Corso di
POPOLAZIONE TERRITORIO
E SOCIETA’ 1
AA 2013-2014
LEZIONE 8f
AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE
CORRELAZIONE relazione di concordanza nella variabilità
r Pearson <0 relazione negativa
>0 relazione positiva
r ® 0 relazione debole
r ®1
relazione forte
AUTO si riferisce ai valori di una stessa variabile
SPAZIALE implica un ordinamento
Misura del grado di concordanza della variabilità tra valori
“vicini” di una stessa variabile osservata su unità territoriali
z ( x + h) - z ( x ))
(
g ( h) = å
n(h)
()
n h
i=1
2
Semi-varianza
Descrive la variabilità di una variabile osservata su
un determinato insieme di dati spaziali
z(x)=valore della v.bile z in un dato “luogo” x
z(x+h) = valore della v.bile z in un “luogo” che dista h da x
n(h) = numero di coppie di valori la cui distanza è h
ORDINAMENTO
é
ê
Wij = ê
ê
ë
wij
ù
ú
ú
ú
û
Nella forma più semplice: 0 = non contigue; 1 = contigue
CONTIGUITA’
Se si tratta di punti
Una possibile strategia: poligoni di Thiessen
metodo che ad ogni dato puntuale associa un’area: lo spazio all’interno di
quell’area assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a
quello di qualsiasi altro punto
1) Triangoli di Delaunay
(vicino più vicino)
2) Rette perpendicolari
costruite sui baricentri
3) Punti d’incontro = vertici
dei poligoni
W
A
B
C
D
E
A
0
1
1
1
0
B
1
0
0
1
1
C
1
0
0
1
0
D
1
1
1
0
1
E
0
1
0
1
0
la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato
- attraverso la forma e la dimensione delle unità
- vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio
- esistenza di altri elementi di contatto
In generale,
wij > 0
esprimono l’intensità con cui la circostanza della contiguità
agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j
Operativamente,
wij > 0
indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune
ecc.
Nella forma più semplice
wij = 0,1
Il valore 1 indica che le aree sono contigue, cioè ad esempio
sono adiacenti
Il modello teorico
Nel mondo reale la contiguità è connessione. Ad esempio,
gij = Dij-a Bi(b j )
SI TRATTA SOLO DI IPOTESI
MISURA DELL’AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE
In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile
risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione
spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della
variabile; l’assenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione
casuale dei valori nello spazio.
ESEMPIO:
Variabile caratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R)
Contiguità possibili:
UU
UR
RU
RR
p(UU)=1/4
p(UR)=1/4
p(RU)=1/4
p(RR)=1/4
Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVA
Se f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA
Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono:
- una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e
- una matrice che rappresenti la configurazione del territorio considerato (Wij).
Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una
statistica cross-product.
G = ååWijCij
i
j
MATRICE DI
CONTIGUITA’
(connessione,
ponderazione spaziale)
MATRICE DI
DISTANZA
Esempio:
(
Cij = Vi -V j
Wij
)
2
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
9
36
1
16
49
4
25
64
0
b
9
0
9
4
1
16
1
4
25
0
0
c
36
9
0
25
4
1
16
1
4
1
0
0
d
1
4
25
0
9
36
1
16
49
1
0
1
0
e
16
1
4
9
0
9
4
1
16
1
0
0
0
1
f
49
16
1
36
9
0
25
4
1
1
0
0
0
1
0
g
4
1
16
1
4
25
0
9
36
0
0
1
0
1
0
1
h
25
4
1
16
1
4
9
0
9
0
0
0
1
0
1
0
i
64
25
4
49
16
1
36
9
0
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
1
0
1
0
0
0
0
0
b
1
0
1
0
1
0
0
0
c
0
1
0
0
0
1
0
d
1
0
0
0
