Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
ZONE DI DISCONTINUTA’
Lezione 1
 DEFINIZIONI
 PRINCIPI E METODI DI CALCOLO
 Definizione di D-Regions
 Metodi di calcolo che fanno uso di codici agli E.F.
 I modelli Strut-and-tie
 Principi del metodo
 Regole generali per la costruzione dei modelli
 Accuratezza e ottimizzazione
 Resistenze dei materiali e nodi
 Esempi
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Definizioni
Il principio di de-Saint Venant permette di individuare nelle travi le zone (dette
D-regions) lontano dalle quali la distribuzione delle tensioni non dipende dalla
particolare distribuzione dei carichi applicati, ma solamente dalla loro risultante.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Definizioni
Le indicazioni presenti in letteratura permettono una progettazione accurata ed
attenta delle parti di una struttura non interessate da discontinuità geometriche
o statiche (B-Regions). Ad esempio, per la valutazione degli effetti flessionali la
valutazione dello stato tensionale è facilmente determinabile a partire dalle
seguenti ipotesi (modello di trave):




planarità delle sezioni (ipotesi di Bernoulli);
resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile;
perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo;
utilizzo di modelli rappresentativi del legame costitutivo (-) dei materiali.
Quando oltre alla flessione è presente anche il taglio si fa generalmente uso di
modelli Truss, che traducono in maniera semplice l’interazione tra i due
fenomeni e permettono di valutare la quantità di armatura necessaria a
flessione e taglio.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Definizioni
Sfortunatamente nelle zone di discontinuità l’ipotesi di Bernoulli deve
necessariamente essere rimossa con la conseguenza che lo stato di tensione
all’interno della trave non può essere ricavato semplicemente dalle
caratteristiche della sollecitazione (Sforzo normale, T, Momento).
Distribuzione delle tensioni
L’ Ipotesi di Bernoulli può
essere considerata valida
Le tensioni
hanno un
andamento non
lineare
Trave Alta
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Estensione delle D-Regions
Per l’applicazione dell’ipotesi di Bernoulli è necessario individuare l’estensione
delle B-Regions e conseguentemente delle D-Regions. A tale scopo è utile il
principio di De Saint-Venant.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Metodi di progetto che fanno uso di analisi agli E.F.
Le zone di disturbo possono essere agevolmente studiate con l’ausilio di
modelli per la simulazione di stati di tensione piani, anche se non mancano casi
nei quali la distribuzione delle tensioni è tridimensionale.
Possono essere condotte due tipi di analisi:
 Analisi elastica non lineare
 Analisi non lineari in campo plastico
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
E.F. Analisi Lineare
Da un punto di vista concettuale l’analisi elastica non richiede grossi sforzi,
soprattutto utilizzando programmi agli elementi finiti, e può essere facilmente
applicata. Essa però non è affatto esente da problemi:
 in punti singolari (spigoli, forze concentrate, etc..) la tensione può aumentare
considerevolmente, a causa dell’approssimazione del modello.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
E.F. Analisi Lineare
 non appena il calcestruzzo si fessura e compaiono fenomeni di non linearità
meccanica dei materiali le previsioni di un modello elastico possono divenire
poco attendibili.
Incompatibili
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E.F. Analisi Lineare
 Per la definizione di modelli agli EF affidabili, occorre inoltre determinare
correttamente le condizioni al contorno, sia cinematiche che statiche.
Corretta valutazione dei carichi
sia distribuiti che concentrati
corretta definizione
delle condizioni di vincolo
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umerico
erim.
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E.F. Analisi Lineare
 Per la definizione di modelli agli EF affidabili, occorre inoltre determinare
correttamente le condizioni al contorno, sia cinematiche che statiche.
Confronto Numerico- Sperimentale
MODELLO A CERNIERE PUNTUALI
Frequenza num. 5.07 Hz
Frequenza Sperim. 9.75 Hz
ch1
-0.092
-3.98
ch2
0.06
4.64
ch3
0.085
6.25
ch4
0.062
4.92
ch5
-0.056
-4.96
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E.F. Analisi Lineare
 In alcune occasioni i risultati del metodo possono essere non facilmente
interpretabili soprattutto per zone D di dimensioni ridotte, per le quali spesso
il modello strut-and-tie si presta ad essere utilizzato più facilmente.
E’ questo, ad esempio,
il caso dei nodi trave-pilastro
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E.F. Analisi Lineare
 Un ulteriore problema legato a modelli elastici è
l’impossibilità di valutare le forze di ancoraggio
necessarie per un buon funzionamento statico,
soprattutto in presenza di fessurazione del calcestruzzo
e di fenomeni non lineari.
Valutare le forze di ancoraggio e di conseguenza le
lunghezze di ancoraggio in base a modelli elastici
potrebbe provocare gravi errori progettuali
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E.F. Analisi in campo plastico
Le analisi in campo plastico risultano di difficile applicazione
sia per il non agevole utilizzo di programmi di analisi non
lineare, sia per la complessità dei fenomeni in gioco
(fessurazione, ancoraggio delle armature, etc..).
Per tale motivo, spesso si limita l’utilizzo al solo caso
elastico.
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Analisi agli E.F
Per la determinazione del layout di armatura è necessario
indagare l’andamento delle tensioni, in particolare quelle di
trazione. Le tensioni di compressione possono essere
utilizzate effettuare una verifica sul cls compresso.
La difficoltà di queste operazioni sta nell’interpretazione
dello stato tensionale.
