Corso di Chimica Fisica II
2011
Prof. Marina Brustolon
5. La particella libera. I postulati della MQ.
La sovrapposizione di stati.
L’equazione di Schrödinger per la
particella libera
Si abbia una particella (per es. un elettrone) che si muove
in assenza di potenziale. L’equazione è allora:
 2 d 2 ( x)

 E ( x)
2
2m dx
Una funzione che soddisfa questa equazione è:
1/ 2
 ( x)  eikx  cos kx  i sin kx
 2mE 
k  2 
  
come si può facilmente verificare:
 2 d 2 e ikx  2 k 2 ikx


e
2
2m dx
2m
 2 d 2 ( x)

 E ( x)
2
2m dx
 2 d 2 e ikx  2 k 2 ikx


e
2
2m dx
2m
Operatore
Hamiltoniano
Funzione
L’operatore hamiltoniano agisce sulla
funzione solo moltiplicandola per una
costante: questo significa che l’energia
in quello stato è costante, e ha proprio
il valore:
 2k 2
E
2m
Funzione
(inalterata)
Valore
costante
La funzione si dice
autofunzione
dell’Hamiltoniano, e il valore
dell’energia, autovalore
La funzione e
rappresenta quindi uno stato che ha
energia totale ( e solo cinetica)
 2k 2
E
2m
Ma questa funzione non è l’unica a rappresentare uno
stato con questa energia: tutte le funzioni che hanno la
forma
ikx
 ikx
ikx
 ( x)  Ae  Be
sono autofunzioni dell’Hamiltoniano con la stessa energia.
A e B sono due numeri, che possono anche essere
complessi.
Consideriamo la funzione con i valori di A e B :
1
A
2i
1
B
2i
eikx e ikx
 ( x) 

2i
2i
Usiamo le formule di Eulero:
e ix  cos x  i sin x
e ix  cos x  i sin x
eikx  e ikx
 ( x) 
 sin kx
2i
e ix  e ix
cos x 
2
e ix  e ix
sin x 
2i
Questa funzione abbiamo visto che descrive un’onda stazionaria:
 ( x)  sin( 2
x

)
Quindi:
k 
2

Ricordando che:
 2k 2
E
2m
 2k 2
p2
e che d’altronde l’energia totale è solo cinetica, si ha: E 

2m
2m
Si ha quindi
 2k 2  p 2
Abbiamo visto d’altronde che
k
2
k si chiama “vettore d’onda”

e possiamo allora ricavare una relazione tra p e 
 2

 

 p

h
2
 2

 

 p

h

p
Relazione di de
Broglie!
Abbiamo ritrovato la relazione di de Broglie considerando l’elettrone in
moto libero sia come onda che come particella: come onda, trovandone la
funzione d’onda che è soluzione dell’equazione di S. , come particella,
considerando che la sua energia cinetica deve essere data dal quadrato del
momento lineare diviso due volte la massa.
E se c’è un potenziale non nullo?
 2 d 2 ( x)

 V ( x)  E ( x)
2
2m dx
Ora quindi si ha:
 2k 2
E V 
2m
 2m( E  V ) 
k 

2



1/ 2
k
2

e quindi :

h
(2m( E  V ))1/ 2
Ritroviamo
anche qui la
relazione di
de Broglie
Quindi, se una particella attraversa una zona nella quale il potenziale
aumenta, la sua lunghezza d’onda diventa sempre più grande.
Impariamo a guardare la forma delle funzioni
d’onda: l’energia cinetica corrisponde alla
curvatura!
 2 d 2 ( x)

