I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 1
DATA PROCESSING
Prof. ALESSANDRO DE CARLI
Dott. Ing. Vincenzo Suraci
ANNO ACCADEMICO 2011-20012
Corso di AUTOMAZIONE 1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 2
STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:
1.
2.
INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING
STIMA DEL VALORE MEDIO
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 3
INTRODUZIONE
AL DATA PROCESSING
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
AUTOMAZIONE 1
ACQUISIZIONE DATI
SCHEMACOSTRUTTIVO
FUNZIONALE
SCHEMA
SCHEDA
INPUT
BANDA PASSANTE
FILTRO
ACCORDATA
PASSA
BASSO
AL PASSO
DI
CAMPIONAMENTO
SEGNALE
ANALOGICO
DATA PROCESSING
OSCILLATORE
A FREQUENZA
COSTANTE
PASSO DI
CONVERTITORE
CAMPIONAMENTO
ANALOGICO
PASSO
DI
DIGITALE
QUANTIZZAZIONE
DISPOSITIVO DI
ELABORAZIONE
DATA
PROCESSING
SEGNALE
DIGITALE
4
AUTOMAZIONE 1
VARIABILE
MISURATA
SEGNALE UTILE
tempo
tempo
ANDAMENTO DEL
VALORE MEDIO
CONTIENE INFORMAZIONI
UTILI PER VALUTARE
L’AZIONE DI CONTROLLO O
L’EFFETTO DELL’AZIONE DI
CONTROLLO
DISTURBO
tempo
POTREBBE CONTENERE
INFORMAZIONI UTILIZZABILI
PER LA GESTIONE O PER LA
DIAGNOSTICA
RUMORE
tempo
UTILE AL FINE DELLA
CARATTERIZZAZIONE
DEL FUNZIONAMENTO
DATA PROCESSING
tempo
IN GENERE NON CONTIENE
INFORMAZIONI UTILI
5
AUTOMAZIONE 1
VARIABILE
MISURATA
SEGNALE UTILE
tempo
tempo
ANDAMENTO DEL
VALORE MEDIO
DISTURBO
tempo
AD ESEMPIO
CONTIENE INFORMAZIONI
ANDAMENTO
DELLA VARIAUTILIDI
PER
VALUTARE
BILE
COMANDO
ELABOL’AZIONE
DI REGOLATORE
CONTROLLO O
RATA
DA UN
L’EFFETTO
DELL’AZIONE
DI
NEL
CONTROLLO
A LIVELLO
CONTROLLO
DI
CAMPO
VARIAZIONE DELLA PRESPOTREBBE
CONTENERE
SIONE O DELLA
PORTATA
INFORMAZIONI
UTILIZZABILI
DOVUTA ALLE OSCILLAPER
GESTIONE O PER LA
ZIONILA
DELL’OTTURATORE
DI
DIAGNOSTICA
UNA SERVOVALVOLA
RUMORE
tempo
UTILE AL FINE DELLA
CARATTERIZZAZIONE
DEL FUNZIONAMENTO
DATA PROCESSING
tempo
APPROSSIMAZIONE DOVUTA
IN GENERE NON CONTIENE
ALLA DIGITALIZZAZIONE DI
INFORMAZIONI UTILI
UN SEGNALE ANALOGICO
6
AUTOMAZIONE 1
SEGNALE ANALOGICO
CAMPIONAMENTO
E QUANTIZZAZIONE
PASSO DI
ACQUISIZIONE
ELABORAZIONI
ON-LINE
DATI
ACQUISITI
SCELTA DEL PASSO DI
ACQUISIZIONE
SE TROPPO FITTO VIENE ESALTATO
IL RUMORE DI DIGITALIZZAZIONE
SE TROPPO RADO VENGONO
DISTORTE LE INFOMAZIONI
CONTENUTE NEL SEGNALE UTILE
DATA PROCESSING
STIMA DEL
VALORE MEDIO
SEGNALE UTILE
RUMORE E/O
DISTURBO
STIMA DELLA
DERIVATA PRIMA
STIMA DELLA
DERIVATA SECONDA
7
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 8
CALCOLO DEL VALORE MEDIO
METODO OFF-LINE
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 9
MEDIA ARITMETICA
•
Il calcolo della MEDIA ARTIMETICA di un insieme di dati è una operazione
a posteriori, ossia che può venire effettuata solo dopo che sono
disponibili tutti i dati di cui si vuole calcolare il valore medio;
•
L’espressione analitica risulta:
1
𝑋 𝑛 =
𝑛
De Carli - Suraci
𝑛
𝑥𝑖
MEDIA
ARITMETICA
𝑖=1
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 10
MEDIA ARITMETICA
•
•
•
Se per il calcolo della media aritmetica si usa un dispositivo di calcolo
numerico bisogna tenere conto della lunghezza di parola finita (8-64 bit);
Il valore della sommatoria può assumere valori troppo elevati (overflow)
per essere rappresentato con la lunghezza di parola del dispositivo di
calcolo.
