1
La lezione di oggi
Equilibrio statico e dinamico
Leve
L’elasticità in un solido e la legge di Hooke
2
Corpo rigido
Si definisce corpo rigido un corpo
che non si può deformare,
qualunque sia l’entità delle forze
che agiscono su di esso.
3

Momento di una forza

Equilibrio statico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa
4
Il momento di una forza
Il momento di una forza mi
permette di quantificare la
capacità di una forza di
causare una rotazione
t = r ´F
5
Il momento di una forza
t = r ´F

Il vettore t ha:



Modulo: r F sin q
Direzione: perpendicolare al piano di r e F
Verso: regola della mano destra (r: pollice, F: indice, t: medio)

Unità di misura: N m (non Joule !)

Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]

t > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso
antiorario

t < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso
orario
6
Il momento di una forza
Fer
perpendicolari
τ  r  F  sen(90 )  rF
o
7
Il momento di una forza
Fer
paralleli
τ  r  F  sen(0 )  0
o
8
Il momento di una forza
Fer
con angolo
2p-q
qualunque
τ  r  F  sen(2π - θ)  - r  F  senθ
Nota. Il segno ‘-’ tiene conto del fatto
che l’accelerazione è in verso orario
(ovvero, negativo)
9

Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa
10
Momento ed equilibrio statico
Se F1 + F2 = mg
il sistema è in equilibrio ?

Questo sistema (tavola+bambino) è ESTESO

Se la risultante delle forze esterne è nulla, come in questo caso:

Il sistema nel suo insieme non accelera e si muove con moto
rettilineo uniforme (in particolare può stare fermo)

MA, a seconda di come forze e masse sono distribuite, può
compiere dei movimenti di rotazione
11
Momento ed equilibrio statico
Se F1 + F2 = mg
il sistema è in equilibrio?
Per sapere se c’è equilibrio
statico, non basta porre delle
condizioni sulla risultante
delle forze
Condizione di equilibrio statico
 La risultante delle forze deve essere 0


F  0

La risultante dei momenti deve essere 0  τ  0
12
Momento ed equilibrio statico
Calcoliamo F1 ed F2
Problema unidimensionale
(y)

F  0

τ 0
F1  F2 - mg  0
r1  F1  senθ1  rb  mg  senθ b  r2  F2  senθ 2  0
3L
0  F1  senθ1 
 mg  sen(270 o )  L  F2  sen(90 o )  0
4
-1
1
3L
L  F2 
 mg
4
13
Momento ed equilibrio statico
Condizione
di
equilibrio statico
F1  F2 - mg  0
3L
L  F2 
 mg
4
1
F1  mg
4
3
F2  mg
4
14
Centro di massa ed equilibrio
Condizione di equilibrio statico

τ 0
x 1  m1g  sen(90 o )  x 2  m 2 g  sen(270 o )  0
q
x1
q
x2
w1
w2
15
equilibrio
Condizione di equilibrio statico

τ 0
x 1  m1g  sen(90 o )  x 2  m 2 g  sen(270 o )  0
xCM
x1  m1  x 2  m 2  0
Calcolo la xcentro di massa
m1g(x CM - x1 )  m 2 g(x 2  x CM )  0
(m1  m 2 ) x CM  m1 x1  m 2 x 2
x CM
m1x1  m 2 x 2

m1  m 2
x CM
mx


i
i
M
i

Un sistema è in equilibrio quando il suo centro di massa è
nel punto di sospensione
16
Il centro di massa
Il centro di massa di un sistema è il punto di
equilibrio in un campo gravitazionale
uniforme
x CM
m1 x 1  m 2 x 2  ...  m n x n


m1  m 2  ...  m n
mx
y CM
m1 y1  m 2 y 2  ...  m n y n


m1  m 2  ...  m n
my
i
i
i
M
i
i
i
M
17
Esercizio
Calcolare il centro di massa del braccio in figura.
x CM 
(2.5 kg)(0)  (1.6 kg)(12 cm)  (0.64 kg)(40 cm)
 9.5 cm
2.5 kg  1.6 kg  0.64 kg
y CM 
(2.5 kg)(18 cm)  (1.6 kg)(0)  (0.64 kg)(0)
 9.5 cm
2.5 kg  1.6 kg  0.64 kg
Nota: Il centro di massa non è nel braccio, ma al di fuori di questo
18

Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa
19
Le leve
La leva è una macchina semplice composta da
una forza motrice, una forze resistente e un fulcro
Fm
1o tipo
Fr
2o tipo
Fr
Fm
fulcro
Fr
fulcro
fulcro
Fm
3o tipo
20
Le leve
Leva
Fulcro
Forza resistente
Forza
motrice
(applicata)
Forbici
Cerniera
Oggetto da
tagliare
impugnatura
1
Carrucola
fissa
Asse centrale
Oggetto da
sollevare
Forza fisica
1
Remo
Pala immersa in
acqua
Forza della barca
applicato allo
scalmo
Forza fisica
applicata sul
remo
2
Carriola
Asse della ruota
Peso da
trasportare
Manici
2
Pinza da
ghiaccio
Perno
Cubetto di
ghiaccio
Mano
3
Braccio
umano
Gomito
Oggetto sorretto
dalla mano
Muscoli del
braccio
3
Tipo di
leva
21
Le leve
nel
corpo
umano
In punta
di piedi
2o tipo
1o tipo
3o tipo
22
Le leve e il guadagno meccanico
Guadagno meccanico
Fresistente
è il rapporto tra le G.M. 
Fmotrice
forze
y
x
Condizione di equilibrio statico
con forze perpendicolari alla leva

τ 0
b r Fr - b m Fm  0
Vale per tutti i tipi di leva
Fr b m
G.M. 

Fm b r
23
Le leve e il guadagno meccanico
Fm
Tipo di leva
Fr
tipo
Può essere
<1 o >1
2o tipo
Sempre > 1
3o tipo
Sempre <1
1o
Fr
Fm
fulcro
Guadagno
meccanico
Fr
fulcro
Fm
24

Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa
25
L’elasticità
Corpo elastico
un corpo che riprende la sua forma
originale una volta rimosse le cause della deformazione
Corpo plastico
un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le
cause della deformazione
Corpi elastici
Legge di Hooke
l
Dl


P  mg
F
Dl
= Y
A
l
F  modulo della forza applicata
A  area della sezione del corpo
Y  modulo di elasticità di Young
26
La legge di Hooke e il modulo di Young
Legge di Hooke
A parità di
forza un
campione
sottile è
allungato più
di uno spesso
F
Dl
Y
A
l
Se definisco
F/A =  (sforzo)
Dl/l =  (stiramento)
Un campione
lungo è
allungato più di
uno corto
  Y
27
La legge di Hooke e il modulo di Young
Esempio
Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 al
quale sia applicata una forza di 10 N.
10 N
10 N

 10 5 Nm -2
2
-4
2
1 cm
10 m

105


 0.5  50 %
Y
2 105

Sforzo
Stiramento
Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?
10 5

 0.5  10 6  0.5 parti per milione (ppm) ovvero ½ mm
11
su 1 m
2  10
Materiale
Y (N m-2)
Acciao
2 1011
Ossa lungo l’asse (trazione)
1.8 1010
Ossa lungo l’asse (compressione)
0.9 1010
Vasi sanguigni
2 105
28
Esercizio
Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2
e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità
in compressione di 9x109 Nm-2.
a) Prima di rompersi può sopportare un carico Smax
pari a 1.7x108 Nm-2.
Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere
applicata ?
b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima
della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di
proporzionalità fra il carico e la deformazione?
29
Esercizio
Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2
e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità
in compressione di 9x109 Nm-2.
Prima di rompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108
Nm-2.
a) Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere
applicata ?
FMax  A  Max  (6  10 -4 m 2 )  (17  10 7 Nm -2 )  1.0  10 5 N
100 volte il peso
corporeo
b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima
della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di
proporzionalità fra il carico e la deformazione?
Dl  Max 17  10 7 Nm -2


 0.019  1.9 %
9
-2
l
Y
9  10 Nm
~ 1 cm
30

Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa
31
Sforzo e stiramento nelle ossa
F = mg ~ 103 N
 (F/A) Nm-2 x 107
A~1 cm2 = 10-4 m2
15
Sforzo terminale tensile (S)
10
Le pendenze
sono diverse
(trazione ~
2x
compressione)
trazione
5
-15
compressione
-10
-5
5
10
15
 (Dl/l) x 10-3
-5
-10
-15
Sforzo terminale compressivo (S)
Le ossa sono più deformabili in
compressione che in trazione
I valori di S sono diversi
tra compressione e
trazione
32
Elasticità delle ossa
F  210 kg  9.8
m
 2000 N
2
s
Per ogni gamba F ~ 1000 N
F
F
A=10 cm2
l = 40 cm
F
Δl
Y
A
l
Per le ossa:
Y= 0.9·1010 N/m2 compressione
Y= 1.8·1010 N/m2 trazione
La gamba si accorcia di:
F l
1000 N
40 cm
Δl   

2
A Y 10 cm 0.9 1010 N
m2
4 10 4 m 2

0.9 1011 10-2 m
4 10 4

m
9
0.9 10
4 104 m 2

0.9 1011 cm

4
-5
10 49 m  4.4 10 m
0.9
33
Riassumendo
I momenti delle forze sono molto usati
nel corpo umano (le leve).
La legge di Hooke è valida per molti casi reali
Le ossa hanno valori diversi
per lo stiramento
a seconda che lo sforzo
sia in compressione o trazione
Prossima lezione: i fluidi
34