 V ( x)  E ( x)
2
2m dx
Energia cinetica, ma anche
flesso della funzione
Più rapido del signor Bianco Coniglio, più imprevedibile
delle collere della Regina di Cuori, più elusivo del sorriso
del Gatto del Cheshire è il mondo dei quanti che la
fisica del Novecento ha rivelato a ricercatori che
confessavano di "non credere ai propri occhi", cioè a
quello che con formule ed esperimenti stavano
dimostrando. In questo libro, ricalcando le orme del
grande Carroll, Robert Gilmore, docente di Fisica
all'Università di Bristol, ci presenta una moderna Alice
anch'essa sospesa tra piccolo e grande, capace di
guidarci con straordinaria abilità nel paese delle
meraviglie della fisica dei quanti
Mr. Tompkins è il famoso impiegato di banca inglese
che è appassionato di fisica moderna e che nei suoi
sogni si ritrova a vivere divertenti avventure nel
bizzarro mondo della meccanica quantistica e della
relatività generale. Le sue palle da bigliardo si
comportano come particelle libere quantistiche,
perché nel suo mondo la costante di Planck è circa
eguale a 1…
I postulati della Meccanica
Quantistica
• E’ venuto il momento di raccogliere in modo
sistematico i postulati sui quali si basa la Meccanica
Quantistica. Alcuni li abbiamo già incontrati.
• Essendo dei postulati, non possono essere dimostrati:
la loro validità permane finché non ci sarà un risultato
sperimentale che darà dei risultati in contrasto con
quelli previsti dalla teoria.
• Finora tutti i risultati ottenuti in innumerevoli
esperimenti sono stati trovati in accordo con la teoria
quantistica. Cosa possa riservare il futuro non lo
sappiamo…
I postulati della Meccanica
Quantistica
1. Lo stato di un sistema è completamente
descritto da una funzione (d’onda)
 (r1 , r2 ,..., t )
r1, r2, ecc. sono le coordinate delle particelle che
appartengono al sistema, e t è il tempo.
Le funzioni d’onda che descrivono un oggetto fisico hanno delle
caratteristiche particolari, che sono mostrate nella prossima
diapositiva. Quindi, quando si ottengono le funzioni d’onda
risolvendo l’eq. di Schroedinger, si deve controllare che le funzioni
ottenute abbiano una forma adatta, ed escludere quelle che non
vanno bene (coem vedremo in seguito).
Non tutte le funzioni possono descrivere uno stato
fisico reale!
Qui sono esemplificate graficamente funzioni
che non possono rappresentare stati fisici.
La funzione è
discontinua
La sua pendenza è
discontinua
Non è a valore
singolo
E’ infinita in una
regione finita
2. Gli osservabili sono rappresentati da operatori
Una possibile scelta è:
pˆ x 
 d
i dx
xˆ  x
Nota: Due operatori agiscono su una funzione nell’ordine nel quale
sono scritti: supponiamo di avere due operatori Aˆ , Bˆ
ˆˆ
Facciamoli agire su una funzione  : AB   '
Questa espressione significa: facciamo agire l’operatore B̂ sulla
funzione, e su quello che otteniamo facciamo agire  .
ˆ    ' ' significa invece che facciamo agire
L’espressione : Bˆ A
prima  e poi B̂ .
ˆ Bˆ   Bˆ Aˆ 
Si dice che i due operatori commutano quando A
ˆ , Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ si chiama commutatore ; i due
L’operatore [ A
operatori commutano quando il loro commutatore agendo su una
funzione dà zero.
Evidentemente i due operatori
p̂ x
e
x̂
non commutano.
Esercizio
• Qual è il commutatore degli operatori p̂ x e
x̂ ?
Il commutatore è l’operatore ( pˆ x xˆ  xˆ pˆ x )
 d
i dx
 d
pˆ x 
i dx
pˆ x 
xˆ  x
xˆ  x
 d
xˆ pˆ x  x
i dx
pˆ x xˆ  
 d ( x )   d

 x
 
i dx
i  dx

  d
 d 

( pˆ x xˆ  xˆ pˆ x )   x
   x
 
i  dx
i dx
i

Il commutatore è

  i
i
3. Quando un sistema è descritto da una funzione d’onda
, il valore medio di un osservabile O ottenuto in una
serie di misure è dato dal valore
O 
ˆ d

*
O

Operatore
associato ad O
 *d
detto “valore di attesa” o “valore di aspettazione”
(expectation value)
L’integrale
 *d
In questo caso:
è eguale a 1 se la funzione è normalizzata.
O   * Oˆ d
Se l’osservabile O ha un valore costante O1 nello stato
descritto dalla funzione d’onda , qualunque misura
dell’osservabile O darà sempre O1, e  è in questo caso
autofunzione dell’operatore Ô con autovalore O1:
Oˆ   O1
Se la funzione  non è autofunzione di Ô , possiamo
scriverla come combinazione lineare di autofunzioni
dell’operatore:
   cn n
dove
Oˆ  n  On n
n
Ogni misura darà allora uno degli autovalori On . La
probabilità di trovare uno dei valori di On (per
esempio Ok ) è eguale a ck2 .
Il valore di attesa per la
grandezza O è in questo caso:
O   cn2On
n
4. La probabilità che una particella descritta
dalla funzione d’onda  si trovi nell’elemento
di volume d centrato in r è:
 (r ) (r ) d

