…Settore chiave della finanza mondiale…
Gaia Barbarossa
Alessandra Bruno
Francesca Maschiella
Sandro Matonti
Il contratto di assicurazione trova la sua ragione d’essere nel
concetto di «RISCHIO», ovvero dal bisogno dell’uomo di
tutelarsi dal rischio.
Assicurato
a fronte del pagamento del premio
TRASFERISCE
all’ assicuratore
i
un RISCHIO che altrimenti
dovrebbe sopportare da solo
Le compagnie come possono mitigare
il rischio?
1. Coassicurazione
2. Pool
SCOPO
3. RIASSICURAZIONE
È uno strumento tecnico per ridurre la
volatilità dei risultati e quindi
migliorare l’impiego del capitale
Offrire protezione contro il
verificarsi di uno o più sinistri
di entità molto rilevante, o
accumulo di perdite derivanti
da un singolo sinistro
Con la riassicurazione
l’assicuratore (riassicurato)
trasferisce una parte di
rischio o dei rischi assunti
ad un altro assicuratore
(l’assicurato rimane
estraneo al contratto)
ASSICURATO
Che cos’è la
riassicurazione?
ASSICURATORE
RIASSICURATORE
rischio
rischio
rischio
100%
100%-X%
X%
Fonte: Straub Non life insurance mathematics
FACOLTATIVA
copre rischi singoli
(l’assicuratore può cedere le quote di rischio che ritiene opportune e il riassicuratore può
accettare o meno la cessione)
OBBLIGATORIA
copre una vasta gamma di
rischi
(la cedente e il riassicuratore concordano di osservare un trattato che obbliga la cedente a
trasferire al riassicuratore una quota prestabilita del proprio portafoglio e il riassicuratore
ad accettare quanto trasferito dalla cedente)
FACOB
facoltativa per la cedente e
obbligatoria per il riassicuratore
PROPORZIONALE
quota parte
rimborso sinistro
quota parte
premio
NON
PROPORZIONALE
quota parte
rimborso sinistro
quota parte
premio
PROPORZIONALE
l’assicuratore cede al riassicuratore una
percentuale identica di tutti i rischi sottoscritti.
Quindi il riassicuratore condivide tutti i sinistri proporzionalmente e riceve la
stessa proporzione dei premi meno le commissioni.
viene ceduta la parte di rischio eccedente un importo
determinato (pieno di conservazione).
Si garantisce così una migliore omogeneità quantitativa del portafoglio in
quanto le polizze con i capitali assicurati al di sotto o pari al pieno di
conservazione rimangono a carico della cedente.
NON PROPORZIONALE
il riassicuratore si impegna ad
indennizzare la cedente di tutta quella parte dei singoli danni che
eccede una certa somma fissa.
il riassicuratore indennizza la cedente solo se
i sinistri globali dell’anno eccedono una percentuale prefissata dei
premi.
Obiettivo della compagnia
minimizzare la
probabilità di rovina
massimizzare la
sicurezza dell’impresa
IPOTESI
DELLA TEORIA
portafoglio chiuso
durata annuale
Evento da considerare: Y > P + m +U
Poiché 𝐺𝑖 = P + m – Y
𝐺𝑖 < -U
n= numero contratti
𝑿𝒊 = guadagno sulla i-esima polizza
U= fondo di garanzia
σi² = varianza di 𝑋𝑖
𝑮𝒊 = guadagno sulle n polizze
Y= esborso aleatorio
P = somma dei premi
m = caricamenti
Pertanto la probabilità di rovina, ovvero di contenere
l’esborso dell’importo Y sarà:
Standardizzando otteniamo:
𝑝=Φ
𝑢+𝑚
(−
)
𝜎
= Φ (-s)
S: indice di stabilità relativa del
portafoglio
La compagnia di assicurazione per ridurre la probabilità di rovina
può agire su U,m e σ.
Aumentare
situazione
economicofinanziaria della
compagnia
e/o
risulta molto difficile
situazione
concorrenziale
del mercato
Soluzione: diminuire σ cedendo parte del rischio ad una impresa
di riassicurazione
Ricerca della politica ottima: massimizzazione dell’utilità attesa
del guadagno aleatorio del portafoglio riassicurato per un
esercizio.
Utilizzando il modello di utilità esponenziale:
−𝑥
𝐵
𝑢 𝑥 = 𝐵(1 − 𝑒 )
Definiamo il guadagno aleatorio dopo la riassicurazione:
𝐺 𝑟 =P + C – 𝑃(𝑟) - 𝛤 (1)
Dove:
P: premio netto dell’assicuratore
C: provvigione dell’assicuratore riconosciutagli dal riassicuratore
𝑷(𝒓) : premio chiesto dal riassicuratore (importo certo)
Γ(𝟏) : ritenzione della cedente (importo aleatorio)
𝐺
𝑟
diventa:
(𝑟)
𝑟
𝑟
𝐺
=
𝑖=1
𝑖=1(𝑃𝑖
+ 𝐶𝑖 − (𝑃𝑖 )r − ᴦ𝑖 )
Dove 𝑃 𝑟 e ᴦ sono funzioni della percentuale a di ritenzione nel
caso di riassicurazione proporzionale, delle priorità L nel caso di
non proporzionale e delle coppie (a,L) nel caso di miste.
