Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Sincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci
La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano
in pacchetti (bunch). Questo è vero anche in un acceleratore circolare
In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la
particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma
comunque molto vicina a FS ) delle oscillazioni di sincrotrone o
oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia), così come in
un acceleratore lineare.
Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a
quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in
genere minore) alla frequenza di rivoluzione.
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Sincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci
Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione
dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve
passare nella RF quando questa ha una fase FS<p/2 per
un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con
quadrupoli) quando la particella accelerata è non
relativistica ( g ~1 ), mentre per g più elevato deve essere
p/2<FS<p.
Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che
cambia per g più elevato  devo spegnere la RF  si
spacchetta il fascio  posso perdere il fascio.
Ricorda: in un LINAC la fase FS<p/2 sempre (cioè indipendentemente dell’energia
della particella)
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Sincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci
La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:
Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.
Differenziando ln(w) otteniamo:
Ricorda p=gbc
Dove ap è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come ap=(dL/L)/(dp/p)
L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:
Si osserva che htr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=gtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni
all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.
È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.
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Sincrotroni: oscillazioni di sincrotrone
Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata
con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:
Energia totale U = Us+dU
Impulso p = ps+dp
Frequenza angolare w = ws+dw
Periodo di rivoluzione t = ts+dt
( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo
scrivere:
wrf = hws
Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un
giro della particella sincrona. Se indichiamo con fs la fase del voltaggio della RF quando la particella
sincrona arriva alla cavità RF e con f quella della particella generica avremo:
= df = f – fs
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Sincrotroni: oscillazioni di sincrotrone
Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi
quando la particella attraversa la cavità a RF):
DU = qV sinf
DUs = qV sinfs
Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU)n=U-Us alla
fine del giro n sarà:
(dU)n+1=(U+DU)-(Us+D Us)
Dopo un giro avremo che dU cambia di
D(dU)=DU- DUs=qV(sinf-sinfs)
Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:
Che diventa definendo W=-dU/wrf=-(U-Us)/wrf
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Sincrotroni: oscillazioni di sincrotrone
Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:
D(d/dt)ts=wrfdt
Dove dt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.
Dopo un giro dt cambia di:
D(dt)=t-ts=dt=-htrt(dp/p)

Dove
Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d2/dt2 otteniamo per le
oscillazioni di fase della particella generica:
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Sincrotroni: oscillazioni di sincrotrone
Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:
ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:
Ws è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.
Osserviamo che htrcosfs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e
per assicurare la stabilità di fase.
Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che
Ws/ws<<1.(meno di un’oscillazione per giro).
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Sincrotroni: oscillazioni di betatrone
Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare
con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di
quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che
funzionano quali lenti convergenti (divergenti).
 Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di
betatrone
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Sincrotroni: oscillazioni di betatrone
Oscillazioni di btrone.
Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.
P1
P2
P2
P1
s
Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e
verticale in direzione).
P1 dista da P2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa
per giro. (numero di oscillazioni = nx=Q=1).
Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà
una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m  tubo a vuoto
enorme ed apertura del magnete enorme.
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Sincrotroni: oscillazioni di betatrone
Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.
 Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)
Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione
trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di
riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio
attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Oscillazioni di betatrone
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Sincrotroni: oscillazioni di betatrone
Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le
oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di
sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc 100000 Tbtrone (radiali) ).
Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da
quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).
Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza >
di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la
dispersione in impulso.
 Tubo a vuoto ellittico
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Oscillazioni e stabilità del fascio
Consideriamo il sistema di coordinate:
y
x
s
y’=dy/ds
x’=dx/ds
Si puo’ mostrare che:
Discorso del tutto analogo per le x.
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Oscillazioni e stabilità del fascio
L’equazione:
è l’equazione di un’ ellisse di area pR2=pss’ con s e s’ = semiassi
dell’ellisse.
L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare
di s, in quanto a, b, g dipendono da s.
b (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e
b=s/s’
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Oscillazioni e stabilità del fascio
b=s/s’

