Cavalieri Simpson
Introduzione
Tra i metodi di approssimazione dell’area
sottesa ad una curva in un certo intervallo,
possiamo annoverare il metodo di Cavalieri
– Simpson.
Il concetto [1]
L’idea di base è di suddividere la funzione
in un numero pari d’intervalli di dimensione
costante e considerare le parabole
passanti per le immagini della funzione negli
estremi delle coppie di intervalli adiacenti.
Il concetto [2]
Calcolando poi la sommatoria delle aree
delle parabole così trovate giungiamo ad
una buona approssimazione dell’area
sottesa alla funzione.
Il metodo [1]
Il metodo [2]
Tendendo all’infinitesimo
Facendo tendere h a 0, si ottiene
un’approssimazione
sempre
migliore
dell’area sottesa alla funzione.
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Gli errori
Esempio
f(x)= sen x
intervallo [1,7]
numero di intervalli n=6
h= (b-a)/n= (7-1)/6=1
x0=1 x1=2 x2 =3 x3=4 x4=5 x5=6 x6=7
A1[x0,x2]= h/3 (f(x0)+4f(x1)+f(x2))
A2[x2,x4]= h/3 (f(x2)+4f(x3)+f(x4))
A3[x4,x6]= h/3 (f(x4)+4f(x5)+f(x6))
At=A1+A2+A3= h/3
(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+4f(x5)+f(x6))=
(0.84 + 3.64 + 0.28 – 3.03 – 1.92 – 1.12 + 0.66) = 0.65
Curiosità 1
Nonostante la scoperta sia stata attribuita a
Cavalieri e Simpson, il procedimento era
stato individuato da Keplero circa 200 anni
prima, senza dimostrarne la correttezza.
Curiosità 2
Si pensa che il nome della nota serie
televisiva «I Simpson» sia stato ispirato
dall’omonimo matematico.