La funzione d’onda può essere reale o contenere parti
complesse. Per questo motivo, quando si vuole indicare
in generale il quadrato della funzione d’onda, si usa la
forma *, dove l’asterisco indica la complessa
coniugata (tutte le parti immaginarie con i cambiato di
segno).
d
d = dx dy dz
d = r2 sin drdd
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
è l’elemento di volume
Se il moto della particella è
descritto nelle tre dimensioni
da (xyz), la probabilità che la
particella si trovi in un punto r
con coordinate xyz è
(xyz)*(xyz) d.
Se la funzione d’onda è in
coordinate sferiche (r,,),
la probabilità che la particella
si trovi in un punto r è *
r2 sin  dr d d .
z  rcos
La funzione d’onda e la probabilità
Supponiamo sempre di lavorare con funzioni
d’onda normalizzate, cioè per le quali valga :
 *d  1
dove l’integrale è esteso a tutto il campo di
definizione della funzione d’onda, e rappresenta
quindi la probabilità totale di trovare la
particella nell’universo.
Questa probabilità deve essere = 1 .
Normalizzazione delle funzioni d’onda
Se (xyz)*(xyz) d è la probabilità di trovare la
particella nell’elemento di volume, l’integrale di questa
probabilità su tutto lo spazio deve dare la certezza
della presenza della particella, quindi deve essere:
 * d  1
Quando il suo integrale su tutto lo spazio in cui è
definita è uguale a 1, la funzione si dice normalizzata.
Se  è una soluzione dell’equazione di Schrodinger, lo è
anche N . La funzione in questo caso va normalizzata:
1/ 2
N 2  * d  1


1


N 


*
d





costante di
normalizzazione
Estraiamo informazioni dalla funzione d’onda:
il momento lineare
Particella libera
 2 d 2 ( x)

 E ( x)
2
2m dx
 ( x)  eikx  cos kx  i sin kx
Una soluzione dell’equazione
Equazione di Schrödinger
k
2

Per trovare il momento lineare della particella possiamo
applicare l’operatore momento sulla funzione d’onda:
 d
ˆp x 
i dx
 d  deikx
pˆ x ( x) 

i dx i dx
 deikx  ikx
 ike  k eikx
i dx
i
La funzione è autofunzione
dell’operatore momento
Quindi quando il moto della particella
è descritto dalla funzione eikx il
momento lineare della particella è
costante e eguale a
p  k
Un’altra funzione d’onda con la stessa energia
cinetica ma diverso momento lineare
 2 d 2 ( x)

 E ( x)
2
2m dx
Equazione di Schrödinger
 ( x)  e ikx  cos kx  i sin kx
Un’altra soluzione dell’equazione
Quale sarà il momento lineare in questo caso?
 d  de ikx
pˆ x ( x) 

i dx i dx
 de ikx
 ikx
  ike  k e ikx
i dx
i
Quindi quando il moto della particella
Anche questa funzione è
autofunzione
dell’operatore momento
è descritto dalla funzione e-ikx il
momento lineare della particella è
p  k
Le due funzioni rappresentano due moti con
momento lineare costante.
Il modulo del momento è lo stesso per le due funzioni,
ma il segno è diverso. Quindi una rappresenta un moto
verso x, l’altra verso –x.
e
ikx
p  k
x
p  k
e
 ikx
Sappiamo che la soluzione generale per la particella libera può
essere scritta come:
 ( x)  Aeikx  Be ikx
dove A e B sono due costanti.
ikx
ikx

