
l’uguaglianza non cambia .
Pi
P1 P2
=
= ...
= ...
P2 P3
Pi 1
Il rapporto tra le pressioni rimane sempre lo stesso.
Vuoto e Spettrometria di Massa
Misura dei rapporti tra le
pressione, nel caso dell’espansione
Pressione misurata nel volume Vtubi in espansioni
successive
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P1/P2
P2/P3
P3/P4
P4/P5
P5/P6
P6/P7
P7/P8
P8/P9
P9/P10
media dei rapporti
deviazione standard
errore percentuale
Vuoto e Spettrometria di Massa
 La legge che abbiamo
introdotto descrive bene
il sistema per l’aria,
anche in condizioni non
rarefatte.
Misura dei rapporti tra P T, nel caso
del riscaldamento dell’aria
Pressione misurata nel volume Vtubi in espansioni
successive
P1
P2
P3
P4
P5
P6
...
...
Pn-1
Pn
P1
P2
P3
P4
P5
P6
...
...
Tn-1
Tn
Vuoto e Spettrometria di Massa
P2/P1
P3/P2
P4/P3
P5/P4
P6/P5
Pn/Pn-1
=
=
=
=
=
...
...
=
T2/T1
T3/T2
T4/T3
T5/T4
T6/T5
Tn/Tn-1
 La legge che abbiamo
introdotto descrive bene
il sistema per l’aria,
anche in condizioni non
rarefatte.
 Si osservano che i
rapporti, rimangono
costanti e il rapporto
delle pressioni è uguale
al rapporto delle
temperature.
Equazione di Stato dei Gas perfetti
2
2
2
p1 V1
p2 V2
=
2
2
T1
T2
2

pV
= cost
T
Tutti i tipi di gas in condizioni rarefatte (pressioni basse
alto vuoto, quello che interessa a noi)
soddisfano la seguente legge:
pV = cost T
Cos’è questa “costante” ?
Vuoto e Spettrometria di Massa
Continua
Numero di molecole, massa ...
 Quando gonfiamo un
palloncino.
 Quando evacuiamo una
camera .
= Immettiamo aria ..
= Togliamo aria.
PV  quantità di gas T
Consideriamo quanto segue, conoscete il significato di queste uguaglianze “chimiche”:
2 H 2  O2 = 2 H 2 O
Vuoto e Spettrometria di Massa
H2  Cl2 = 2 HCl
Legge di Avogado 1811
 Nelle stesso condizioni di
 Per i chimici questo
pressione e temperatura,
stessi volumi di gas diversi
contengono lo stesso
numero di “particelle”,
atomi, molecole …
numero è espresso per
una mole alla pressione di
una atmosfera ed alla
temperatura di 0 °C,
risultando in V= 22.4 l.
6.023 10 molec/mole
23
Numero di Avogadro
Magari risulta più comprensibile per un volume delle
dimensioni di un dado un cc (cm3)
2.687 10 molec/cm
19
Vuoto e Spettrometria di Massa
3
Numero di Loschmidt
Ora possiamo riscrivere
PV  quantità di gas T
PV = NkT
 P pressione, V volume T temperatura espressa in Kelvin, k
costante di Boltzmann N numero di molecole.
 Questa formula mette in relazione proprietà
MACROSCOPICHE (P, V, T) e microscopiche il numero N
di molecole.
 È stato il cavallo di battaglia della prima teoria fisica:
la teoria cinetica dei gas.
Vuoto e Spettrometria di Massa
Le grandezze macroscopiche sono misurabili (comprensibili)
in modo immediato
Unità di misura e simboli utili
 Volumi
PRESSIONE P
 Dyne/cm2 = mbar CGS
 Newton/m2 = Pascal
 1 Pa = 1.0 10-5 bar
 1 m3= 1 000 l
 Litro = l = dm3 = 1 000 cm3
 m3 = 1 000 000 cm3 =
= 106 cm3
 1 atm = 760 Torr (mm Hg)
PRESSIONE P
Potenze di 10
10-12, 10-9, 10-6, 10-3, 1, 103, 106, 109, 1012
pico, nano, micro, milli, ..., chilo, mega, giga,tera.
1 atm = 1 013 mbar
1 mbar = 0.75 Torr
Vuoto e Spettrometria di Massa
p, n, m, m, ... , k, M, G, T
Condizioni stazionarie
 Dopo l’evacuazione il sistema
rimare ad una pressione
costante
 Ma la pompa sta asportando
volume di gas nell’unità di
tempo, ovvero asporta molecole,
ci sarà una variazione di
molecole nel tempo: (DN/Dt)
 ma se moltiplichiamo per kT:
 : (DN/Dt)kT= D(PV/Dt) che
chiamiamo portata Q
 Q= D(PV/Dt)
 per P costante = P(DV/Dt) e T
 dove DV/Dt volume di gas
asportato
Se guardiamo variazioni per
intervalli di tempi infinitesimali
Q= P(dV/dt)=(dN/dt)kT
dV/dt= volume di gas evacuato detto:
S velocità di pompaggio (l/s)
Vuoto e Spettrometria di Massa
Q la grandezza che si conserva:
 Se Q entra nel sistema e
viene trasportata non
può cambiare.
 Q si conserva lungo tubi
eppoi viene scaricata di
nuovo nell’aria ovvero
PS= sempre la stessa
lungo i sistemi.
Q
Pompa da
Basso vuoto
Pompa da
Alto vuoto
Vuoto e Spettrometria di Massa
Condizioni non stazionarie:
la pressione varia nel tempo.
 P varia, consideriamo il
volume del contenitore Vcil
volume
 (Pf-Pi)Vcil =Q=PS
 =-dP/dt=S/Vcil P
 P=P(0)e-S/Vcil t = P=P(0)e-t/t
 t detta costante di tempo
t=Vcil / S
 In un tempo t= t la pressione
si riduce rispetto al valore
iniziale a P=P(0)/e.
 Vediamo sperimentalmente
se è così.
Vuoto e Spettrometria di Massa
Legge di decadimento esponenziale
P=P(0)e-t/t
1000.000
900.000
800.000
700.000
600.000
Series1
500.000
Expon. (Series1)
400.000
300.000
200.000
100.000
0.000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Legge di decadimento esponenziale
dP
=  costante P soluzione :
dt
P = P0  e
 t /t
Decadimenti radioattivi :
numero di atomi radioattivi che decadono nel tempo proporzionale al N
dN
=  costante N soluzione :
dt
N = N0  e
 t /t
Decadimento dell’intensità di particelle negli acceleratori :
dI
=  costante I soluzione :
dt
I = I0  e
 t /t