1
La lezione di oggi
Urti
Quantità di moto
Cinematica
rotazionale
2

Quantità di moto e impulso

Urti elastici e anelastici

Cinematica rotazionale
3
La quantità di moto


p  mv
E’ una grandezza vettoriale
Unità di misura: kg m s-1
Dimensionalmente: [M][L][T-1]
Se ho un sistema di n oggetti, la quantità di moto totale sarà:




p totale  mv1  mv 2  ...  mv n
4
La seconda legge di Newton
La seconda legge di Newton si scrive, nel caso più generale:
 p
 F  t
Questa forma vale anche se varia la massa.
Nel caso particolare in cui la massa è costante, ottengo:

 p  ( mv )
v

F



m

ma
 t  t
t
5
Impulso
Definizione di impulso
 
I  Fmedia t
6
Impulso
 
I  Fmedia t
E’ una grandezza vettoriale
Unità di misura: kg m s-1
Dimensionalmente: [M]L][T-1]
Ha le stesse dimensioni e unità di misura della quantità di moto
Impulso e variazione della quantità di
moto sono collegati:
parto dalla 2 legge di Newton
 p
F
t
per ottenere

 
p  Ft  I
7
Esercizio
Una palla da baseball di m = 0.144 kg viaggia con v = 43.0 ms-1,
quando viene colpita con una mazza che esercita
una forza media di 6.50 kN per un tempo t = 1.30 ms.
Qual è il modulo della velocità finale della palla ?

 
p  Fmedia t  I
Nota: Il moto è unidimensionale
viniziale
Fmedia




p  mv finale - mv iniziale  Fmedia t
vfinale
mv finale - (-mv iniziale )  Fmedia t
x
v finale
Fmedia Δt  mv iniziale


m
(6.50  10 3 N)(1.30  10 -3 s) - (0.144 kg)(43.0 ms -1 )

 15.7 ms -1
8
0.144 kg
Conservazione della quantità di moto
 p
 F  t
2a legge di Newton
Se la risultante delle forze che agisce su un oggetto è nulla,
la quantità di moto si conserva (rimane costante)

F  0

p/t  0


p finale  p iniziale
Come la legge di conservazione dell’energia meccanica,
questa è una delle leggi di conservazione fondamentali
9
Forze interne e forze esterne

Sistema: insieme di n oggetti, scelto arbitrariamente
Le forze interne al sistema non hanno effetto sulla quantità
di moto totale di un sistema
Se la risultante delle forze esterne al sistema è zero, la
quantità di moto totale del sistema si conserva
10
Esercizio
Una persona della canoa 1 spinge la canoa 2 con una forza di 46 N per un tempo t=1.20 s.
Se m1 = 130 kg e m2 = 250 kg, calcolare la quantità di moto
acquistata da ciascuna canoa
Nota: Il problema è unidimensionale
x
Canoa 1
- v1  -a1 t  -
Canoa 2
v2  a 2t 
p1  m1 v1  (130 kg)(-0.42 ms -1 )  55 kg ms -1
p 2  m 2 v 2  (250 kg)(0.22 ms -1 )  55 kg ms -1
F
t  -0.42 ms -1
m1
F
t  0.22 ms -1
m2
Avrei potuto
risolvere il probema
pusando:
 Ft
1
p 2  Ft
11
Esercizio
Una persona della canoa 1 spinge il molo con una forza di 46 N per un
tempo t=1.20 s.
Se m1 = 130 kg, calcolare la quantità di moto della canoa dopo la spinta.
Nota: Il problema è unidimensionale
F2
x
Canoa - v1  -a1 t  -
MOLO
p1  m1 v1  (130 kg)(-0.42 ms -1 )  55 kg ms -1
F
t  -0.42 ms -1
m1
v molo = a molo t =
F
t@0
m molo
perché?
MT=5.9742 × 1024 kg
12
Esercizio
Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g che galleggia
sull’acqua e cammina con velocità 3.80 cm/s.
Il bastoncino, di conseguenza,
si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s.
Calcolare la massa dell’ape.
vape
vbastoncino
x
13
Soluzione esercizio 1
Problema: Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g e cammina con velocità
3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza, si muove in verso opposto con velocità di
0.12 cm/s.
Calcolare la massa dell’ape.
Nota: Il problema è unidimensionale
vape
vbastoncino
Sul sistema ape-bastoncino
agiscono forze esterne.
non