In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero
focalizzare nel punto d’interazione.
bI.P.=0.5 m
<b>arc=80 m
LHC
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Emittanza ed accettanza
Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del
fascio sono contenuti in pR0 (area ellisse), pR0 è per definizione
l’emittanza del fascio.
Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.
Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso
delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano
trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente
(ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:
R( s) R( s)
cost =
=
p
bgm
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Emittanza ed accettanza
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Emittanza ed accettanza
Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)
y’
y’B
B
yB
y
L’inviluppo delle traiettorie delle
particelle del fascio non è altro
che l’ascissa del punto B (quello
con la y maggiore) in funzione di
s
 Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia
del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il
fascio di accettanza nota.
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Emittanza ed accettanza
Accettanza.
L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla
camera a vuoto all’iniezione.
Accettanze ed emittanze si esprimono in p (mmxmrad)
Accettanza tipica di un sincrotrone è:
~ 30 p (mmxmrad)
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Radiazione di sincrotrone
Una particella accelerata irraggia.
La radiazione di sincrotrone è importane in maniera particolare
negli anelli di collisione.
Se gli anelli di collisione sono costruiti per generare luce di
sincrotrone questo è un vantaggio.
Se invece sono costruiti per mantenere i fasci a lungo (ricerca di
fisica subnucleare) è un male e bisogna rifornire energia alle
particelle accelerate e circolanti negli anelli (in maniera
particolare se sono elettroni) .
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Radiazione di sincrotrone
Una particella accelerata irraggia.
Se la particella carica è accelerata, ma osservata in un sistema di
riferimento dove la sua velocità è piccola se paragonata a quella della
luce, il campo delle accelerazioni è (nel sistema di riferimento
dell’osservatore):
E = campo elettrico
R =distanza caricaosservatore
n = versore caricaosservatore
b = velocità della particella
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Radiazione di sincrotrone
Il flusso di energia istantanea è dato dal vettore di Poynting:
La potenza irraggiata per angolo solido unitario è (formula di Larmor):
dv/dt
q
n
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Radiazione di sincrotrone
La potenza totale istantanea si ottiene integrando su tutto
l’angolo solido:
Formula di Larmor
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Radiazione di sincrotrone
La formula di Larmor può essere generalizzata al caso relativistico
osservando che la potenza irraggiata è un invariante di Lorentz e
facendo una trasformazione di Lorentz a dp/dt 
Formula di Lienard
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Radiazione di sincrotrone
La generalizzazione invariante per Lorentz della formula di Larmor è :
2 e 2  dp dp  

 con dt elemento di tempo proprio dt e p  vettore quadrimpul so.
P=
2 3 
g
3 m c  dt dt 


2

dp dp   dp  2 1  dE  2  dp  2

2  dp 
2

=   
 =    b   ricordando che E = gmc e p = gb mc 
dt dt  dt  c 2  dt   dt 
 dt 
 2
 2

2





2 e 6  db
db   




formula di Lienard P =
g    b   
3 c  dt  
dt   



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Radiazione di sincrotrone
•Caso di accelerazione lineare
In questo caso abbiamo a che fare con acceleratori lineari dove l’accelerazione è dovuta
esclusivamente alle RF.
Abbiamo :
La velocità di cambiamento dell’impulso è uguale al cambiamento in energia della
particella per unità di distanza 
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Radiazione di sincrotrone
Siccome la velocità di cambiamento di p è uguale al guadagno di energia per unità di
distanza (dW/ds), si ha che il rapporto fra la potenza irraggiata e la potenza fornita dalla
RF (sorgente esterna) è:
Dove v=c, la forza acceleratrice F=dW/ds e r0 è il raggio classico dell’elettrone.
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Radiazione di sincrotrone
• La potenza irraggiata dipende solo dalle forze esterne (RF) e non
dall’energia della particella.
• A meno che la velocità di guadagno di energia sia paragonabile alla
massa dell’elettrone (0.511 MeV) in una distanza dell’ordine del
raggio dell’elettrone (2.8x10-13 cm), la perdita di energia è
trascurabile (idem se abbiamo a che fare con particelle più pesanti,
come il protone).
• Quale esempio consideriamo un gradiente di accelerazione di 100
MeV/m che fa irraggiare ~1.1 KeV/s ad un elettrone  se
consideriamo un acceleratore da 1 TeV, lungo 10 km si ha P ≤ 0.04
eV.
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Radiazione di sincrotrone
Caso di accelerazione centripeta.
Il discorso cambia drasticamente nel caso di acceleratori circolari. In tali
macchine l’impulso p cambia rapidamente in direzione mentre la particella
ruota, ma il cambiamento di p durante una rivoluzione, dovuto alla RF, è
piccolo. (possiamo trascurare il termine (db/dt)2) 
Dove r è il raggio di curvatura.
La potenza irraggiata è sempre molto piccola ( 7W in LEP(200)), ma la perdita
di energia per giro è tutt’altro che trascurabile.
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Radiazione di sincrotrone
Per b~1 la perdita di energia per giro va come g4