1
0
e
0
1
0
1
0
f
0
0
1
0
g
0
0
0
h
0
0
i
0
0
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
9
36
1
16
49
4
25
64
0
b
9
0
9
4
1
16
1
4
25
0
0
c
36
9
0
25
4
1
16
1
4
1
0
0
d
1
4
25
0
9
36
1
16
49
1
0
1
0
e
16
1
4
9
0
9
4
1
16
1
0
0
0
1
f
49
16
1
36
9
0
25
4
1
1
0
0
0
1
0
g
4
1
16
1
4
25
0
9
36
0
0
1
0
1
0
1
h
25
4
1
16
1
4
9
0
9
0
0
0
1
0
1
0
i
64
25
4
49
16
1
36
9
0
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
1
0
1
0
0
0
0
0
b
1
0
1
0
1
0
0
0
c
0
1
0
0
0
1
0
d
1
0
0
0
1
0
e
0
1
0
1
0
f
0
0
1
0
g
0
0
0
h
0
0
i
0
0
CijWij
(cella x cella)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
9
0
1
0
0
0
0
0
b
9
0
9
0
1
0
0
0
0
c
0
9
0
0
0
1
0
0
0
d
1
0
0
0
9
0
1
0
0
e
0
1
0
9
0
9
0
1
0
f
0
0
1
0
9
0
0
0
1
g
0
0
0
1
0
0
0
9
0
h
0
0
0
0
1
0
9
0
9
i
0
0
0
0
0
1
0
9
0
Totale
10
19
10
11
20
11
10
19
10
120
G = ååWijCij
i
j
(
) (
2
G = V1 -V2 + V3 -V4
rG
f( r)
2
8
10
8
8
8
)
2
Il calcolo di G per l’osservazione (G =2) rientra nella
distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare
che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la
frequenza con cui compare è uguale a quella degli
altri valori
(
) (
) (
2
2
G* = V1 -V2 + V2 -V3 + V3 -V4
G*
r*
f(r*)
3
6
9
11
14
17
2
4
6
6
4
2
)
2
Il calcolo di G per l’osservazione (G =3) ha una bassa
probabilità di essere attribuita al caso
ESEMPIO
é a b ù é 9 6 ù
ê
ú ê
ú
ë c d û ë 8 5 û
(
Cij = Vi -V j
)
2
a b c d
a 0 1 1 0
Wij
b 1 0 0 1
c 1 0 0 1
d 0 1 1 0
P4 = 4!= 24
G
f (G )
40 8
44 8
76 8
a b c d
a b c d
Cij
a
0
9 1 16
b
9
0 4
1
c
1
4 0
9
d 16 1 9
0
G   WijCij
i
j
a
b
c
d
0
9
1
0
9
0
0
1
1
0
0
9
0
1
9
0
10
10
10
10
40
In generale non si conosce la forma della distribuzione di G.
Essa dipende dalla funzione di distanza utilizzata.
Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross
Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento
ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità
geografiche sulle quali viene misurata l’autocorrelazione spaziale risulti
abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST
z=
( )
Var ( G )
G-E G
Per la statistica cross product la media:
con:
( )
E G =
S0 G 0
(
)
n n -1
S0 = ååWij
La somma di tutti gli elementi della matrice di contiguità
G 0 = ååCij
La somma di tutti gli elementi della matrice di distanze
i
i
j¹i
j¹i
….e la varianza:
( )
Var G =
S1G1
(
)
2n n -1
S
(
+
2
)(
- 2S1 G 2 - 2G1
(
)(
4n n -1 n - 2
)
) + (S
2
0
)(
+ S1 - S2 G 02 + G1 - G 2
(
)(
)(
)
n n -1 n - 2 n - 3
) - { E (T )}
con:
(
S1 = åå Wij +W ji
i
j¹i
(
) =åå( 2W )
2
2
ij
i
)
j¹i
i
( )
1
G1 = åå Cij + C ji = 2 × åå Cij
2 i j¹i
i j¹i
2
(
S2 = å Wi. +W.i
(
G 2 = å Ci. + C.i
i
)
)
2
2
(
= å 2Wi.
i
(
= å 2Ci.
i
)
)
2
2
2
ESEMPIO:
v1
v5
v9
v13
v2
v6
v19
v14
v3
v7
v11
v15
v4
v8
v12
v16
2
3
7
7
3
2
6
8
2
2
8
9
5
6
4
5
Wij
v1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v2
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v3
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v4
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v5
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
v6
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
v7
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
v8
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
v9
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
48=S0
(
1
Cij =
Vi -V j
2 × S0
Cij
v1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
0
0
0
0,1
0
0
0
0,2
0,3
0,2
0,4
0
0,3
0,4
0,5
0,1
v2
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,2
0,1
0,3
0
0,2
0,3
0,4
0
v3
0
0
0
0,1
0
0
0
0,2
0,3
0,2
0,4
0
0,3
0,4
0,5
0,1
