Lezione IX
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Faremo un riepilogo degli argomenti
trattati fino adesso, e lo faremo andando a ritroso,
cioè partendo dagli argomenti più recenti
Riepilogo I
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Un caso esemplificativo di tutto quello che abbiamo imparato può prendere spunto da
esperimenti del genere:
Una biglia in moto
m1 colpisce una biglia ferma m2 :
l’urto può essere:
• Elastico: P = costante; K = costante  due incognite (v1 e v2), due equazioni (P e K)
• Anelastico: P = costante; K = diminuisce due incognite (v1 e v2), una equazione (P )
?
• Completamente anelastico: P = costante; K = diminuisce; v1 = v2 una incognita
una equazione (P )
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Potremmo complicare il problema… per esempio nel caso elastico potremmo immaginare
una cosa del genere:
E saremmo in grado di calcolare la deformazione x della molla!
ΔK = −ΔU
ΔU = ½ kx2
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Oppure, sempre nel caso elastico potremmo immaginare
una cosa del genere:
h
E saremmo in grado di calcolare l’altezza h raggiunta dalla biglia bersaglio!
ΔK = −ΔU
ΔU = mgh
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?
Se invece l’urto è anelastico, se ci viene indicata come dato del problema
l’altezza a cui arriva la biglia bersaglio , o di quanto comprime la molla, allora potremo
calcolare quanta energia potenziale
ΔU
acquisisce, ricavare l’energia cinetica acquisita
con l’urto dalla biglia bersaglio dalla relazione:
ΔKm2 = −ΔU
potremmo paragonare ΔKm2 all’energia cinetica inziale del sistema (cioè quella della
biglia incidente), calcolare di quanto è diminuita l’energia cinetica del sistema e cioè
l’entità della dissipazione termica
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Se poi l’urto è completamente anelastico, poiché l’incognita è una sola e cioè
la velocità finale delle due biglie attaccate, con la sola conservazione della
quantità di moto siamo in grado di determinare questa velocità e quindi l’energia
cinetica delle due biglie attaccate:
K = ½ (m1 + m2) v2 e siamo pertanto di nuovo
In grado di determinare la compressione della molla o l’altezza raggiunta sul piano inclinato
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Ma le cose potrebbero essere un po’ più complicate: per esempio il piano inclinato
su cui si arrampica la biglia bersaglio potrebbe essere dotato di attrito!
In questo caso, il lavoro esercitato dalla biglia nella sua risalita, sarà in parte trasformato
in energia potenziale ΔU
forza d’attrito
= mgh ma in parte sarà dissipato in lavoro fatto contro la
ΔL = F d
Quindi se avevamo calcolato che l’energia cinetica acquisita dalla biglia bersaglio
nell’urto elastico era ΔK dovremo tenere in conto che quando la biglia si ferma
sul piano inclinato, ΔK si è trasformata in
mgh + F d
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Conservazione della quantità di moto e urti
p = mv
La quantità di moto di un sistema isolato si conserva
La variazione di quantità di moto è pari all’impulso
ricevuto dall’esterno
J=
∫t
F(t)
t2
F (t) dt  = Δp
1
Δp
t1
Δt
t2 t
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L’applicazione della sola conservazione della quantità di moto negli urti non ci permette
in generale di prevedere l’esito dell’urto, a meno che questo non sia completamente
anelastico (una sola velocità finale in quanto i corpi rimangono attaccati).
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m1
m2
Prima dell’urto
(velocità u)
velocità = u1
velocita = u2
velocità = v1
velocità = v2
Dopo l’urto
(velocità v)
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In questo caso, noti i dati iniziali
m1, u1 ,m2
e
u2
applicando la sola
conservazione della quantità di moto possiamo scrivere una sola equazione avendo
però due incognite v1 e
v2
m1u1 + m2u2
=
m1v1 + m2v2
cioè in base alla sola conservazione della quantità di moto l’esito dell’urto non è
univocamente determinato
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Applicando però congiuntamente anche la conservazione dell’energia cinetica
(urti elastici) si ha una soluzione univoca per le due velocità
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m1 ≥ m2
Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:
a) si ferma solo se ha rigorosamente la stessa massa della biglia bersaglio
b) prosegue alla sua stessa velocità solo se è MOLTO più massiva della biglia bersaglio
c) se ha una massa intermedia manterrà una certa velocità inferiore a quella iniziale
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m1 ≤ m2
Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:
a) si ferma solo se ha la stessa massa della biglia bersaglio
b) Rimbalza indietro con la sua stessa velocità cambiata di segno solo se è MOLTO
più leggera della biglia bersaglio
c) se ha una massa intermedia avrà un lieve rimbalzo ma non sarà del tutto ferma
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Energia potenziale
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Poiché come abbiamo visto il lavoro fatto/ricevuto da una forza conservativa su/da di una
particella dipende soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo.
E poiché nel caso di forze conservative il lavoro fatto dalla/sulla particella sulla/dalla forza
(a scapito o ad arricchimento della sua energia cinetica) può essere interamente restituito
o riscambiato, ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della
particella, e non per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella.
Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti A e B un percorso
che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante
per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso.
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Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m. Il lavoro fatto dalla
risultante F delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di
energia cinetica della massa m
x
L = Fdx = ½ mv2 − ½ mv02
x0
∫
In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento,
l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto
dell’energia di posizione, l’energia potenziale.
Cioè abbiamo sintetizzato questa proprietà delle forze conservative di restituire energia
In funzione della posizione associando alla posizione una energia potenziale.
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Rappresentando con U l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formula
ΔK = −ΔU
In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia
cinetica vale:
x
ΔK = F(x)dx
x0
∫
da cui ne segue che:
x
ΔU = − F(x)dx
x0
∫
Questa quantità è funzione soltanto della posizione
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In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica
(cinetica + potenziale):
E=U+K
di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza.
Energia potenziale U
Energia cinetica K
Energia Meccanica
E
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I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali
Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e
la forza di richiamo di una molla
Il caso della forza di gravità
Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse
y diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il verso
negativo delle y. Si ha quindi: F = −mg = costante (che rappresenta un caso particolare
positivo delle
di una forza dipendente dalla posizione).
Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto:
U(y) – U(0) =
∫
0
Fdy
y
=
∫
0
y
Adottando un energia potenziale nulla per
(−mg) dy = mgy
y = 0, si ha semplicemente:
U (y) = m g y
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Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo
cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana:
Maggiore è l’altezza h dalla quale lasciamo cadere una massa m, maggiore è la
velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.
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Il caso della forza di una molla
Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa m che
si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo il
punto x0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forza
F esercitata sulla massa m
quando la deformazione è x vale
F = −k x
dove
k è la costante elastica della molla
L’energia potenziale è data dalla formula:
U(x) − U(0) =
∫
0
(−kx) dx
x
Se scegliamo U(0)
= 0 , l’energia potenziale, come pure la forza,
è nulla nella posizione
di riposo della molla e risulta:
U(x) − U(0) =
∫
0
x
(−kx) dx = ½ kx2
(metodo grafico delle aree)
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Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai
risultati sperimentali è la seguente:
L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma
dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica
e di altre forme di energia, non cambia
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Alcune considerazioni:
Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della
conservazione dell’energia meccanica K+U.
Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di
forze conservative.
Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva
ma viene dissipata in energia termica
Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma
dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre
forme di energia, non cambia
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Sembra quasi che si voglia rincorre assolutamente un teorema (la conservazione
dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove
apparentemente l’energia non si sarebbe conservata.
Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.
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