Vettori
 Finche’ il moto si svolge in una sola dimensione – moto unidimensionale,
moto rettilineo – non abbiamo bisogno di vettori
La posizione e’ individuata dato il sistema di riferimento, e cosi’ pure tutte le
altre grandezze del moto.
Posizione, velocita’ e accelerazione sono individuate da numeri con un segno,
che indica misura (grandezza), direzione (lungo la retta del sistema di
riferimento) e verso (positivo se in direzione della freccia del sistema di
riferimento, negativo se in direzione opposta).
 Quando il moto si svolge in piu’ dimensioni – due o tre, fisicamente
parlando – occorre un modo per specificare posizione, velocita’ e
accelerazione, e specificarne grandezza, direzione e verso.
 L’uso dei vettori consente di descrivere facilmente grandezze fisiche
caratterizzate da misura – grandezza – direzione e verso.
G.Gagliardi
Fisica
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Sistema di riferimento cartesiano
 Come nel caso del moto
unidimensionale, la prima cosa e’ avere
un sistema di riferimento
 Una possibilita’ e’ scegliere un sistema
di riferimento cartesiano, composto da
tre assi perpendicolari tra di loro
y
 Non e’ l’unica scelta, ed infatti vedremo
altri sistemi di riferimento – cilindrico,
sferico…
 Ogni asse ha il suo verso, la sua
direzione e la sua unita’ di misura
 L’origine O e’ data dal punto di
congiunzione degli assi
 Gli assi del sistema di riferimento sono
convenzionalmente chiamati “x”, “y”, “z”
e sono convenzionalmente ordinati
(costituiscono una “terna ordinata”)
seguendo le dita della mano destra
O
x
z
 “x” pollice, “y” indice e “z” medio
 Si, e’ lo stesso ordine del prodotto
vettoriale, non a caso…
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Fisica
2
Vettore posizione
 Dato un sistema di riferimento e’ possibile determinare la posizione di un corpo.
 Il vettore posizione x e’ rappresentato da una freccia che congiunge l’origine con il punto in
cui il corpo e’ situato
 Non c’e’ niente di speciale nell’usare la lettera “x” per la posizione. Viene usata spesso
anche la lettera “r”, ma ogni altra lettera puo’ essere usata.
 Invece e’ importante usare il “grassetto” o una freccettina sopra la lettera, per indicare
che stiamo parlando della posizione come di una grandezza vettoriale
 La posizione x e’ misurata in metri. La misura della grandezza posizione e’ data dalla
lunghezza del vettore posizione
 O viceversa, la lunghezza del vettore posizione e’ il valore della grandezza posizione
y
y
a
R
x
x
x
z
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SI
NO
z
Fisica
3
Coordinate
 E’ possibile definire una posizione anche come un insieme ordinato di
coordinate x  (x1, x2, x3)
x  (x1, x2, x3) – intendo dire che sono due modi equivalenti di indicare la
stessa grandezza
x1 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “x”, x2
rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “y” e x3
rappresenta…
Date le coordinate e’ possibile disegnare un vettore
Dato il vettore disegnato e’ possibile disegnare le coordinate
 Un valore di x1, x2 e/o x3 uguale a zero significa che il vettore x:
Non ha componenti lungo l’asse “x”, “y” e/o “z”
 E’ perpendicolare all’asse “x”, “y” e/o “z”
Giace sul piano “y-z”, “x-z”, “y-z” oppure e’ “lungo la retta “x”, “y”, “z”, oppure
e’ nullo
 “Con i vettori si descrive un modello, con le coordinate si fanno i conti”
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Fisica
4
Coordinate
 Primo conto: grandezza del vettore (posizione, ma e’ in generale)
|x| = √ (x12 + x22 + x32)
 Secondo conto: angolo che il vettore forma con l’asse “x”
tg q = √(x22 + x32)/x1
In due dimensioni diventa tg q = x2/x1
 Terzo conto: somma o differenza di vettori
x + y = z
z  (z1, z2, z3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3)
x - y = w
w  (w1, w2, w3) = (x1-y1, x2-y2, x3-y3)
 Se usiamo i versori i, j, k (vettori unitari – di lunghezza “1” - lungo l’asse
‘x’, ‘y’ e ‘z’) la scrittura x  (x1, x2, x3) diventa piu’ coerentemente x = (i
x1 + j x2 + k x3)
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5
Vettore spostamento
 Lo spostamento e’ sempre definito come la differenza tra due posizioni in
due momenti differenti di tempo: in formule x(t2,t1) = x(t2) – x(t1)
 La differenza tra due vettori e’ ancora un vettore
 Dati due vettori posizione x e a disegnati, possiamo disegnare lo
spostamento x-a (da a a x) e a-x (da x a a)
y
y
a-x
a
a
x
x
x
z
x
z
x-a
 I vettori x-a e a-x hanno la stessa direzione e grandezza, ma verso
opposto
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Fisica
6
Vettore spostamento
 Il vettore spostamento da a a x puo’ essere disegnato anche con gli
estremi alle due “punte di freccia” dei vettori x-a
 In effetti mentre a e x dipendono dal sistema di riferimento, lo
spostamento x-a non dipende dal sistema di riferimento.
