Aprile 1984
A San Leonardo al
Palco (Prato)
Il nostro primo
Convegno
27° CONVEGNO SULLA
DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
VIAREGGIO
9–10 Settembre 2010
Congetturare in un ambiente
di
geometria dinamica
Maria Alessandra Mariotti
Dipartimento di Scienze Matematiche ed Informatiche
Università di Siena
[email protected]
Di cosa parleremo
Complessità del comando di
trascinamento in un AGD
Trascinamento e congetture: analisi del
processo di esplorazione
Esempi dalla classe
Discussione sulle implicazioni didattiche
Introduzione
Immagini in Matematica e in particolare in
Geometria:
‘oggetti’ matematici e rappresentazoni
Il movimento in Geometria
Scriveva F: Monge (1792) nelle
“Leçons données à l’Ecole Normale de l’an III”:
“Il faut que l’élève se mette en état, d’une part de pouvoir écrire tous
les mouvements qu’il peut concevoir dans l’espace, et de l’autre, de se
représenter perpétuellement dans l’espace le spectacle mouvant dont
chacune des opérations analytiques est l’écriture.”
Introduzione
"...
the changes in the solving process brought by
the dynamic possibilities of Cabri come from
an active and reasoning visualisation, from
what we call an interactive process between
inductive and deductive reasoning "
(Laborde & Laborde, 1991 p. 185)
Ambienti di Geometria Dinamica
(AGD)
Cosa è davvero cambiato ?
Riflettiamo su un esempio molto semplice
Costruire una retta r passante per due punti,
A e B, e una retta s ad essa perpendicolare,
passante per un punto P. Chiamare H il
punto d’intersezione tra r e s.
Trascinamento e Invarianti
Il movimento di una figura è percepito nel
contrasto tra cosa varia e cosa resta invariato
Invariante per trascinamento
Una costruzione provoca il fenomeno di
Invarianti
di
Complessità di mantenere
il
Manteneredegli
le proprietà
di costruzione
Simultaneità
invarianti
costruzione
controllo
concettuale
Relazione
di
implicazione
Invarianti
Mantenere tutte le conseguenze
delle
proprietà
di
derivati
dalla
tra proprietà
costruzione,
costruzione
Trascinamento e Invarianti
Una distinzione chiave
Movimento diretto
Movimento indiretto
può essere complesso cogliere la differenza tra
Punto base
Punto dipendente
Movimento & Invarianti
Una prima analisi delle difficoltà porta a distinguere due
situazioni:
Uso del trascinamento per testare se la costruzione
effettuata è corretta, ovvero se la costruzione
corrisponde allo scopo che si era prefissa.
Uso del trascinamento al fine di produrre una
congettura, ovvero data una certa configurazione
formulare un enunciato che esprima la dipendenza
logica tra proprietà riconoscibili per trascinamento in
tale configurazione.
Invarianti per trascinamento
Invarianti di costruzione
Invarianti derivati
Ma anche
Invarianti imposti tramite un
movimento guidato.
Problemi aperti di congettura
Una consegna che pone una domanda senza
rivelare o suggerire una risposta attesa, che
richieda esplicitamente una congettura e la
sua prova …
Problema aperto di Congettura
Trascinamento e Congetture
La produzione di una congettura si basa sulla
interpretazione di invarianti e relazioni tra invarianti
… l’efficacia di una esplorazione è legata alla capacità
di trasformare:
Dati percettivi in
una relazione condizionale tra
proprietà geometriche
Trascinamento e Congetture
Il processo di produzione di una congettura
richiede la “cristallizzazione” di un processo
dinamico di esplorazione in una proposizione
condizionale.
Devono emergere due componenti di un
enunciato condizionale
Trascinamento e Congetture
Almeno due livelli di complessità
Emergenza di proprietà invarianti
come diretta conseguenza della
costruzione
Ricerca di sotto-configurazioni nelle
quali si evidenzia un legame
condizionale tra proprietà.
Problemi di congettura
Consideriamo due esempi
Congetture in un ADG
Sia dato un quadrilatero ABCD e siano E, F, G e H
rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA.
Cosa posso dire del quadrilatero EFGH?
Congetture in un AGD
Dato un quadrilatero costruire i punti
medi delle diagonali, M e N.
Sono possibili varie domande …
• Portare M ed N a concidere, cosa posso
dire del quadrilatero?
• Sotto quali condizioni M coincide con
N?
Congetture in un AGD
Dato un quadrilatero costruire gli assi dei
suoi lati, siano MNRQ i punti di
intersezione.
Sono possibili varie domande …
• Portare M, N, R e Q a concidere, cosa posso
dire del quadrilatero?
•
Sotto quali condizioni M, N, R,Q
coincidono?
Congetture in un AGD
A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi di
congettura:
Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione con
uno o più invarianti ‘derivati’
Relativo: l’invarianza di un particolare proprietà è messa in
relazione con un particolare ‘movimento’ …
ovvero
“sotto quale condizione una certa configurazione assume
una particolare proprietà?”
Congetture in un AGD
Costruzioni
Robuste
A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi
Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione
con uno o più invarianti ‘derivati’
Relativo: l’invarianza di un particolare proprietà è
messa in relazione con un particolare ‘movimento’ …
ovvero
Costruzioni
Molli
“sotto quale condizione una certa configurazione
assume una particolare proprietà?”
