Liceo
Scientifico
Liceo
Scientifico con
opzione
Scienze
applicate
Liceo Classico
“Federico
Quercia”
Marcianise (CE)
Indice degli argomento trattati a
scuola
negli incontri del laboratorio
Origini della Geometria:






Platone
Eudosso
Menecmo
Euclide
Archimede
Erone
Aree figure regolari e …. strane:
Figure regolari
 Figure non regolari : utilità della formula di Erone e del teorema di Pick
 Figure dal contorno non rettilineo : utilità del metodo archimedeo e
di Esaustione
 Ricoprimento di figure piane: la tassellazione

Argomenti selezionati per la
presentazione di oggi
Cenni storici sul problema della misura
 Area del segmento parabolico
attraverso la dimostrazione archimedea;
 Geopiano e relativo utilizzo nel calcolo
dell’area di figure strane;
 Le tassellazioni.

Con Eudosso si costituisce la matematica
come scienza, a lui si deve l’importantissimo
metodo di Esaustione: questo metodo si
proponeva di riempire letteralmente
un’area con delle figure note tali che la
loro somma approssimasse l’area
cerchiata.
Euclide raccoglie e sistema tutto il complesso
delle conoscenze matematiche del tempo
secondo un mirabile schema logico-deduttivo e
ha dato un grande contributo al problema delle
aree attraverso la sua teoria dell’equivalenza.
Archimede è senza dubbio uno dei più grandi matematici di
tutti i tempi. Egli affrontò i più ardui problemi rimasti fino a
quel tempo insoluti, come ad esempio quello del calcolo
delle aree e dei volumi, fino a gettare le basi del calcolo
infinitesimale. Archimede affrontò anche il problema della
rettificazione della circonferenza.
Inoltre Archimede si occupò anche dell’
AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO.
Erone è un matematico inventore greco antico,
lo ricordiamo soprattutto perché formulò le leggi
della riflessione e la formula che esprime l’area
di un triangolo in funzione dei suoi lati e del
semiperimetro.
Per calcolare l’area di figure regolari bisogna :
• Per prima cosa stabilire una unità
di misura, per esempio il cm ²
• Vedere quante volte essa
entra nella grandezza da
misurare
Utilizzando questa unità di misura abbiamo considerato un rettangolo e
un quadrato, poiché sono le figure più semplici da misurare.
Per le figure più complesse, invece, abbiamo ricondotto le figure ad un
rettangolo, costruendo lati paralleli e perpendicolari.
•Per il rombo regolare, tracciando le diagonali, si formano quattro
triangoli rettangoli, i quali mettendoli insieme formeranno un rettangolo
che avrà come base la diagonale minore e per altezza la diagonale
maggiore diviso 2.
•Ugualmente avviene per il rombo asimmetrico, con la differenza che
la base è la diagonale maggiore e l’altezza è la diagonale minore diviso
2.
•In modo analogo anche i trapezi vengono ricondotti ad un rettangolo.
Abbiamo poi trovato l’area dell’esagono in due modi: il primo è quello di
ricondurre ad un rettangolo; il secondo è quello di ricondurre ad un
trapezio isoscele.
Per quanto riguarda le figure non regolari abbiamo cercato
di dividerle in varie parti, tali da formare figure regolari di
cui sappiamo calcolare l’area. Infine per calcolare l’area
delle figure irregolari bisogna sommare le aree
precedentemente ricavate:
At = A1 + A2 + A3 + A4
A4
A2
A3
A1
Il teorema di Pick è un teorema di
geometria che permette di calcolare
l’area di un poligono semplice i cui
vertici stanno su un piano a coordinate
intere
Detti :
• i il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
• p il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del
poligono ( vertici compresi)
Quindi l’area del poligono può essere calcolata tramite la
formula
A = i + p/2 - 1
Per quanto riguarda le figure curvilinee abbiamo utilizzato la carta
millimetrata e i suoi quadratini come unità di misura. Preso un
quadratino come unità di misura, abbiamo contato il numero dei
quadratini contenuti e che contenevano la figura. Dopo una serie di
tentativi abbiamo osservato che la differenza tra le due aree trovate
diminuiva al diminuire delle dimensioni del campione utilizzato.
U1 =
U2 =
U3 =
IL METODO DI ESAUSTIONE APPLICATO AL CALCOLO
DELL’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO
Definizione
Dati in un piano una parabola γ e una retta r che interseca γ in
due punti distinti A e B, la parte finita di piano delimitata
dall'arco AB di γ e
dal segmento AB di r è detta segmento parabolico.
In particolare, se la retta r è perpendicolare all'asse