v4
0,1
0
0,1
0
0
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0
0
0,1
0,2
0
v5
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,2
0,1
0,3
0
0,2
0,3
0,4
0
v6
0
0
0
0,1
0
0
0
0,2
0,3
0,2
0,4
0
0,3
0,4
0,5
0,1
v7
0
0
0
0,1
0
0
0
0,2
0,3
0,2
0,4
0
0,3
0,4
0,5
0,1
v8
0,2
0,1
0,2
0
0,1
0,2
0,2
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0
v9
0,3
0,2
0,3
0
0,2
0,3
0,3
0
0
0
0
0,1
0
0
0
0
v10
0,2
0,1
0,2
0
0,1
0,2
0,2
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0
v11
0,4
0,3
0,4
0,1
0,3
0,4
0,4
0
0
0
0
0,2
0
0
0
0,1
v12
0
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0
0,2
0
0,1
0,2
0,3
0
v13
0,3
0,2
0,3
0
0,2
0,3
0,3
0
0
0
0
0,1
0
0
0
0
v14
0,4
0,3
0,4
0,1
0,3
0,4
0,4
0
0
0
0
0,2
0
0
0
0,1
v15
0,5
0,4
0,5
0,2
0,4
0,5
0,5
0,1
0
0,1
0
0,3
0
0
0
0,2
v16
0,1
0
0,1
0
0
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0
0
0,1
0,2
0
)
2
2,364583
1,552083
2,364583
0,927083
1,552083
2,364583
2,364583
1,114583
1,635417
1,114583
2,489583
1,072917
1,635417
2,489583
3,677083
0,927083
29,64583 =G
0
S0 = ååWij = 48
i
j¹i
G 0 = ååCij = 29,6458
i
S1 =
j¹i
Trattandosi di
valori 0,1
(
)
1
Wij +W ji
å
å
2 i j¹i
(
2
=
1
G1 = åå Cij + C ji
2 i j¹i
(
1
2Wij
å
å
2 i j¹i
)
2
)
2
= 2ååWij2 = 2ååWij = 2S0 = 96
(
1
= åå 2Cij
2 i j¹i
i
)
j¹i
2
i
= 2ååCij2 = 15,9510
i
j¹i
Poiché la matrice
è simmetrica
(
)
(
)
S2 = å Wi. +W.i
i
G 2 = å Ci. + C.i
i
2
(
= å 2Wi.
i
2
)
2
= 608
= 225,2153
j¹i
( )
E G =
S0 G 0
(
)
n n -1
( )
Var G =
=
S1G1
(
48× 29,6458
= 5,9292
16 ×15
)
2n n -1
S
(
+
2
0
+
(S
)(
)+
4n ( n -1) ( n - 2)
2
- 2S1 × G 2 - 2G1
)(
+ S1 - S2 × G 02 + G1 - G 2
(
)(
)(
Pertanto:
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
)
n n -1 n - 2 n - 3
v1
0,00
0,01
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v2
0,01
0,00
0,01
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v3
0,00
0,01
0,00
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v4
0,00
0,00
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
) - { E ( G)}
2
= 1,1877
Wij*Cij
v5
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v6
0,00
0,01
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,38
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v8
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
v9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
v10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,01
0,00
0,04
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
v11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,38
0,00
0,00
0,04
0,00
0,17
0,00
0,00
0,01
0,00
v12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
v13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
v14
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,01
0,00
0,01
0,00
v15
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,01
0,00
0,17
v16
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,17
0,00
0,02
0,03
0,10
0,10
0,19
0,19
0,54
0,22
0,18
0,26
0,59
0,22
0,01
0,06
0,19
0,18
3,08
z* =
3,08 - 5,9292
= -2,61439
1,1877
Applichiamo il test sulla Normale a due code:
l’ipotesi nulla
H0=non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo
casuale.
Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96,
il valore osservato è nella zona di rifiuto.
La variabile è affetta da autocorrelazione spaziale;
Osservando I dati, direi positiva.
STATISTICA JOIN-COUNT
Per variabili misurate su scala nominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO
n1 + n2 = n
n1 = B
n2 = W
P(B) =
n1
n
; P(W ) = 2
n
n
BB+WW+BW(WB)=J
ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE)