Congetture in un AGD
• esplorare una costruzione robusta
Porta a “scoprire” conseguenze di un’ipotesi o definizione
costruita in modo robusto.
Per esempio: dato un quadrilatero cosa si può dire del
quadrilatero che ha come vertici i suoi punti medi?
• esplorare una costruzione molle:
Porta a “scoprire” ipotesi o condizioni sotto cui si verificano
determinate conseguenze.
Per esempio: dato un quadrilatero costruire i punti medi delle
diagonali, M e N. Sotto quali condizioni M coincide con N?
Modalità di Trascinamento
Studi sul trascinamento (Arzarello, Olivero,
Robutti, Paola,…)
Modalità osservate nella soluzione di
problemi, in particolare di aperti di
congettura …
Modalità di Trascinamento
Wandering dragging, moving the basic points on the screen randomly,
without any plan, in order to discover regularities in the figures;
Guided dragging, dragging the basic points of a figure in order to
maintain a particular property;
Lieu muet dragging, moving a basic point so that the figure keeps a
property following a 'hidden' path (lieu muet),;
Lieu parlante dragging, moving a basic point activating the trace so
that the figure keeps a discovered property following a 'hidden'
path , even without being aware of this;
Olivero 2002
Modalità di Trascinamento
Wandering
Lieu muet
Lieu parlante
Dragging di un punto
• Identificare regolarità
• Evidenziare oggetti dipendenti
Dragging di un punto
• Mantenere regolarità
• Evidenziare relazioni tra proprietà
Dragging di un punto + Traccia
•Mantenere regolarità (Ogget. dipendenti)
•Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.)
Modalità di Trascinamento
Wandering
Lieu muet
Lieu parlante
Dragging di un punto
• Identificare regolaritàIn cerca della Tesi
• Evidenziare oggetti dipendenti
Dragging di un punto Si fissa la Tesi
• Mantenere regolaritàSi cerca le Ipotesi
• Evidenziare relazioni …
Dragging di un punto
Traccia le Ipotesi
Si+evidenzia
•Mantenere regolarità (Ogget.
Si fissa dipendenti)
la Tesi
•Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.)
Un progetto di ricerca
(in corso)
Obiettivo:
Individuare il ruolo degli schemi di trascinamento
nella produzione di congetture e nella costruzione della
dimostrazione …
Metodologia
Trascinamento di
mantenimento
Introduzione degli allievi all’uso di particolari schemi
di trascinamento
Analisi di soluzioni di problemi aperti di congettura,
Trascinamento di
mantenimento
Il trascinamento di mantenimento è
definito:
Trascinare un punto base in modo che la
figura di cabri mantenga un certa
propriet
(con traccia) Attivare la traccia durante il
trascinamento di mantenimento.
Una possibile sequenza
Si nota una proprietà della figura di Cabri (Trasc.
Libero )
Si sceglie la proprietà come proprietà da mantenere
Si trascina in modo da mantenere la proprietà (Trasc.
Mantenimento)
Si usa la traccia --> appare un « luogo »
Si individua il luogo come oggetto geometrico
Si formula una congettura
Si formula un enunciato geometrico
Modello
Proposizione A (invarianza osservata): una certa proprietà
geometrica è mantenuta.
Proposizione B (“regola”): quando un certo punto X della
costruzione è trascinato (si muove) su un certo lungo, la
proposizione A è vera.
Possibile Congettura derivata:
se X si muove sul luogo allora A è vera.
Esempio
Consegna: disegnare tre punti
A, M, K costruire il punto
B come simmetrico di A
rispetto a M e C come
simmetrico di A rispetto a
K. Costruire la retta l
paralla a BC per A e la
retta perpendicolare a l per
C, sia D il punto di
itersezione tra queste rette.
Al variare dei punti A,M,K
fare congetture sui tipi di
quadrilatero che ABCD
può diventare
Siano A, M, K tre punti base, costruire B come il simmetrico di A rispetto a
M, e C come il simmetrico di A rispetto a K. Costruire inoltre la parallela l a
BC per A, e la perpendicolare r a l per C. Sia D l’intersezione di l e r.
L’Esplorazione di Fabio & Guido
Data la costruzione precedente...
Al variare dei punti A, M, K, formulare congetture sui tipi di
quadrilatero che ABCD può diventare, cercando di descrivere tutti
i modi in cui è possibile ottenere un certo tipo di quadrilatero.
Fabio e Guido sono in seconda
liceo scientifico e hanno usato
Cabri durante il precedente anno
scolastico.
“Teoremi” e Figure di Cabri
Costruzioni molli – ricerca di condizioni
“Teoremi” e Figure di Cabri
Costruzioni molli – ricerca di condizioni
Conclusioni
Complessità del comando trascinamento e
difficoltà di controlloe
Necessità di una organizzazione didattica
specifica:
Lavorare sulla consapevolezza
introduzione intenzionale di schemi d’uso di
esplorazione
Sfruttare il potenziale semiotico del trascinamento
rispetto al significato toorico di una congetura.
Problemi didattici
Come affrontre la complessità del controllo
concettuale del trascinamento?
Come guidare l’aapropriazione dello strumento di
trascinamento per risolvere problemi aperti di
congettura?
Come sfruttare la ricchezza di significati matematici
offerti dall’uso del trascinamento in problemi aperti di
congettura?
grazie