della parabola γ, il segmento parabolico si dice retto.
Approssimazione dell'area
Per valutare l'area di un segmento parabolico retto si può operare nel seguente
modo. Si sceglie un sistema di riferimento con origine nel vertice di γ e asse
delle ordinate coincidente con l'asse della parabola orientato dal vertice
al fuoco. In tale sistema l'equazione di γ risulta
Detta B' la proiezione del punto B sull'asse
delle ascisse e l la distanza OB', si
suddivide OB' in n segmenti di ugual misura.
Le ascisse degli estremi destri di questi
segmenti risulteranno
Si costruiscono quindi i rettangoli aventi come base ognuno di questi
segmenti e come altezza l'ordinata corrispondente al loro estremo destro
calcolata sulla parabola.
Il rettangolo di ordine i ha
area
La somma R delle aree di tutti i
rettangoli risulta
La differenza tra R e l'area S della figura delimitata dai segmenti OB' e B'B e
dall'arco OB di γ risulta sempre positiva, ma diventa tanto minore
quanto maggiore si prende il numero n di segmenti di OB'. Si esprime
questa situazione dicendo che S è il limite di R per n che tende
all'infinito.
Calcolando il valore della sommatoria, si ottiene quindi l'area S.
La somma dei quadrati
Per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è
utile costruire la seguente tabella.
Σ i2
i2
i
6 Σ i2
6 Σ i2
1
1
1
6
1·2·3
2
4
5
30
2·3·5
3
9
14
84
3·4·7
4
16
30
180
4·5·9
5
25
55
330
5 · 6 · 11
Per induzione, si può concludere che
TEOREMA DI ARCHIMEDE
Utilizzando il risultato ottenuto, riprendendo l'espressione di R, si ha
Per n infinitamente grandi, le frazioni di denominatore n si annullano e quindi
cioè l'area S è uguale a un terzo dell'area del rettangolo di base OB' e
altezza B'B. Conseguentemente l'area della rimanente parte del rettangolo è
due terzi dell'area dello stesso.
Per la simmetria della figura si può quindi concludere che l'area del
segmento parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo
circoscritto. Questa proprietà, dimostrata da Archimede di Siracusa, è nota
come teorema di Archimede.
• Osservando il pavimento sotto i vostri piedi, noterete che la
sua superficie è interamente ricoperta da piastrelle
identiche, probabilmente, di forma quadrata.
• Le piastrelle sono disposte in maniera ordinata sul piano in
modo tale da ricoprirne l’intera superficie senza sovrapporsi
e senza lasciare “spazi vuoti”.
• Definiamo “tassellazione regolare” un qualunque
ricoprimento del piano ottenuto con poligoni regolari che, a
due a due, hanno in comune un lato.
Le uniche tassellazioni regolari sono
quelle già individuate (ossia quelle
ottenute con
quadrati, triangoli equilateri, esagoni
regolari).
Proviamo quanto detto considerando,
inizialmente, per fissare le idee, una
tassellazione esagonale:
L’angolo giro di vertice D, evidenziato
in figura, è interamente “ricoperto” dagli
angoli interni (di vertice D) dei tre
esagoni
in azzurro, blu e bianco.
Gli angoli interni di un esagono regolare
(n=6), hanno un’ampiezza di 120°, per cui
sono necessari k=3 esagoni per ricoprire
l’intero angolo giro. (360°/120° = 3)
Ripetiamo questo ragionamento in
generale:
gli angoli interni di un poligono regolare
di “n” lati hanno un’ampiezza ° pari a:
° = 180° (n–2)/n .
Volendo ricoprire l’intero angolo giro,
occorrono “k” (numero intero!) poligoni,
in modo che:
k° = 360°
cioè:
k 180° (n–2)/n = 360°.
Risolvendo rispetto a k , otteniamo:
k = 2n/(n–2).
Se:
n=3
(triangolo equilatero) allora
360°)
k = 6
(6x60° =
n=4
(quadrato)
360°)
k = 4
(4x90° =
n=5
(pentagono regolare)
k = 10/3
n=6
(esagono regolare)
(3x120°=360°)
k = 3
n>6
(polig.regolare con più di 6 lati)
(*)
(*)
2 < k < 3
(*)
Per n=5 o per n>6 si nota che k non è intero: deduciamo
che risulta impossibile tassellare il piano con pentagoni regolari o
poligoni regolari con più di sei lati.
M.C. Escher È conosciuto principalmente per
le sue incisioni su legno, litografie e
mezzetinte che tendono a presentare
costruzioni impossibili, esplorazioni
dell’infinito, tassellature del piano e dello
spazio e motivi a geometrie interconnesse
che cambiano gradualmente in forme via via
differenti
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Questionario iniziale
Aree di figure regolari
Aree di figure non regolari con contorni vari
Ricerca storica e inizio del lavoro in power point
Continuazione dell’attività precedente
Metodi per la misura delle aree: metodo
archimedeo,costruzione del geopiano e utilizzo
del teorema di Pick
Il problema della tassellazione