Liceo Scientifico “E. Fermi”
Aversa (CE)
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Indice degli argomento trattati a scuola
negli incontri del laboratorio
Concetto di misura.
 Misura dell'area di una superficie
rettangolare A usando come unità di
misura vari oggetti.
 Cambiamento
di unità fattore di
conversione
 Analisi dati.
 Errori di misura.

Col metodo della conta dei campioni di
misura ,ricavare le formule per il calcolo
dell’area delle seguenti figure :
rettangolo,quadrato,parallelogramma,
triangolo isoscele, scaleno,i trapezi
(rettangolo, isoscele, scaleno).
 Ricondurre le aree dal quadrato in poi a
quella del rettangolo.
 Ricerca di una tecnica per il calcolo dell’area
di un rombo simmetrico, asimmetrico, di un
deltoide.
 Trasformazioni del piano per ricondurre le
aree a quella di un rettangolo.

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La formula di Erone
 Il geopiano. Calcolo di aree irregolari con il
teorema di PICK.
 Calcolo di aree di figure di forma qualsiasi,
metodo di esaustione.

 Ricerca
storica sulla teoria della misura e
su come essa si sia evoluta nel corso dei
secoli. Personaggi evidenziati Erone,
Archimede.
 La vita di Archimede
 Archimede fisico
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 Archimede
Matematico:
 il problema dei buoi e la
quadratura della parabola
 Il conicografo a filo teso : la
parabola
 Il metodo dell’equilibrio di
Archimede per il calcolo del
segmento parabolico
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In breve la nostra esperienza
 Archimede matematico
 Il conicografo