Il valore del termine 1/n può assumere valori troppo piccoli (underflow)
per essere compatibile con la lunghezza di parola. ESEMPIO HALF 16-bit
1
𝑋 𝑛 =
𝑛
𝑛
OVER-FLOW
𝑥𝑖
𝑖=1
UNDER-FLOW
De Carli - Suraci
Underflow = 5.96 × 10−8
Overflow = 65504
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 11
CALCOLO DEL VALORE MEDIO
METODO ON-LINE
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
AUTOMAZIONE 1
ampiezza
COME CALCOLARE L’ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO ?
media aritmetica
tempo
la media aritmetica può essere calcolata solo per un numero limitato (n)
di valori campionati.
Interessa allora effettuare una stima ricorsiva calcolando la media:
• su un numero prefissato di valori digitalizzati, media mobile
• aggiornandone il valore ad ogni passo, media pesata
• minimizzando ad ogni passo la varianza dell’errore di stima, media
adattativa
DATA PROCESSING
12
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 13
MEDIA MOBILE
•
Il metodo più semplice e intuitivo per risolvere il problema dell’overflow e
dell’unferflow consiste nel limitare a k il numero degli elementi utilizzati
per il calcolo del valore medio. In questo modo n può essere grande a
piacere.
•
L’espressione analitica della media mobile al passo j risulta:
1
𝑋 𝑗 =
𝑘
𝑗+𝑘−1
𝑥𝑖
MEDIA
MOBILE
𝑖=𝑗
1≤j≤𝑛−𝑘
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 14
MEDIA MOBILE
•
•
•
Il valore di k dati e la durata del transitorio di algoritmo dipendono dalle
caratteristiche statistiche dei dati. In particolare dipendono dalla varianza.
A regime la media mobile presenta una dispersione di ampiezza limitata
e con andamento di tipo periodico.
Tale approccio richiede una occupazione di memoria di k dati su cui
viene calcolata in forma ricorsiva la media mobile.
REGISTRO DI MEMORIA DI k VALORI
𝒙𝒌
𝒙𝒌−𝟏 …
𝒙𝟏
PASSO 1
𝒙𝒌+𝟏 𝒙𝒌 …
𝒙𝟐
…………………………….
𝒙𝒏
De Carli - Suraci
𝒙𝒏−𝟏 …
A.A. 2011/2012
𝒙𝒏−𝒌+𝟏
PASSO 2
PASSO n-k+1
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 15
STIMA DEL VALORE MEDIO
METODO ON-LINE
RICORSIVO
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 16
MEDIA PESATA
•
Per risolvere il problema dell’occupazione di memoria si può stimare la
media al passo attuale j conoscendo il valore della media stimato al passo
precedente (j-1).