Numero complessivo possibili coppie =n2
Jn12
E(BB) = 2
n
E(BW ) =
2Jn1 n2
n2
Jn22
E(WW ) = 2
n
numero atteso di coppie di questo tipo
ESTRAZIONI NON INDIPENDENTI
Numero complessivo di possibili coppie
E(BB) = E(WW ) = J
E ( BW )  2 J
n1 n2
nn  1
( )
n ( n -1)
n1 n1 -1
n!
n1 !n 2 !
Ipotesi di Normalità
In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti
distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è
possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica
G = ååWijCij
i
j
Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W
I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW.
La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami
osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli
attesi.
G* = å åWijCij
i
Conta il numero di legami BB=G*/2
j
Cij = ViV j
ì
ï1 i - j = 1
Wij = í
ï
î0 altrimenti
G* = å åWijCij
(
i
j
)(
Cij = 1-Vi 1-V j
)
(definizione del modello rook)
Conta il numero di legami WW=G*/2
ì
ï1 i - j = 1
Wij = í
ï
î0 altrimenti
G = å åWijCij
i
(
j
Cij = Vi -V j
)
2
ì
ï1 i - j = 1
Wij = í
ï
î0 altrimenti
Conta il numero di legami BW = G/2
2
1 n1
E(BB) = S0 2
2 n
nn
E(BW ) = S0 1 2 2
n
2
1 n2 1
E(WW ) = S0 2 = S0 - E(BB) - E(BW )
2 n
2
2
æ
ö
æ n öù
1 n1 æ n1 öé æ n1 ö
Var(BB) = ç ÷ ç1- ÷ê S1 ç1- ÷ + S2 ç 1 ÷ú
4 è n ø è n øêë è n ø
è n øúû
æ n öæ n öæ
æ n öæ n ööù
1 é æ n1 öæ n1 ö
1
1
Var(BW ) = ê4S1 ç ÷ç1- ÷ + S2 ç ÷ç1- ÷çç1- 4 ç 1 ÷ç1- 1 ÷÷÷ú
4 êë è n øè n ø
è n øè n øè
è n øè n øøúû
S0 = åå wij
i
S1 =
j=i
(
1
wij + w ji
å
å
2 i j¹i
(
S2 = å wi. + w.i
i
)
2
)
2
E’ possibile applicare il test z
ESEMPIO
V1
V2
1
1
V3
V4
0
0
Si desidera verificare l’esistenza di autocorrelazione spaziale nei dati;
si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di
legami “discordi.
Se la frequenza osservata di legami “discordi” è superiore a quella
attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a
presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di
autocorrelazione spaziale negativa.
G = å åWijCij
i
(
j
Cij = Vi -V j
)
2
ì
ï1 i - j = 1
Wij = í
ï
î0 altrimenti
pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è G/2=2.
E(BW)=2*(2*2)/4=2
Il numero dei legami “discordi” (B,W) osservati è uguale a quello atteso
pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale
APPROCCIO GRAFICO
URBANO =ROSSO
RURALE=GIALLO
A
B
C
D
E
A
0
1
1
1
0
B
1
0
1
0
0
C
1
1
0
1
1
D
1
0
1
0
1
E
0
0
1
1
0
A
C
B
D
E
A
0
1
1
1
0
C
1
0
1
1
1
B
1
1
0
0
0
D
1
1
0
0
1
E
0
1
0
1
0
NODI
LEGAMI
0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUO
GIALLO = RURALE+RURALE
ROSSO=URBANO+URBANO
BIANCO=DISCORDI
Infatti, dalla matrice indicata, delle 14
celle in cui vi è connessione, si ricava:
UU = 2
RR = 2
UR = 5
RU = 5
Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque l’autocorrelazione è negativa,
cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.
INDICE DI MORAN
Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di
rapporto
L’indice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e
come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0
(assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)
n
n
I=
×
S0
n
åå w ( x - x ) ( x
ij
i
i=1 j=1
n
å( x - x )
i=1
G  Wij Cij
j
-x
)
S0 = ååWij
i
2
i
i
j
j
ESEMPIO
x = (9+ 6+ 3+8+5+ 2 + 7+ 4 +1) / 9 = 5
Wij
(
)(
Cij = Vi -V VJ -V
)
Wij Cij
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
0
4
0
12
0
0
0
0
0
b
4
0
-2
0
0
0
0
0
0
c
0
-2
0
0
0
6
0
0
0
d
12
0
0
0
0
0
6
0
0
e
0
0
0
0
0
0
0
0
0
f
0
0
6
0
0
0
0
0
12
g
0
0
0
6
0
0
0
-2
0
h
0
0
0
0
0
0
-2
0
4
i
0
0
0
0
0
12
0
4
0
n
Totale
16
2
I
n
n
n
W
i 1 j 1