Mentre le coordinate dei vettori a e A sono diverse, cosi’ come sono diverse le
coordinate dei vettori x e X, le coordinate dei vettori x-a e X-A sono uguali.
y
a
x-a
y
A
x X-A
x
z
X
x
z
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7
Traiettoria
 L’insieme dei punti occupati dal corpo durante il suo moto x(t) al variare
del tempo e’ chiamato traiettoria.
Una traiettoria rettilinea nello spazio puo’ essere scritta x(t) = x0 + a t x1
Una traiettoria circolare nel piano “x-y” puo’ essere scritta x(t) = i r sin(wt) + j r
cos (wt)
Una traiettoria parabolica puo’ essere scritta nel piano x-z x(t) = i (x0 + vx0 t )+
k (z0 + vz0 t + g t2 )
In generale la traiettoria puo’ essere scritta come x(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
 E’ possibile una volta nota la traiettoria scomporla in piu’ moti
unidimensionali – comodo per fare i conti.
“proiezione” della posizione del punto sugli assi, ovvero posizione lungo l’asse
x, ovvero moto lunto
Ad esempio il moto con una traiettoria parabolica puo’ essere scomposto in
due equazioni – sistema di equazioni – in formule:
x(t) = x0 + vx0 t
z(t) = z0 + vz0 t + g t2
 Una traiettoria puo’ essere scritta come una serie di spostamenti.
“al limite” gli spostamenti diventano infinitesimali
“al limite” gli spostamenti sono tangenti alla traiettoria
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Velocita’
 Avendo lo spostamento possiamo definire la velocita’ istantanea
vettoriale come la derivata dello spostamento rispetto al tempo
In formule: v(t) = d x(t)/dt
 Visivamente: dx rappresenta un piccolo spostamento, e al limite e’
tangente alla traiettoria del moto.
La velocita’ istantanea vettoriale e’ sempre tangente alla traiettoria.
Si disegna come una freccia orientata che ha origine nel corpo – scrittura di
comodo, non formale
 “facendo i conti” e’ possibile determinare il valore delle componenti della
velocita’ derivando le componenti della traiettoria
In formule v(t) = dx(t)/dt i + dy(t)/dt j + dz(t)/dt k  vx i + vy j + vz k
si assume che i versori i, j, k siano costanti
 Come nel caso unidimensionale possiamo definire la velocita’ vettoriale
media, e la velocita’ scalare media e istantanea
vm = (x(t2) – x(t1))/(t2– t1)
vscalarem = ∫|d(x(t))| /T
vscalare = |d x(t)|/dt
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Accelerazione
 L’accelerazione e’ la derivata della velocita’
Accelerazione istantanea a(t) = d(v(t))/dt
Accelerazione media am = ∫dt d(v(t))/dt / ∫dt = (v(t2) – v(t1))/(t2– t1)
 “facendo i conti” abbiamo le stesse formule che abbiamo trovato per la
velocita’:
a(t) = dvx(t)/dt i + dvy(t)/dt j + dvz(t)/dt k
 Visivamente c’e’ una differenza: l’accelerazione non e’ sempre tangente
alla traiettoria
 Si introduce il concetto di accelerazione tangenziale e accelerazione
centripeta
L’accelerazione tangenziale e’ orientata lungo la tangente e il suo valore e’
quello della variazione della velocita’ scalare (del modulo della velocita’).
Conseguentemente se il moto si svolge a velocita’ in modulo costante – come
per esempio nel moto circolare uniforme – l’accelerazione tangenziale e’
nulla.
L’accelerazione centripeta’ e’ orientata perpendicolarmente alla traiettoria,
lungo il raggio del “cerchio osculatore” e di modulo v2/R
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Fisica
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Accelerazione tangenziale e centripeta
 La velocita’ e’ sempre orientata lungo la tangente alla traiettoria
In formule: v(t) = q(t) v(t)
v(t) e’ il modulo del vettore velocita’
q(t) e’ il vettore di modulo costante e unitario tangente alla
Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, possiamo scrivere q(t) = i
cos(wt) – j sin(wt)
 L’accelerazione formalmente si scrive come a(t) = d(q(t) v(t))/dt
Ovvero: a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t)
 La componente dell’accelerazione lungo la traiettoria e’ l’accelerazione
tangenziale e vale at = q(t) dv(t)/dt
 La variazione del vettore tangente alla traiettoria puo’ essere solo di
direzione; e la variazione di direzione non puo’ essere che
perpendicolare alla traiettoria
Naturalmente esiste una trattazione piu’ formale…
 Quindi a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) = atang + acentr
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Fisica
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