Ricerca dei valori a e L che massimizzano:
𝐸 𝑢 𝐺 𝑟
= 𝐵 [1 − 𝐸(𝑒
𝐺(𝑟)
𝐵
)]
Definiamo la speranza matematica
1
φ𝐺 (𝑟) (− )
𝐵
= E(𝑒
−𝐺(𝑟)
𝐵
Si ricerca il minimo di
−1
ln φ𝐺 (r) ( )
𝐵
)
Si ricava il valore di una quota a o di una priorità L che massimizzi il
funzionale del guadagno aleatorio:
ω 𝑮𝒓 = 6 𝐵2 𝐸 𝐺 𝑟 3 B var 𝐺 𝑟 + 𝜇3 (𝐺 𝑟 )
Per vedere l’effetto della provvigione poniamo:
𝑃𝑟 − C = E (x - ᴦ) + 𝑚𝑟
𝑚𝑟 ∶ guadagno medio del riassicuratore al netto della provvigione
Se poniamo ᴦ = aX determiniamo la quota ottimale
𝒂∗ =
𝒎𝒓
1 𝑚𝑟
𝑩 𝟐 (1𝛾)
𝝈
2 𝜎
1
se a < 1
se a ≥ 1
Riassicurazione
proporzionale
QUOTE SHARE
SURPLUS
𝑃𝑖 𝑟𝑒 = 1 − α 𝑃𝑖 𝑐𝑒𝑑
𝑃𝑖 𝑟𝑒 = (1 − 𝛼𝑖 ) 𝑃𝑖 𝑐𝑒𝑑
Riassicurazione non
proporzionale
TRATTATO STOP LOSS
BURNING COST
𝑰𝑴𝑷𝑶𝑹𝑻𝑶 𝑹𝑰𝑴𝑨𝑺𝑻𝑶 𝑨 𝑪𝑨𝑹𝑰𝑪𝑶 𝑫𝑬𝑳 𝑹𝑰𝑨𝑺𝑺𝑰𝑪𝑼𝑹𝑨𝑻𝑶𝑹𝑬
𝑴𝑶𝑵𝑻𝑬 𝑷𝑹𝑬𝑴𝑰 𝑫𝑬𝑳𝑳𝑨 𝑪𝑬𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬 𝑰𝑵 𝑸𝑼𝑬𝑳𝑳′ 𝑨𝑵𝑵𝑶
𝜏=
𝐾𝐶
1 𝑖
𝑘𝑃
1 𝑖
oppure
∗
𝜏 =
1
𝑘
𝑘 𝐶𝑖
1𝑃
𝑖
𝐶𝑖 = esborsi del riassicuratore nei k anni precedenti
𝑃𝑖 = premi incassati dalla cedente
Problema del Burning Cost
nel calcolo del premio non considera gli
effetti inflattivi
E. CO. MO. R.
(Excedent du Cont Moyen Relatif)
L’assicuratore classifica, in ordine decrescente rispetto
all’ammontare del risarcimento, i sinistri di maggiore entità
Il riassicuratore copre l’eccesso di ciascuno dei primi n
sinistri rispetto all’ammontare dell’ n-esimo (n è fissato
contrattualmente) mentre il premio da corrispondere al
riassicuratore dipende dall’ammontare del
risarcimento dell’ n-esimo sinistro
Nella realtà non è possibile conoscere quale sarà l’entità dell’nesimo sinistro, quindi si assume che quest’ultimo sia distribuito
come una distribuzione di Pareto.
Assumendo che:
𝑥0
𝐻𝑉 (x)= ( )
𝑥
𝛼
per 𝑥𝑜 ≤ 𝑥 ≤ + ∞
(𝛼 < 1)
Se l’n-esimo sinistro della graduatoria si realizzerà con un valore pari a
𝑋𝑛 allora l’eccesso medio di un sinistro di entità superiore a 𝑋𝑛 sarà uguale a:
𝑒𝑛 =
+∞
𝑥𝑛 𝐻𝑦
𝑥 𝑑𝑥
𝐻𝑦 (𝑥𝑛 )
=
𝑥𝑛
𝛼 −1
Pertanto il premio del riassicuratore per la copertura degli eccessi
dei primi n-1 sinistri sopra la priorità 𝑋𝑛 risulta uguale a:
𝑛 − 1 𝑒𝑛
Tale premio è funzione del parametro α e risente, quindi,
dell’inflazione. Affinché questa soluzione si mantenga valida a
fonte di fenomeni legati all’inflazione sarebbe necessario che non
risentisse del parametro α
 La riassicurazione può essere vista come una leva operativa anche per
diversificare opportunamente il portafoglio ottimizzando il rapporto rischiorendimento.
 Al fine di garantire l’equilibrio economico della gestione, un elemento che
deve contraddistinguere il portafoglio di una Compagnia è una sufficiente
omogeneità dei rischi, sia qualitativa sia quantitativa.
 Affinché la strategia riassicurativa risulti vincente, è necessario che il
riassicuratore affianchi le imprese di assicurazione nella determinazione
dell’ottimalità della ritenzione, che queste ultime valutino attraverso modelli
interni il rischio trasferito e determinino un prezzo equo di scambio.
 Infine, affinché sia garantita l’efficienza della strategia riassicurativa, è
richiesta l’ottimalità delle transazioni sul mercato, sia dal punto di vista del
riassicurato, che del riassicuratore.
Daboni L. – Lezioni di tecnica attuariale delle
assicurazioni contro i danni
De Ferra C. – L’assicurazione nozioni concetti basi
matematiche
Straub E. – Non life insurance mathematics
www.generali.com
www.swissre.com