Trasformazioni di Lorentz,
Quadrivettori, Impulso ed
Angoli
Trasformazioni tra Sistemi di
Riferimento
• Quantita’ di interesse in un esperimento: sezioni d’urto,
distribuzioni angolari, polarizzazioni.
– Confrontabili con teoria
• Misura di queste quantita’ e’ indiretta.
• Richiede misura diretta di energie, impulsi, angoli
• E’ importante capire come queste quantita’ cambiano o
restano invariate al cambiare del sistema di riferimento
inerziale usato per la misura
• Normalmente: alte energie e velocita’ prossime alla
velocita’ della luce occorrono trasformazioni conformi ai
principi della relativita’ ristretta.
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Trasformazioni di Lorentz
• Per due riferimenti in configurazione tipica:
• TdL: legano coordinate di un evento in due sistemi di riferimento
– Estensione dell’idea di punto geometrico: Fenomeno localizzato nello
spazio e nel tempo
– Es.: Flash luminoso, decadimento di un atomo eccitato
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Trasformazioni delle Velocita’
dx
dy
dz
ux  ; u y  ; uz  ;
dt
dt
dt
dx'
dy '
dz '
ux ' 
;uy '
; uz ' 
;
dt '
dt '
dt '
Prendendo i differenziali delle TdL:
 

dx'  dx; dy '  dy; dz '   dz  cdt ; dt '    dt  dz 
c 

uy
ux
u z  c
ux ' 
;uy '
; uz ' 

  
  
1  uz
 1  u z 
 1  u z 
c
 c 
 c 
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TdL e Rotazioni (1)
• TdL mescolano coordinate spaziali e temporali
– Naturale paragone con rotazioni spaziali attorno ad un asse
• Invariante per rotazioni spaziali: distanza euclidea fra due
punti.
• Invariante per trasformazioni di Lorentz: 4-intervallo tra
due punti
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TdL e Rotazioni (2)
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TdL e Rotazioni (3)
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TdL e Rotazioni (4)
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TdL e Rotazioni (5)
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TdL e Rotazioni (6)
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TdL e Rotazioni (7)
• Cos’e’ h0 ?
• Osservazione:
• Per due rotazioni successive gli angoli si sommano
• Per due TdL successive le velocita’ non si sommano:
– Conseguenza della trasformazione relativistica delle velocita’
• h0 e’ un parametro additivo delle TdL
– Significato al momento non chiaro
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TdL e Rotazioni (8)
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TdL e Rotazioni (9)
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TdL e Rotazioni (10)
• Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle
loro proprieta’ di trasformazioni rispetto a
rotazioni:
– Scalari – invarianti (massa, energia, temperatura…)
– Vettori – come le coordinate (posizione, velocita’,
forza…)
– Tensori – come i momenti d’inerzia (momenti d’inerzia,
momenti di quadrupolo…)
• Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle
loro proprieta’ di trasformazioni rispetto a TdL:
– Scalari – invarianti (intervallo tra eventi, massa a
riposo…)
– 4-Vettori – come le 4-coordinate (4-impulso, 4potenziale)
– Tensori – come il campo e.m
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4-Vettori
• Ha 4 componenti
– Punto di vista geometria tridimensionale: 1 scalare + 1
vettore
• L’indice m corre da 0 a 3
– Componente “0” e’ quella di tipo “tempo”
• Modulo quadro e’ indipendente dal sistema di
riferimento
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Componenti Covarianti e
Controvarianti
• Covarianti
• Controvarianti
• Norma
• Prodotto interno
• Tensore metrico
• Fa passare dalle componenti covarianti a quelle
controvarianti:
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Ancora su TdL e Rotazioni
• In spazio non Euclideo ogni vettore ha due tipi di
componenti
– Vero anche per vettori 3-D
• Spazio di Minkowsky e’ pseudo-euclideo
– Ogni 4-vettore ha due tipi di componenti
• Riassumendo:
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4-Impulso
• Diversi 4-vettori di interesse per le razioni tra particelle
elementari. Il piu’ importante e’ il 4-impulso:
•
dove:
• m e’ la massa a riposo della particella
• L’invariante associato al 4-impulso e’:
• E coincide con l’energia a riposo della particella associata con la
sua massa.
• D’ora in poi usero’ le unita’ naturali h=c=1
• Relazioni tra energia, impulso e massa:
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TdL del 4-Impulso
•
•
Le componenti trasversali rimangono invariate
Conveniente scomporre il vettore p in componenti
trasversa e parallela rispetto a velocita’ relativa dei
sistemi di riferimento
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Trasformazioni del 3-Impulso (1)
• Trasformazione di angoli e moduli degli impulsi nel
pallare dal sistema del CM al sistema del Lab
• Sfera degli impulsi:
– Particella con impulso di modulo p* nel CM
– Vettore p* riempe una superficie sferica di raggio p*
nello spazio 3-dimensionale degli impulsi
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Trasformazioni del 3-Impulso (2)
• Tdl da CM a Lab:
• Sostituendo in equazione sfera:
• Che e’ equazione di elissoide
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Trasformazioni del 3-Impulso (3)
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Trasformazioni degli Angoli (1)
Sistema LAB:
Sistema CM:
Angoli nel CM in
funzione
di quantita’ misurate
nel LAB
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Trasformazioni degli Angoli (2)
• Con un po’ di algebra:
• Anvendo definito la velocita’ della particella
nel LAB come:
• Formula inversa:
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (1)
• Particella nel CM con angolo qualsiasi e impulso fissato:
• Le TdL rilevanti sono:
• Si puo’ scrivere:
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (2)
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (3)
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (4)
• Consideriamo il caso:
• Allora q puo’ assumere tutti i valori tra 0 e p. Inoltre:
• Solo la soluzione con segno “+” e’ accettabile
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (5)
• Altro caso:
• L’argomento della radice e’ positivo quando:
• Inoltre tutte e due le soluzioni sono positive.
– Per ogni angolo misurato nel LAB ci sono due valori
dell’impulso (corrispondenti a diversi angoli di
emissione nel CM)
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Relazione Impulso-Angolo nel LAB (6)
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