(
x
)

e

e
Prendiamo adesso in considerazione la funzione
 ( x)  eikx  e ikx  2 cos kx
e  cos x  i sin x
Quindi
e ix  cos x  i sin x
Qual è il momento lineare per questo stato?
ix
e ix  e ix
cos x 
2
e ix  e ix
sin x 
2i
pˆ x ( x) 
 d  d (2 cos kx)
2k


sin x
i dx
i
dx
i
L’operatore agendo sulla funziona la modifica (non dà
la stessa funzione moltiplicata per una costante).
Quindi questa funzione non è autofunzione del momento!
Cosa troviamo allora quando misuriamo p nello
ikx
 ikx
stato  ( x)  e  e
 2 cos kx?
Potremo trovare
p  k
con la stessa
probabilità!
p  k
In altri termini, facendo molte misure troveremo il 50%
delle volte p  k e il 50% delle volte p  k .
Quando una funzione non è un’autofunzione di un operatore,
la grandezza fisica che corrisponde all’operatore non è
definita, ma si definisce quando la andiamo a misurare!
La funzione eikx + e-ikx si dice che è una sovrapposizione
lineare di due autostati dell’operatore momento. Ogni
misura darà uno dei due autovalori, a caso.
Per una funzione
p  k
A2
A2  B 2
 ( x)  Aeikx  Beikx troveremmo:
p  k
con probabilità
con probabilità
B2
A2  B 2
Se la funzione è
normalizzata
A 2 + B 2= 1
La sovrapposizione (o coerenza) degli stati
 ( x)  e  e
ikx
 ikx
Questo è uno stato in cui il momento
lineare è indeterminato.
Diciamo che è una sovrapposizione
degli stati con p  k e con p  k
Ma quando misuriamo il momento, troviamo
p  k
o
p  k
e la nostra misura determina lo stato.
La funzione d’onda dopo la misura è ora rispettivamente :
 ( x)  e
ikx
o
 ( x)  e
 ikx
Ricordate l’esperimento delle due fenditure?? La funzione d’onda
dell’elettrone era la sovrapposizione di due onde, finché noi determinavamo da
che fenditura passava, riducendo ad una sola onda.
“Credo che il secondo passaggio vada precisato meglio”
La “misura” di una proprietà distrugge la
coerenza degli stati.
La misura consiste in una perturbazione inviata
sul sistema per misurarne una proprietà.
Perché uno stato di coerenza si mantenga bisogna allora
che il sistema resti isolato dalle perturbazioni esterne.
In un sistema macroscopico le interazioni tra le particelle
sono sempre presenti, e le perturbazioni non permettono
la persistenza di stati sovrapposti (o coerenti).
Questo spiega il paradosso del “gatto di Schroedinger”.
Stato = Gatto vivo + Gatto morto
Atomo
radioattivo
L’atomo radioattivo ha il 50% di probabilità di decadimento. Se decade, la fiala
di cianuro si rompe e il gatto sarà ucciso. Se non decade, la fiala non si rompe
e il gatto resta vivo. Finché non lo osserviamo, il gatto è in uno stato di
sovrapposizione gattovivo + gattomorto….
Sovrapposizione o “entanglement”
• La sovrapposizione degli stati quantistici, detta “entanglement”
in inglese, è alla base degli studi sui “computer quantici”
(Quantum computing).
• Si stanno studiando dei computer nei quali le “porte logiche”
siano costituite da pochi atomi. Per gli atomi valgono le leggi della
MQ.
• Supponiamo di essere in grado di creare uno stato quantico che
sia “sovrapposto” da due stati con valore diverso di una proprietà
fisica, come nell’esempio del momento lineare della particella
libera.
• I due stati potrebbero essere per esempio i due stati di uno
spin, o due stati dell’atomo di H, o altro.
Possiamo comunque usare l’esempio che abbiamo fatto per le funzioni
della particella. Abbiamo visto che se la particella è nello stato
 ( x)  Aeikx  Be ikx
A2
la misura di p darà il valore p  k con probabilità
A2  B 2
2
B
e il valore p  k con probabilità
A2  B 2
I computers classici che tutti conosciamo utilizzano come unita' di
informazione di base il cosiddetto bit. Da un punto di vista fisico il bit e' un
sistema a 2 stati: puo' infatti essere indotto in uno dei due stati distinti
rappresentanti 2 valori logici - no o si', falso o vero, o semplicemente 0 o 1. Ma
se i due stati sono stati quantistici, il bit (detto qubit) puo' anche esistere in
una loro sovrapposizione coerente. E’ quindi evidente che può contenere più
informazioni del classico bit, nell’esempio le coppie di numeri A e B.
Se misurassimo l'informazione quantistica direttamente distruggeremmo lo
stato coerente. Ma è possibile misurare il contenuto dello stato applicandovi
un’operazione che diffonde l’informazione ad altri stati, recuperando
l'informazione senza distruggere lo stato.
“Siamo proprio sicuri che si
tratti di un gatto ipotetico?”