Poca nel caso di acceleratori per protoni, considerevole in acceleratori
di elettroni (al di sopra di una certa energia).
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Radiazione di sincrotrone
• e+e-
(utilizzati per la fisica subnucleare)
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Radiazione di sincrotrone
• pp (utilizzati per la fisica subnucleare)
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Radiazione di sincrotrone
Acceleratori circolari per elettroni (utilizzati per la fisica subnucleare)
Bisogna inserire molte RF per mantenere l’energia al valore nominale (la radiazione di
sincrotrone va come g4)  Fattore limitante per la costruzione di acceleratori circolari per
elettroni (LEP 100+100 aveva 128 RF superconduttrici).
Sistema a vuoto.
I fotoni che urtano la pipe producono fotoelettroni che a loro volta strappano molecole di
gas dalle superfici. (H2, CO, CO2, CH4) sale la pressione del gas residuo  la vita
media del fascio diminuisce  per pulire le pareti molte pompe a vuoto in funzione.
Radiation shielding (schermi)
Quando l’energia critica dei fotoni emessi e’ alta i fotoni escono dal tubo a vuoto (Al o Fe)
e causano danni da radiazione agli avvolgimenti dei magneti, all’elettronica, producono
ozono e acido nitrico  si corrode il tubo a vuoto
 Hera usa un tubo a vuoto di rame-bronzo.
 LEP scherma il tubo a vuoto con 3-6 mm di Pb.
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Radiazione di sincrotrone
Acceleratori circolari per protoni
In pratica nessun limite alla max energia, ma non bisogna trascurare la
potenza emessa. Ad LHC è 9 KW.
In LHC si usano magneti superconduttori (a freddo). La potenza della
radiazione emessa deve essere assorbita a temperature criogeniche e
riscalda il sistema criogenico di raffreddamento dei magneti. Per evitare
questo problema si usano schermi a temperatura più alta di quella
criogenica e si assorbe in maniera più efficiente la radiazione.
Inoltre l’energia critica è 63 eV  degassamento  pompe a vuoto
ovunque.
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Radiazione di sincrotrone
Al giorno d’oggi la maggioranza dei Sincrotroni per elettroni sono utilizzati
per produrre luce di sincrotrone.
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circa 40 beam lines intorno all’anello
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
La radiazione è emessa in un ampio spettro fino ad una frequenza critica:
ed un angolo critico:
ed un’ energia critica:
Per frequenze molto maggiori della frequenza critica ed angoli molto maggiori dell’angolo
critico la radiazione di sincrotrone è trascurabile.
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
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Radiazione di sincrotrone
Utilizzando un ondulatore si
amplifica la radiazione di sincrotrone
tramite un’interferenza positiva.
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Raffreddamento dei fasci
Ad un’energia cinetica è sempre associata una temperatura mediante
la relazione:
La velocità <v2> indica la varianza della velocità di un singolo ione
rispetto alla velocità media di tutti gli ioni. Quindi la temperatura di un
fascio è da intendersi come una misura del disordine, ovvero della
dispersione in energia del fascio. Siccome spesso il fascio non è
isotropo è opportuno definire una temperatura longitudinale T// ed una
trasversale T┴. In pratica, per misurare la temperature T// e T┴ del
fascio, si utilizzano l’emittanza trasversa ed il Dp/p longitudinale.
Raffreddare un fascio vuol dire ridurre la sua temperatura ovvero
ridurre la dispersione in energia e le dimensioni trasverse del fascio.
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Raffreddamento dei fasci
Si raffreddano i fasci per molti scopi:
• Accumulo di particelle stabili, ma rare (e.g. antiprotoni)
• Ridurre il Dp/p (fasci monocromatici e collimati)
• Mantenere la qualità del fascio (aumento della vita media)
• Aumentare il rate di interazioni e la risoluzione
• Produzione di ioni pesanti