 Il
metodo dell’equilibrio di Archimede per il
calcolo del segmento parabolico
Questo progetto ci ha fatto amare ancora di
più la matematica, in quanto ci ha permesso
di verificare praticamente nozioni e teoremi,
ma ancor di più ci ha permesso di conoscere
meglio un genio come Archimede. Siamo
passati dal calcolo dell‘area di un rettangolo,
utilizzando vari campioni di misura e vedendo
quante volte le varie unità di misura prese
arbitrariamente
erano
contenute nel
rettangolo
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Ci siamo occupati del calcolo dell’area di
figure regolari per poi utilizzare i risultati
per il calcolo di formule per dell’area di
figure di forma diversa, anche strane,
attraverso il metodo applicato nella
prima
fase
delle
attività
e
riconducendole, in questo modo,
all’area di un rettangolo.
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Poi abbiamo trattato dell’utilità di altre
formule per il calcolo delle aree di figure
irregolari, quindi evidenziato e approfondito la
formula di Erone e il teorema di Pick.
Infine il modello con cui Archimede riuscì a
misurare l’area del segmento parabolico e per
costruirlo non abbiamo voluto utilizzare mezzi
moderni .
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Archimede
Archimede uno dei massimi scienziati della storia. Fu
matematico, fisico, inventore di grandissima genialità
Nacque a Siracusa nel 287 a.C. Il suo nome è legato a fondamentali
studi dell’idrostatica (equilibrio dei liquidi) e soprattutto sul calcolo
delle aree e dei volumi. Egli studiò ad Alessandria d’Egitto ma
rientrato a Siracusa si applicò ai suoi studi: la matematica, la fisica,
l’ottica, la geometria e l’astronomia. Nel 212 a.C. le truppe romane
saccheggiarono Siracusa e Archimede fu assassinato da un soldato.
A lui si deve la teoria della leva che lo portò a pronunciare la celebre
frase: “ Datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo”.
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Archimede matematico
IL PROBLEMA DEI BUOI
Il problema dei buoi è costituito da due manoscritti che
presentano un epigramma nel quale Archimede sfida i
matematici alessandrini a calcolare il numero di buoi e vacche
degli Armenti del Sole risolvendo un sistema di otto equazioni
lineari con due condizioni quadratiche. Si tratta di un problema
diofanteo espresso in termini semplici, ma la sua soluzione più
piccola è costituita da numeri con 206.545 cifre.
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La questione è stata affrontata sotto un
diverso punto di vista nel 1975 da Keith G.
Calkins, ripreso successivamente nel 2004 da
Umberto Bartocci e Maria Cristina Vipera,
due matematici dell'Università di Perugia. Si
fa l'ipotesi che un "piccolo" errore di
tradizione del testo del problema (non
"traduzione"!) abbia reso "impossibile" (quasi
una beffa, e c'è anzi chi ha concluso che
proprio tale era l'intenzione di Archimede!)
un quesito che, formulato in maniera
leggermente diversa, sarebbe stato invece
affrontabile con i metodi della matematica
del tempo.
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Costruzione del conicografo
Abbiamo costruito il conicografo a filo
teso per disegnare il segmento
parabolico.
Per questo è stato utilizzato un piano di
cm 98x40.
Trovata la metà della lunghezza è stata
disegnata una linea verticale sulla quale
è stato fissato il fuoco O.
Successivamente sono state costruite
due aste a forma di L che fungono da
guida queste aste misurano 41,5cm x
17,5cm che sono state fissate con una
piccola asta di 10,5cm per evitare che si
aprissero.
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E’ stato utilizzato un filo di lunghezza 41,5cm uguale
alla lunghezza dell’asta AH
E’ stata fissata un’asta s lungo la lunghezza del piano
che funge da direttrice della parabola. Si fa
scorrere l’asta ad “L” sulla direttrice s e
contemporaneamente con una matita, mantenendo il
filo teso sull’asta mobile, si disegna un arco di
parabola che ha il fuoco in O.
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L’asta mobile AH è uguale alla lunghezza del filo, per
cui la distanza PO del punto P dal fuoco O è uguale
ad AH-AP. Ma AH-HP è uguale a PH, e quindi il
ramo della parabola è il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso O e da una retta fissa.
Nella macchina il sistema è raddoppiato in modo da
poter disegnare due archi simmetrici di parabola.
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Il metodo dell’equilibrio di
Archimede
Della breve opera Il Metodo di Archimede (287-212
a.C.) si erano perdute le tracce a partire dai primi
secoli dell’Era cristiana, fino alla sua riscoperta
avvenuta nel 1906. Fu in tale anno che Heiberg,
recatosi a Costantinopoli per esaminare un
manoscritto del X secolo su un rotolo di pergamena
proveniente dal monastero del santo Sepolcro di
Gerusalemme, scoprì in esso la riproduzione del
testo greco di vari scritti di Archimede tra cui una
lettera indirizzata ad Eratostene un suo amico e
direttore della biblioteca di Alessandria.
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Dall’insieme dell’opera e in particolare
dall’Introduzione si ricava il metodo meccanico:
esso risulta dalla felice combinazione di
ragionamenti meccanici e di ragionamenti
infinitesimali, ed è utile tanto per la
determinazione di centri di gravità che per
quadrature e le cubature delle figure piane.
Nei suoi tratti essenziali lo schema del nuovo metodo
è il seguente: ogni figura si considera composta di
elementi infinitesimali, che sonolinee rette nel caso di
figure piane e superfici nel caso di solidi.
In ogni figura il numero degli elementi è infinito, ma
Archimede dice soltanto che ogni figura è composta o
riempita da tutti i suoi elementi.
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Il risultato di ciò che appariva riducibile, nel
linguaggio moderno, ad una integrazione, e cioè il
calcolo di un’area o di un volume, veniva ricondotto
all’esistenza di un punto di equilibrio della massa
geometrica.
Se si ripensa, ad esempio, al calcolo archimedeo
dell’area di un segmento parabolico, tutto qui viene
ricondotto all’esistenza di un centro di equilibrio tra
un triangolo e detto segmento trasferito in una
regione opportuna del piano.
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Questo centro di gravità, capace di annullare, se
sostenuto, gli sbilanciamenti provocati dal peso,
esercita il suo potere di equilibrio sulla infinità dei
segmenti rettilinei di cui si può immaginare
“composto” rispettivamente il triangolo ed il
segmento parabolico.
Per questa funzione equilibratrice procede, da un
punto, il bilanciamento di due aree, e, in ultima
istanza, la scoperta di una perfetta armonia di
rapporto tra l’area del segmento parabolico e l’area
del triangolo inscritto: l’uno è i 4/3 dell’altro.
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Ispirati al metodo di Archimede
abbiamo con il conicografo
costruito un segmento parabolico
ABC,di vertice B , BE è l’asse
della parabola che incontra in E la
tangente alla parabola in C e in Z
la parallela a BD in A.
Archimede aveva dimostrato che la sottotangente ED
ha il vertice B come punto medio, DB=BE, quindi
ZK=KA , CB=BK,essendo K il punto in cui CB incontra
AZ,
Ne consegue che S(ABC)= 1/2 S(ACK) =1/4 S(ACZ)
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Archimede posiziona
un punto X su AC e
traccia la linea XM
perpendicolare ad AC
con O ed N
rispettivamente sulla
parabola e su CK. E
con le proprità della
parabola dimostra
che
MX:OX=AC:AX
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Si prolunga CK di un
segmento KT = CK e
poi si trasporta Il
segmento OX in T con
SH = OX e ad esso
parallelo. A causa del
parallelismo si ha
MX:OX=KC:KN e quindi
MX:SH=KT:KN
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Archimede considera MX e SH come pesi su
una bilancia a bracci
TK , KN e fulcro K .
Questo vale per tutte le linee OX ,la cui somma
è il segmento parabolico e tutte le linee MX la
cui somma è il triangolo ACZ.
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Il triangolo ACZ posizionato in N è in
equilibrio con il segmento parabolico ABC
posizionato in T rispetto al fulcro K.
Ma essendo N variabile perché dipende da
X,lo si può posizionare nel baricentro di ACZ a
1/3 da K
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Siccome il braccio di ACZ è 1/3 del braccio del
segmento parabolico ABC si ha che
S (ACZ)= 3 S segm parab (ABC)
S segm parab (ABC)=1/3 S (ACZ)= 4/3 S (ABC)
L’area del segmento parabolico ABC è 4/3
dell’area del triangolo isoscele ABC inscritto
in esso
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Con la bilancia elettronica, abbiamo pesato il triangolo
ed il segmento parabolico. La bilancia elettronica è
uno strumento dotato di un unico piatto e di un
display digitale. Si pone l'oggetto da pesare sul
piatto, ed il display indica immediatamente la sua
massa con una precisione (in questo caso) di 0,01 g. Si
noti che la bilancia dispone di un tasto per
l'azzeramento automatico, che consente di riportare
a zero il display qualunque massa vi sia posta sopra;
ciò è particolarmente utile per apprezzare le
variazioni di massa, specie se piuttosto piccole.
Il triangolo pesa 72.90g mentre il segm parabolico 27,49g
per questo abbiamo aggiunto al segm parabolico una zavorra di
3.2 g e abbiamo risistemato il braccio della bilancia.
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