Autocorrelazione Spaziale
Misure:
I di Moran
C di Geary
Autocorrelazione Spaziale
Prima legge della geografia
• “ogni cosa è collegata a tutte le altre, ma
cose vicine sono più collegate che non
cose lontane”– Waldo Tobler
Autocorrelazione spaziale
• Correlazione di una variabile con sé stessa
nello spazio
– Se si può individuare qualche pattern caratteristico di
localizzazione di una variabil, allora c’è
AUTOCORRELAZIONE
– Se aree vicine sono più simili di quelle lontane allora
AUTOCORRELAZIONE POSITIVA
– Se aree vicine sono più diverse di quelle lontane
AUTOCORRELAZIONE NEGATIVA
– Se pattern casuali: CORRELAZIONE =0
Perché è importante
• Modelli della crescita
• Misura quanto il verificarsi di un certo
evento in un’area, modifica la probabilità
che lo stesso evento si verifichi in
un’area vicina
• Molte statistiche assumono dati
indipendenti, la presenza di
autocorrelazione spaziale viola questa
assunzione (esempio stime OLS)
Indice I di Moran
• Uno dei più “vecchi” (Moran, 1950).
Tuttavia ancora un riferimento usatissimo
per misurare l’autocorrelazione spaziale
• Richiede variabili quantitative
• Compara i valori di ciascuna area con
tutte le altre
I
N i  j Wi , j ( X i  X )( X j  X )
(i  j Wi , j )i ( X i  X ) 2
I
N i  j Wi , j ( X i  X )( X j  X )
(i  j Wi , j )i ( X i  X )
2
Dove N = numero delle aree
Xi = valore della variabile X nell’area i
Xj = valore della variabile X nell’area j
Wij = peso legato alla distanza i-j
I di Moran
• Per i pesi Wij due opzioni:
– Matrice di adiacenze: se l’area i confina con l’area j
 Wij =1, altrimenti Wij =0
– Matrice di vicinanza spaziale: Wij = (1/dij), inverso
della distanza i-j
• E simile al cofficiente di correlazione di
Pearson, varia tra –1.0 e + 1.0
Inferenza su I
• Si presta ad un test-t (o z) poiché è
possibile stimare la standard deviation
t
I
SE(I )
N 2 ij wij  3(ij wij ) 2  N i ( j wij ) 2
2
S E ( I )  SQRT [
( N  1)( ij wij )
2
2
]
Esempio 1
Reddito pro-capite (contea di Monroe)
Using Polygons:
Morans I: .66
P: < .001
Using Points:
I: .12
t: 65
Esempio 2
variabile casuale
Using Polygons:
Moran’s I: .012
p: .515
Using Points:
Moran’s I: .0091
t: 1.36
C di Geary
• Simile a I di Moran (Geary, 1954)
• L’interazione misurata non è il prodotto
degli scarti dalla media, ma le differenze
tra i valori delle x tra tutte le aree
C
[( N  1)[i  j Wij ( X i  X j ) 2 ]
2(i  j Wij ( X i  X ) 2
C
C di Geary
[( N  1)[i  j Wij ( X i  X j ) 2 ]
2(i  j Wij ( X i  X ) 2
• E’ compreso tra 0 e 2
• 1 indica assenza di correlazione, tra 0 e 1 indica
correlazione POSITIVA, tra 1 e 2 correlazione
NEGATIVA
• Inverso rispotto a I
• Non determina le stesse inferenze di I, poiché enfatizza le
differenze in valore tra aree, non la co-variabilità rispetto al
valore medio
• I di Moran è un indicatore puù stabile “globalmente”, C è molto
più sensibile alle differenze in piccoli intorni di aree