•
L’espressione analitica della media pesata al passo j risulta:
𝑋 𝑗 = 𝑋(𝑗 − 1) + 𝛼 ( 𝑥(𝑗) − 𝑋(𝑗 − 1))
MEDIA PESATA
1≤j≤𝑛
De Carli - Suraci
𝑋 0 = 𝑋0
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 17
MEDIA PESATA
•
Il valore di a va fissato sulla base della varianza dei dati di cui calcolare la
media.
•
Da a dipendono sia la durata del transitorio di algoritmo sia l’inevitabile
dispersione della stima del valore medio.
•
Dopo che è esaurito il transitorio di algoritmo, la media pesata presenta
una dispersione di ampiezza limitata con andamento di tipo periodico.
•
La media pesata può essere vista come un sistema controllato con
modalità di controllo a controreazione.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 18
j+1
𝑥 𝑗+1
j
𝑥 𝑗
j-1
𝑋 𝑗
𝛼
𝑋 𝑗−1
𝑋 𝑗−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 19
𝑥 𝑗+1
𝑥 𝑗
𝑋 𝑗
𝛼
𝑋 𝑗−1
𝑋 𝑗−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 20
MEDIA PESATA
•
Il sistema da controllare è caratterizzato da un comportamento dinamico
assimilabile a quello di un integratore, in cui il valore al passo attuale X(j)
è ottenuto come somma del valore relativo al passo precedente X(j-1) e
dell’incremento al passo attuale, ossia (x(j)-X(j-1)), moltiplicato per il
guadagno a.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 21
MEDIA PESATA
•
Per assicurare la stabilità della procedura e per ridurre sia la durata del
transitorio di algoritmo sia l’oscillazione residua, l’unica possibilità è
quella di agire sul valore da assegnare al guadagno a.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 22
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARITMETICA
• Se si fa variare il guadagno a ad ogni passo j, ed i particolare si pone:
𝛼=1 𝑗
𝑋 𝑗 = 𝑋(𝑗 − 1) +
=𝑋 𝑗 − 1 −
=1
1
−
𝑗
De Carli - Suraci
1
𝑋
𝑗
𝑋 𝑗−1
1
𝑗
( 𝑥(𝑗) − 𝑋(𝑗 − 1))=
𝑗−1 +
1
+
𝑗
1
𝑗
𝑥 𝑗 =
𝑥 𝑗
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 23
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
•
Pertanto al passo j=n avremo:
1
𝑋 𝑛 =𝑋 𝑛−1 +
𝑛
𝑥 𝑛 −𝑋 𝑛−1
=
1
1
= 1− 𝑋 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 =
𝑛
𝑛
𝑛−1
1
=
𝑋 𝑛−1 + 𝑥 𝑛
𝑛
𝑛
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AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 24
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
•
Notiamo che al passo n-1, si ha:
𝑋 𝑛 − 1 = 𝑋(𝑛 − 2) +
=1
1
−
𝑛−1
𝑋 𝑛−2 +
1
𝑛−1
1
𝑛−1
( 𝑥(𝑛 − 1) − 𝑋(𝑛 − 2))=
𝑥 𝑛−1 =
𝑛−2
1
=
𝑋 𝑛−2 +
𝑥 𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 25
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
𝑛−1
1
𝑋 𝑛 =
𝑋 𝑛−1 + 𝑥 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛−2
1
𝑋 𝑛−1 =
𝑋 𝑛−2 +
𝑥 𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
•
Sostituendo la seconda nella prima si ha:
𝑛−2
1
1
𝑋 𝑛 =
𝑋 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 26
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
•
Effettuando h sostituzioni si ottiene:
𝑛−ℎ−1
1
𝑋 𝑛 =
𝑋 𝑛−ℎ−1 +
𝑛
𝑛
•
ℎ+1
𝑥 𝑛−𝑖+1
𝑖=1
Effettuando h = n-1 sostituzioni, si ottiene la media aritmetica:
0
1
𝑋 𝑛 = 𝑋 0 +
𝑛
𝑛
De Carli - Suraci
𝑛
𝑖=1
1
𝑥 𝑛−𝑖+1 =
𝑛
A.A. 2011/2012
𝑛
𝑥 𝑖 =𝑋 𝑛
𝑖=1
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 27
MEDIA PESATA
•
Se
𝛼=1 𝑗
all’aumentare di j il valore di 1/j raggiungere valori che non possono essere
rappresentati nel dispositivo di calcolo a causa della limitata lunghezza di
parola (underflow).