p  0
x

p iniziale  m ape  0  m bastoncino  0  0



p finale  m ape v ape, finale  m bastoncinov bastoncino, finale
pfinale  mape vape, finale  mbastoncinovbastoncino, finale  piniziale  0
m ape 
m bastoncinov bastoncino, finale
v ape, finale
 0.15 g
14

Quantità di moto e impulso

Urti elastici e anelastici

Cinematica rotazionale
15
Urti elastici e urti anelastici

Urto elastico: si conserva p e K

Urto anelastico: si conserva p e non K

Urto completamente anelastico: dopo l’urto gli oggetti
rimangono attaccati
p: quantità di moto
K: energia cinetica
elastico
completamente
anelastico
16
Esercizio
Un’automobile di m1 = 950 kg e v1= 16 m/s si scontra con un angolo di
90o contro un’altra automobile di m2 = 1300 kg e v2 = 21 m/s.
Nell’ipotesi che i due veicoli rimangano attaccati e che le forze esterne
siano trascurabili, calcolare modulo e velocità dei veicoli dopo l’urto.
Dopo l’urto
m1 ,v1
y
m1+m2, ,vfinale
m2 ,v2
q
y
Vfinale senq
Prima dell’urto
Vfinale cosq
x
I due oggetti rimangono
attaccati dopo l’urto 
Urto completamente anelastico
x
Sul sistema non agiscono
forze esterne
Kin ≈ 3 ×105J

p  0
17
Esercizio
Dopo l’urto
m1 ,v1
y
m1+m2, ,vfinale
m2 ,v2
q
y
Vfinale senq
Prima dell’urto
Vfinale cosq
x
Asse x
Asse y
x
m1 v1  (m 1  m 2 ) v finale cosθ
Kfin ≈ 2×105J
m 2 v 2  (m 1  m 2 ) v finale senθ < K
in
m2 v2
θ  arctan
 61o
m1 v1
(m1  m 2 )vmfinale
1 v1 cosθ  m1 v11
v finale 
 14 ms
(m1  m 2 )cosθ
18
Esercizio
Due pietre da curling di m = 7.0 kg si urtano. Il disco 1 si muove con
v1i = 1.5 m/s e il disco 2 è fermo. Dopo l’urto, il disco 1 si muove con
v1f = 0.61m/s e angolo di 66o rispetto alla direzione iniziale.
Calcolare modulo e velocità del disco 2.
Urto elastico
K  0
Sul sistema non agiscono
forze esterne

p  0
19
Esercizio
cosθ 
Asse x
m1 v1, i  m1 v1, f cos66 o  m 2 v 2, f cos θ
Asse y
0  m1 v1, f sen66 o  m 2 v 2, f senθ
m1v1, i  m1v1, f cos66 o
m 2 v 2, f
acos 0.92  23o
 0.92
v 2, f 
m1 v1, f sen66 o
m 2 sen23 o
 1.4ms 1
20
Esercizio
Per verificare che questo è davvero un urto elastico,
calcolo la variazione di energia cinetica
K iniziale
K finale
1
1
2
 m1 v1,i  (7.0kg)(1. 5ms 1 ) 2  7.9 J
2
2
1
1
2
 m1 v1,f  m 2 v 22,f 
2
2
1
1
1 2
 (7.0kg)(0. 61ms )  (7.0kg)(1. 4ms 1 ) 2  7.9 J
2
2
21