La temperatura finale del fascio è il risultato dell’equilibrio fra il processo di
raffreddamento ed i vari processi di riscaldamento e dipende fortemente dal
metodo di raffreddamento usato.
I principali metodi di raffreddamento utilizzati sono:
 Raffreddamento a radiazione di sincrotrone
 Raffreddamento stocastico
 Raffreddamento con elettroni
 Raffreddamento tramite laser
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Teorema di Liouville
Enunciato:
In un fluido continuo sotto l’influenza di forze conservative la densità
dello spazio delle fasi è costante.
Ad esempio se il letto di un fiume si restringe l’acqua va più veloce (se
consideriamo come spazio delle fasi la dimensione trasversa del fiume
e la velocità)
Nel campo della fisica degli acceleratori il teorema di Liouville può
essere così enunciato:
La densità di particelle nello spazio delle fasi è costante purché le
particelle si muovano in un campo magnetico esterno o in un campo in
cui le forze non dipendono dalla velocità (forze conservative).
Questo teorema sembra dimostrare che, dato un fascio di particelle,
non c’ è alcun modo di aumentare la densità di particelle del fascio.
La realtà non è così tragica e ci sono molti modi per aggirare il teorema
di Liouville.
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Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di Particelle
Forze dissipative
Questo metodo, valido unicamente per acceleratori circolari di elettroni
(positroni), usa la radiazione di sincrotrone (forza dissipativa per cui non vale
Liouville).
i. Effetto della radiazione di sincrotrone sull’energia.
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
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Forze dissipative
Dalla A2=z2+ (bz’)2 ne consegue che il cambiamento dell’ampiezza delle
oscillazioni è:
AdA=b2z’dz’=-b2z’2(dE/E)
Mediando su tutte le possibili fasi delle oscillazioni di betatrone nel tempo in cui
l’elettrone passa nella cavità a RF si ha:
(<dA>/A)= -½(dE/E)
Poiché il guadagno di energia è piccolo (se paragonato all’energia
dell’elettrone) possiamo mediare su un giro:
DA/A=-U0/2E
(U0= guadagno di energia/giro)
Il moto diventa smorzato esponenzialmente e l’ampiezza delle oscillazioni si
riduce.
Lo stesso avviene anche nel piano radiale (anche se la trattazione è più
complessa).
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Fasci di H-
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Fasci di eUn altro sistema di raffreddamento è tramite e-. Si usa un fascio di elettroni
freddo, cioè denso e monocromatico. Questo fascio viene iniettato in una zona
diritta (senza magneti) dove circola un fascio caldo di protoni (antiprotoni) con
la stessa velocità media degli elettroni.
Il fascio caldo di p interagisce con il fascio freddo di e- (forza di Coulomb) e si
raffredda. Lo spazio delle fasi totale (p+e-) si conserva, ma il fascio di p
aumenta di densità. Alla fine della zona diritta un magnete deflettore separa i p
dagli e-.
Da un punto di vista termodinamico è equivalente a passare calore da una
sorgente calda ad una fredda.
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Raffreddamento stocastico
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Raffreddamento stocastico
Il raffreddamento stocastico a prima vista viola Liouville. Per questo
motivo pur essendo stato scoperto da Van der Meer nel 1969, fu
applicato per la prima volta 10 anni dopo (SPS Collider).
Il trucco consiste nel fatto che il volume quantistico di una particella è
molto più piccolo del volume medio occupato da una particella in un
fascio. Con un fascio con alcune particelle qua e là i “buchi” fra le
particelle possono essere riaggiustati in modo da mettere lo spazio
vuoto alla periferia del fascio. Se le particelle sono molte il pick up ed il
kicker devono funzionare sempre più velocemente.
Quando il kicker lavora sempre più veloce serve più potenza per farlo
funzionare, si dissipa più energia nel fascio, il fascio tende a riscaldarsi
di nuovo.
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