 w x
i 1 j 1
ij
4
18
0
18
4
2
16
80
I=
n
9 80
×
= 0,5
24 60
ij
i
n
 x
i 1
i
 x x j  x 
 x
2
Significatività statistica dell’Indice di Moran
Si dimostra che l’Indice di Moran ha una distribuzione Normale con
()
EN I =
VarN
z=
-1
n -1
é
1
I =ê 2 2
n 2 S1 - nS2 + 3S02
ê S n -1
ë 0
()
(
( )
(I)
I - EN I
VarN
)
(
ù
ú- E I
N
ú
û
) { ( )}
2
ESEMPIO: riprendendo l’esempio precedente
()
EN I =
-1
-1
=
= -0,125
n -1 9 -1

1
VarN I    2 2
n 2 S1  nS 2  3S 02
 S0 n  1

1
 2 2
 9 2  48  9  272  3  24 2
 24 9  1



z

I  E N I 
VarN I 

0,5  (0,125)
0,053125
  E I 



2
  (0,125)  0,053

2
N

 2,7111
significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia
dovuto al caso).
In altri termini rigetto l’ipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione
spaziale.
ESEMPIO
n
I
n
n
n
W
i 1 j 1
(
)(
Cij = X i - X X J - X
)
X = 2,8
E N I  

 x x j  x 
n
 w x
i 1 j 1
ij
i
n
 x
ij
i 1
i
 x
5 15,52
I 
 0,58
8 16,8
2
1
1

 0,25
n 1 5 1
S 0   Wij  8
i
S1 
j
 W
i
 W ji 
2
ij

j
2
4
Wij 2  2S 0  16

2 i j
S 2   Wi.  W.i    2Wi.   4 Wi.   4  14  56
2
i
2
i

1
VarN I    2 2
5 2 16  5  56  3  8 2
8 5 1

z
I  EN I 
VarN I 

0,58  (0,25)
 2,206
0,141

2
i
   0,25
2

 0,141
Il valore è significatico al 95%.
Pertanto si deve rifiutare l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione
spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione
spaziale positiva tra i valori della variabile X