•
Occorre allora imporre un minimo al valore che può essere raggiunto dal
guadagno a.
•
Se tale valore viene fissato fin dal primo passo della procedura ricorsiva,
l’andamento della media pesata presenta, oltre al transitorio di algoritmo,
anche una oscillazione di tipo periodico.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 28
STIMA DEL VALORE MEDIO
METODO ON-LINE
RICORSIVO
MINIMIZZAZIONE ERRORE STIMA
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 29
MEDIA ADATTATIVA
•
Per ridurre gli effetti del transitorio di algoritmo si applica una
procedura di stima ricorsiva del valore medio basata sulla minimizzazione
ad ogni passo dell’errore di stima, chiamata media adattativa..
•
L’espressione analitica della media adattativa al passo n risulta:
𝑄𝑛 = 𝑄𝑛−1 + 𝛼 𝑥𝑛2 − 𝑄𝑛−1
𝑃𝑛−1
𝐾 𝑛 =
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
𝑋𝑛 = 𝑋𝑛−1 + 𝐾 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑋𝑛−1
𝑃𝑛 = 𝐾 𝑛 𝑄𝑛
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 30
MEDIA ADATTATIVA
•
Il valore della media calcolato ad ogni passo n è influenzato da un errore di
misura e da un errore di stima:
VALORE MISURATO AL PASSO n
𝑥𝑛 = 𝑋 ∗ + 𝜀𝑛
𝑋 𝑛 = 𝑋 ∗ + 𝜃𝑛
STIMA DELLA MEDIA AL PASSO n
MEDIA ESATTA (INCOGNITA)
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
•
Conviene allora ricavare ad ogni passo quel valore che rende minima la
varianza dell’errore di stima.
•
Ciò è ottenuto applicando al calcolo ricorsivo della stima del valore medio
la metodologia su cui si basa il filtro di Kalman.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 31
MEDIA ADATTATIVA - ASSUNZIONI
•
L’errore di misura e l’errore di stima sono variabili aleatorie assimilabili a
rumore bianco a media nulla, ovvero:
• non presentano periodicità;
• non introducono un errore costante (bias).
•
L’errore di misura e l’errore di stima non sono correlati, pertanto il valore
atteso del loro prodotto ha valore nullo.
𝜀𝑛
𝜃𝑛
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 32
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Riprendendo la relazione della media pesata, con peso adattativo,
otteniamo:
𝑋(𝑛) = 𝑋(𝑛 − 1) + 𝐾 𝑛 ( 𝑥(𝑛) − 𝑋(𝑛 − 1))
•
Sostituendo nella formula l’errore di stima e di misura, si ottiene:
𝑋 ∗ + 𝜃𝑛 = 𝑋 ∗ + 𝜃𝑛−1 + 𝐾 𝑛
•
𝑋 ∗ + 𝜀𝑛 − 𝑋 ∗ + 𝜃𝑛−1
Semplificando, si ottiene:
𝜃𝑛 = 𝜃𝑛−1 + 𝐾 𝑛
De Carli - Suraci
𝜀𝑛 − 𝜃𝑛−1
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 33
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatorie a valor
medio nullo, la loro varianza è il valore atteso del loro quadrato.
•
Il quadrato dell’errore di stima è
2
𝜃𝑛2 = 𝜃𝑛−1
+𝐾 𝑛
2
𝜀𝑛 − 𝜃𝑛−1
2
+ 2𝜃𝑛−1 𝐾 𝑛 𝜀𝑛 − 𝜃𝑛−1
2
2
= 𝜃𝑛−1
+ 𝐾 𝑛 2 𝜀𝑛2 + 𝐾 𝑛 2 𝜃𝑛−1
− 2𝐾 𝑛 2 𝜀𝑛 𝜃𝑛−1
2
+ 2𝐾 𝑛 𝜃𝑛−1 𝜀𝑛 − 2𝐾 𝑛 𝜃𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 34
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatore
indipendenti, il valore atteso del prodotto è nullo.