Quantità di moto e impulso

Urti elastici e anelastici

Il centro di massa

Cinematica angolare
22
Posizione angolare
Convenzione
q > 0: verso antiorario
q < 0: verso orario
23
Radiante
Radiante
Angolo che sottende
un arco di circonferenza
uguale al raggio
s = r q , q = 1 radiante
1 giro
(o rivoluzione)
q = 360o
s = 2pr
q = 360o=2p radianti
1 radiante = 57.3o
24
Velocità angolare e periodo
Δθ θ finale  θ iniziale
ω 
Δt
Δt

Unità di misura: radianti/s (rad/s)

w>0  rotazioni antiorarie

w<0  rotazioni orarie
Ripendiamo qui
nozioni già introdotte
nella lezione III
(moto circolare e
armonico)
Periodo (T) = tempo necessario ad effettuare un giro intero
2π
2π
ω
T
T
ω
25
Velocità angolare come
vettore
26
Accelerazione angolare
Δω
α
Δt

Unità di misura: radianti/s2 (rad.s -2)

Per il segno, devo fare attenzione:
in modulo
in modulo
in modulo
in modulo
27
Cinematica rotazionale
Dalle definizioni di q, w, a posso ricavare
le equazioni della cinematica rotazionale
nel caso di a costante
1 2
θ  θ 0  ω 0 t  αt
2
ω  ω 0  αt
28
Grandezze lineari e rotazionali
Velocità tangenziale:
velocità del punto sulla
circonferenza
vtangenziale
P
v =w ×r
Posizione
q
q in radianti!
posizione del punto
sulla circonferenza
s =q ×r
29
Il moto circolare
La palla percorre una traiettoria
circolare perché è sottoposta a
un’accelerazione:
Modulo
costante
Direzione
Verso:
radiale
verso il centro
Punto per punto, cambiano
direzione e verso della velocità (tangenziale);
non cambia il modulo
Accelerazione centripeta
v2
ac 
r
v2
T  ma c  m
r
30
Accelerazione tangenziale e centripeta
Il bambino si muove sulla
circonferenza e
la sua velocità angolare varia
Accelerazionetangenziale
 w varia
Accelerazionecentripeta
 Si muove su una circonferenza
a tangenziale  r  α
a centripeta
v2

 ω2  r
r
31
Esercizio
Una ruota gira con velocità angolare uguale a 3.40 rad/s.
Al tempo t0 comincia a rallentare e si ferma dopo 1 giro e un quarto.
Calcolare:
1.
L’accelerazione angolare, assumendo che sia costante
2.
Il tempo necessario alla ruota per fermarsi.
Condizioni
a contorno
θ0  0
ω0  3.40 rad  s 1
1 2
θ  θ 0  ω 0 t  αt
2
ω  ω 0  αt
ricavo t dalla (b) e sostituisco nella (a)
per ricavare a
1
5
θ finale  2π  2π  π
4
2
ω finale  0
5
1 2
-1
(a) π  0 rad  (3.40 rad  s )  t  αt
2
2
(b) 0  (3.40 rad  s 1 )  αt
α  - 0.736 rad  s -2 t  4.6232s
Il microematocrito (= Ultracentrifuga)
In una ultracentrifuga per microematocrito, piccole quantità di sangue sono
poste in provette con eparina. Le provette ruotano a 11500 giri/minuto con il
fondo a 9.0 cm dall’asse di rotazione.
Calcolare:
1.Il modulo della velocità tangenziale delle cellule al fondo della provetta
2.L’accelerazione centripeta nello stesso punto
3.L’accelerazione centripeta in unità di g
(11500 giri  minuto -1 )  (2π rad  giro -1 )
-1
ω

1200
rad

s
(60 s  minuto -1 )
v = wr = 110 ms-1
a centripeta  ω2 r  130000 ms -2  1.3  105 ms -2
1.3×10 5 ms-2
4
a centripeta (in unità di g) =
=
1.3×10
g
-2
33
9.81 ms
Riassumendo
Una nuova legge di conservazione:
la conservazione della quantità di moto
Cinematica rotazionale è analoga
allacinematica traslazionale
Prossima lezione:
La biomeccanica
34