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
Per valutare l’andamento delle tensioni interne possono
essere utilizzate le linee isostatiche che permettono la
visualizzazione delle tensioni principali di trazione e
compressione e avere così un quadro di come le tensioni si
distribuiscono all’interno di una zona. Da esse è possibile
ricavare un modello a traliccio composto da puntoni (struts)
e tiranti (tie). I primi devono descrivere il tracciato delle linee
isostatiche
di
compressione,
mentre
i
secondi
rappresentano l’armatura che serve per assorbire gli sforzi
di trazione.
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
Un altro esempio è quello
di trave alta, illustrato qui
accanto. E’ facile dalle
isostatiche individuare un
flusso
di
tensioni
principali che corrisponda
a puntoni e l’equilibrio del
modelli anche tiranti in
grado di assorbire gli
sforzi di trazione
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Corso di Complementi
Cemento Armato
di Tecnica
Precompresso
delle Costruzioni
– A/A 2012-13
– A/A 2008-09
TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
In maniera del tutto analoga può essere utilizzato il metodo
dei percorsi di carico che fanno uso della analogia
meccanica fra il flusso di un liquido e le forze interne. In tal
caso si individuano dei percorsi si carico che non sono altro
che linee che percorre il carico dal punto di applicazione
all’appoggio. Tali linee sono delle linee lungo le quali la
componente di forza verticale rimane costante.
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
La costruzione di un modello a traliccio non è in realtà
univoca. Per ogni applicazione sono possibili diversi modelli
a traliccio. Ci si chiede allora qual è il principio in base al
quale scegliere il modello?
Una volta individuato un modello facendo riferimento ai
flussi di sforzo ricavati da un'analisi elastica, esso può
essere considerato come uno schema iniziale da distorcere
in modo parametrico nel tentativo di riuscire a individuare
valori ultimi del carico di intensità maggiore. Un modo
sistematico per compiere questa ricerca si basa su
procedure di ottimizzazione che richiedono l'utilizzo
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dell'elaboratore elettronico
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
Il fondamento teorico di tale procedura è legato ad uno dei
teoremi dell’analisi limite secondo il quale il modello a
traliccio
costituisce
una
soluzione
“staticamente
ammissibile“, il cui moltiplicatore di collasso è approssimato
per difetto.
Il teorema a cui ci si riferisce è il teorema del limite
inferiore
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
teorema del limite inferiore
(teorema statico)
Il teorema del limite inferiore afferma che se
esiste un sistema di forze esterne Fi in
equilibrio con lo stato tensionale interno in
ogni punto e che non viola in nessun punto
il criterio di rottura del materiale, allora il
collasso non può avvenire e il livello dei
carichi considerati rappresenta un limite
inferiore per quello di rottura.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
Una volta individuato un modello strut-and-tie esso è
suscettibile di miglioramenti. In particolare può essere
aumentata la sua accuratezza introducendo ulteriori sottoelementi in grado di valutare più in dettaglio il valore locale
delle tensioni.
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi)
I modelli SAT possono essere utilizzati anche per la
valutazione della resistenza a collasso di D-regions.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Le fasi per la costruzione di un modello Strut-and-tie sono:
1) Individuazione delle zone B e D
2) Analisi globale per la determinazione delle forze di interfaccia tra
zone B e D
3) Costruzione di un modello a traliccio staticamente ammissibile
(SAT) e dimensionamento delle aste compresse e tese
4) Controllo della resistenza dei nodi
5) Distribuzione dell’armatura all’interno della zona D
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Le fasi per la costruzione
di un modello Strut-and-tie
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Regole generali per la costruzione di modelli SAT
 Il modello di prima approssimazione deve essere il più semplice
possibile con un numero ridotto di puntoni e tiranti.
 E’ preferibile scegliere tiranti (armature) paralleli ai lati della zona
analizzata.
 In prossimità dei lati della zona è bene infittire le armature e porre il
corrispondente tirante nel baricentro delle armature
 L’angolo tra i puntoni e i tiranti in un nodo deve essere grande e
> 45° , ad eccezione dei casi in cui due tiranti a 90° incontrano un
puntone per cui al massimo l’angolo può essere 45°.
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Regole generali per la costruzione di modelli SAT
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Regole generali per la costruzione di modelli SAT
 I modelli SAT sono spesso dei meccanismi. Occorre allora cercare
quella distribuzione di forze che rende il sistema comunque
ammissibile.
 Modelli SAT iperstatici, sono utilizzabili, a patto che si realizzi
un’analisi di ottimizzazione in grado di massimizzare il moltiplicatore
di collasso.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Unicità della soluzione di un modello SAT
I tralicci staticamente ammissibili sono più di uno. Dovendo scegliere tra
più modelli di traliccio, ci si può orientare secondo vari criteri. Uno di
questi è la condizione di minimo dell'energia di deformazione associata
al modello che, nell'ipotesi di comportamento elastico di tiranti e puntoni
in fase post-fessurata, è determinabile come:
 Fi li mi = minimo
dove Fi , li, mi indicano rispettivamente sforzo assiale, lunghezza e
deformazione dell'i-esimo elemento. La formula può essere semplificata
limitando la sommatoria alle sole aste tese. Il modello così determinato
presenta il minor numero di bielle tese e di minor lunghezza.
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
Unicità della soluzione di un modello SAT
La realizzabilità del layout di armatura fa anch’esso da guida nella
scelta del modello
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TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’
Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
RESISTENZE DEI MATERIALI
Per tener conto dell’approssimazione del modello le resistenze degli
elementi vengono ridotte mediante opportuni coefficienti di sicurezza.
Per il cls l’EC2 prescrive:
k=0.85
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
RESISTENZE DEI MATERIALI
Per l’acciaio l’EC2 prescrive che la resistenza dei tiranti sia quella delle
armature stesse.
Per le resistenze dei nodi essa prescrive
Nodo interamente compresso
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Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie
RESISTENZE DEI MATERIALI
Nodo non interamente compresso
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