•
La varianza dell’errore di stima è:
𝐸 𝜃𝑛2
2
2
= 𝐸 𝜃𝑛−1
+ 𝐾 𝑛 2 𝐸 𝜀𝑛2 + 𝐾 𝑛 2 𝐸 𝜃𝑛−1
2
− 2𝐾 𝑛 2 𝐸 𝜀𝑛 𝜃𝑛−1 + 2𝐾 𝑛 𝐸 𝜀𝑛 𝜃𝑛−1 − 2𝐾 𝑛 𝐸 𝜃𝑛−1
•
Posti:
𝐸 𝜃𝑛2 = 𝑃𝑛
𝐸 𝜀𝑛2 = 𝑄𝑛
si ottiene:
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1 + 𝐾 𝑛 2 𝑄𝑛 + 𝐾 𝑛 2 𝑃𝑛−1 − 2𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 35
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Per minimizzare la varianza dell’errore di stima rispetto a K(n) si dovrà
porre:
𝜕𝑃𝑛
=0
𝜕𝐾 𝑛
•
Ovvero:
𝜕𝑃𝑛
= 2𝐾 𝑛 𝑄𝑛 + 2𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1 − 2𝑃𝑛−1 = 0
𝜕𝐾 𝑛
𝑃𝑛−1
𝐾 𝑛 =
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 36
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Sostituendo
𝑃𝑛−1
𝐾 𝑛 =
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
•
Nella equazione:
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1 + 𝐾 𝑛 2 𝑄𝑛 + 𝐾 𝑛 2 𝑃𝑛−1 − 2𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1
•
Si ottiene:
𝑃𝑛−1
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1 + 𝐾 𝑛
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1 − 2𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 37
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Continuando:
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1 + 𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1 − 2𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1 − 𝐾 𝑛 𝑃𝑛−1 = 𝑃𝑛−1 1 − 𝐾 𝑛
•
Sostituendo nuovamente si ottiene:
𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛 = 𝑄𝑛
𝑃𝑛−1
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1 − 𝑃𝑛−1
1−
= 𝑃𝑛−1
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛−1
= 𝐾 𝑛 𝑄𝑛
𝑄𝑛 + 𝑃𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
𝑃𝑛 = 𝐾 𝑛 𝑄𝑛
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 38
MEDIA PESATA ADATTATIVA
•
Per determinare la varianza dell’errore di misura viene applicata la
relazione ricorsiva che fornisce la stima del suo valore medio.
𝑄𝑛 = 𝑄𝑛−1 + 𝛼 𝑥𝑛2 − 𝑄𝑛−1
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
0.1 < 𝛼 < 0.001
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 39
STIMA DEL VALORE MEDIO
ESEMPIO COMPARATIVO
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 40
ESEMPIO COMPARATIVO
•
Consideriamo un segnale utile COSTANTE (0.5), a cui si aggiunge un
rumore bianco con escursione ±0.5. Il segnale complessivo è
rappresentato in figura in blu. In rosso compare la media aritmetica.
