Un pendolo composto e’ costituito da un asticella rigida di lunghezza L e massa m
libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo O
Inizialmente l’asta e’ ferma in posizione verticale. Determinare quale impulso J
perpendicolare all’asta occorrera’ applicare ad una generica distanza
r da O con r  L per far compiere all’asta una rotazione di 90o
il momento angolare iniziale e’ nullo quindi in modulo Lin = 0
O
r
il momento dell’impulso rispetto ad O ha modulo rJ
L
applicando il teorema del momento dell’impulso e considerando
i moduli si ha
rJ = Lfin – Lin
ossia Lfin = rJ
Iw
ovvero
r
I e’ il momento d’inerzia dell’asta rispetto al punto O e puo’ essere ricavato
in questo caso L = I w
quindi rJ = Iw
J
J
1
I  mL2 quindi la velocita’ angolare
3
3rJ
acquisita dall’asta a seguito dell’applicazione dell’impulso sara’ w 
mL2
utilizzando il teorema di Huygens Steiner riesce
l’applicazione dell’impulso e’ cosi’ rapida che si puo’ ritenere che l’asta
rimanga praticamente ferma durante il breve intervallo in cui agisce la forza
subito dopo pero’ l’asta iniziera’ a ruotare e dopo una rotazione di 90o il centro di massa dell’asta,
che in questo caso coincide con il punto di mezzo dell’asta stessa, si sara’ sollevato di L/2 e
L
la rotazione cessera’ di conseguenza l’energia potenziale dell’asticella sara’ aumentata di mg
2
in effetti dato un sistema di n punti materiali soggetti alla forza peso l’energia potenziale di ogni
singolo punto di massa mi e’ mi gzi quindi il sistema di punti materiali avra’ nel complesso
n
n
E p   mi gzi  g  mi zi
un energia potenziale totale pari a
i 1
ricordando che la
i 1
posizione del centro di massa di un inseme di punti e’ per definizione
n
rCM 
 mi ri
i 1
n
m
i
i 1
n
m r  m2 r2  ....mn rn
 11

m1  m2  ....mn
 mi ri
m
relazione che
i 1
M
zCM 
i 1
n
i i
m
i 1
risulta
i

m1 z1  m2 z2  ....mn zn

m1  m2  ....mn
n
m z
i i
mn
m4
m2
rn
scomposta in coordinate cartesiane diviene per
la coordinata
zCM del centro di massa n
n
m z
5
m z
i 1
i i
M
 MzCM in conclusione
E p  MgzCM
r2
m
1
r1
O
r3
m3
immediatamente dopo l’applicazione dell’impulso si ha
Ein 
1 2
I w  mgh
2
mentre quando l’asticella arriva a 90o e si ferma nella posizione orizzontale si ha
E fin
L
L 1 2
 mg (h  ) imponendo la conservazione dell’energia meccanica mg  I w
2
2 2
w
mgL
I
ricordando che
e dato che I 
1 2
mL
3
m
ovvero J 
r
gL3
3
J
Iw
si ha
r
1 1 2
J
mL mgL
r 3
J
I
r
in conclusione
mgL 1

ImgL
r
I
1 1 2 3
J
m Lg
r 3
dalla velocita’ angolare e’ possibile calcolare la velocita’ del centro di massa
immediatamente dopo l’applicazione dell’impulso
da vCM  w r
vCM  w
L
2
e’ da notare come questa velocita’ per il centro di massa sia diversa da quella che
avremmo ottenuto applicando il teorema dell’impulso e le proprieta’ del centro di massa
in effetti usando la J  q
e la vCM 
Q
si sarebbe ottenuto
M
vCM
J

m
il motivo di tutto cio’ e’ che durante l’applicazione del momento della forza J si sviluppa
nel punto O una reazione vincolare impulsiva di cui occorre tenere conto e anzi e’ proprio dal
confronto tra il valore calcolato della variazione della quantita’ di moto del centro di massa
che in modulo risulta in questo caso pari a mvCM poiche’ il centro di massa era inizialmente fermo
e il valore di J/m che si puo’ determinare l’impulso della reazione vincolare
viceversa l’impulso di reazione non compare nel calcolo del momento dell’impulso
perche’ rispetto al punto O ha momento nullo quindi del tutto in generale
quando i corpi sono vincolati occorre prestare attenzione a considerare tutti i contributi in gioco
prima di utilizzare la relazione
J  (mvCM ) fin  (mvCM )iniz