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 41
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA MOBILE
.5
MEDIA
MOBILE
.4
FINESTRA CON 50 DATI
.3
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA MOBILE
OSCILLAZIONI
PERIODICHE
A REGIME
.5
NECESSITÀ
FILTRO
PASSA
BASSO
.4
FINESTRA CON 100 DATI
.3
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA MOBILE
.5
.4
TRANSITORIO DI
ALGORITMO
FINESTRA CON 200 DATI
.3
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 42
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA
PESATA
MEDIA PESATA
.5
a
= .05
K=.050
.4
.3
OSCILLAZIONI
PERIODICHE
A REGIME
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA PESATA
.5
.4
=.025
.025
Ka=
NECESSITÀ
FILTRO
PASSA
BASSO
a
= .01
K =.010
TRANSITORIO DI
ALGORITMO
.3
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA PESATA
.5
.4
.3
0
100
200
De Carli - Suraci
300
400
500
600
700
800
A.A. 2011/2012
900
1000
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 43
.7
MEDIA ARITMETICA
.6
MEDIA
ADATTATIVA
MEDIA ADATTATIVA
.5
.4
.3
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
.10
.05
0
VARIANZA DELL’ERRORE DI STIMA
GUADAGNO
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
PERICOLO DI
UNDEFLOW
0.5
00
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 44
MEDIA ADATTATIVA
CON GUADAGNO LIMITATO INFERIORMENTE
.7
MEDIA ARITMETICA
MEDIA ADATTATIVA
.6
.5
.4
K > .001
.3
0
1000
De Carli - Suraci
2000
3000
4000
5000
6000
A.A. 2011/2012
7000
8000
9000
10000
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 45
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILE
AUTOCORRELAZIONE
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 46
SEGNALE UTILE, DISTURBO E RUMORE
ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t (sec)
ANDAMENTO DEL DISTURBO
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
t (sec)
ANDAMENTO DEL RUMORE
8
9
10
0
1
2
3
4
8
9
10
0.5
0
-0.5
0.5
0
-0.5
De Carli - Suraci
5
t (sec)
6
A.A. 2011/2012
7
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 47
SEGNALE MISURATO
ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA
1
ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
0.8
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t (sec)
ANDAMENTO DEL DISTURBO
8
9
10
0
1
2
3
4
8
9
10
0.6
0.5
0
0.4
-0.5
5
6
7
t (sec)
ANDAMENTO DEL RUMORE
0.5
0.2
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
t (sec)
6
7
8
9
10
0
-0.2
De Carli - Suraci
0
1
2
3
A.A. 2011/2012
4
5
t (sec)
6
7
8
9
10
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 48
0.5
0
0
1
CONTENUTO
2
3
4 ARMONICO
5
6
7 DEL
8
t (sec)
SEGNALE
MISURATO
ARMONICHE DEI DATDI PROVA
0.2
9
10
NON SI CAPISCE QUALE SIA
LA BANDA DEL SEGNALE !!!
0.1
0
0
De Carli - Suraci
5
10
15
20
ordine della armonica
A.A. 2011/2012
25
30
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 49
ANDAMENTO DELLA AUTOCORRELAZIONE
SPETTRO DI DENSITÀ
DI ENERGIA
0.2
0.1
0
-0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
t (sec)
ARMONICHE DELLA AUTOCORRELAZIONE
4
5
CONTENUTO
ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONE
DEL SEGNALE
MISURATO
0.06
𝑇
CONTENUTO ARMONICO
DEL SEGNALE UTILE !!!
0.04
0.02
TEMPO DI
OSSERVAZIONE
DEI DATI
𝜔 = 2𝜋𝑛/𝑇
0
0
5
De Carli - Suraci
10
15
20
ordine della armonica
25
A.A. 2011/2012
30
ARMONICA
DI ORDINE n
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 50
RICOSTRUZIONE CON 3 ARMONICHE
VERIFICA
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (sec)
RICOSTRUZIONE CON 10 ARMONICHE
9
10
DEL
CONTENUTO
ARMONICO DEL
AUTOCORRELAZIONE
DEL SEGNALE
MISURATO
1
3 ARMONICHE
0.5
10 ARMONICHE
0
0
1
2
De Carli - Suraci
3
4
5
t (sec)
6
7
8
9
A.A. 2011/2012
10
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 51
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILE
FILTRI PASSA-BASSO
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 52
FILTRO PASSA BASSO IDEALE
•
Un filtro passa-basso ideale dovrebbe:
1. LASCIARE INALTERATE LE FREQUENZE (IN MODULO E FASE)
ENTRO LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL
FILTRO)
2. ATTENUARE MASSIMAMENTE LE FREQUENZE OLTRE LA BANDA
DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 53
Bode Diagram
10
8
Magnitude (dB)
6
4
FILTRO PASSA BASSO IDEALE
FILTRO PASSA-BASSO IDEALE
2
0
-2
-4
BANDA SEGNALE UTILE
-6
-8
-10
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 54
FILTRI DI BUTTERWORTH
•
Esistono vari filtri in grado di fornire ottime prestazioni come filtri passabasso. Ad es. il FILTRO DI BUTTERWORTH
INTRODUCE
RITARDO DI FASE
IN BANDA
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 55
FILTRI DI BESSEL
•
Per capire come funzionano i filtri di Bessel, chiediamoci che forma
dovrebbe avere la funzione di trasferimento del filtro passa basso ideale.
•
Il filtro deve avere un guadagno k e una distorsione di fase il più possibile
«piatta» al variare delle frequenze nella banda passante.
𝑢 𝑡
•
FILTRO DI
BESSEL
𝑣 𝑡
𝑣 𝑡 = 𝑘𝑢 𝑡 − 𝛿
Passando nel dominio di Laplace
𝑉 𝑠
𝐻 𝑠 =
= 𝑘𝑒 −𝑠𝛿
𝑈 𝑠
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 56
FILTRI DI BESSEL
•
Ricordando le espressioni del seno iperbolico e del coseno iperbolico:
𝑒 𝑠 − 𝑒 −𝑠
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠 =
2
•
𝑒 𝑠 + 𝑒 −𝑠
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠 =
2
Esplicitiamo l’esponenziale presente nella funzione di trasferimento:
𝐻 𝑠 = 𝑘𝑒
De Carli - Suraci
−𝑠𝛿
𝑘
=
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠𝛿 + 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠𝛿
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 57
FILTRI DI BESSEL
•
Lo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno iperbolico sono:
𝑠3 𝑠5
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠 = 𝑠 + + + ⋯ +
3! 5!
𝑠2 𝑠4
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠 = 1 + + + ⋯ +
2! 4!
•
𝑠 2ℎ+1
+⋯
2ℎ + 1 !
𝑠 2ℎ
+⋯
2ℎ !
Blocchiamo ad n lo sviluppo in serie.
𝑛
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠 ≅
ℎ=0
De Carli - Suraci
𝑛
2ℎ+1
𝑠
2ℎ + 1 !
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠 ≅
A.A. 2011/2012
ℎ=0
𝑠 2ℎ
2ℎ !
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 58
FILTRI DI BESSEL
•
Sostituendo nella funzione di trasferimento:
𝐻 𝑠 ≅ 𝐻𝑛 𝑠 =
•
𝑘
𝑛
ℎ=0
𝑠𝛿 2ℎ+1
+
2ℎ + 1 !
𝑛
ℎ=0
𝑠𝛿 2ℎ
2ℎ !
Si può dimostrare che:
𝐵0 𝑠
𝐻𝑛 𝑠 =
𝐵𝑛 𝑠
De Carli - Suraci
dove
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 59
FILTRI DI BESSEL
•
Passando nel dominio della frequenza:
𝐻 𝑗𝜔 = 𝑘𝑒 −𝑗𝜔𝛿
•
Questa funzione di trasferimento ha un guadagno costante e una fase che
varia linearmente con la pulsazione:
𝜑 𝑗𝜔 = 𝜔𝛿
•
La velocità di fase è costante e può essere scelta piccola a piacere, per
avere una variazione di fase minima all’interno della banda passante:
𝑑𝜑 𝑗𝜔
=𝛿
𝑑𝜔
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUO
Slide n. 60
FILTRI DI BESSEL
I filtri di Bessel hanno un buon
comportamento passa-basso.
I filtri di Bessel hanno la massima
linearità nella risposta in fase
(nella banda passante).
De Carli - Suraci
A.A. 2011/2012
AUTOMAZIONE 1