Dalle radici sofistiche ai
numeri complessi
Un caso di studio per la storia della
matematica in classe
Veronica Gavagna
Università di Salerno
Bozza Indicazioni Ministeriali: «connettere le
varie teorie matematiche studiate con le
problematiche storiche che le hanno originate e di
approfondirne il significato.»
Formazione degli insegnanti
Reperimento delle fonti (cartacee e/o
elettroniche)
Home page Il Giardino di Archimede
http://web.math.unifi.it/archimede/
http://php.math.unifi.it/convegnostoria/convegnostoria2/index.html
Un progetto di laboratorio
sull’algebra rinascimentale
• Le equazioni di II grado nell’algebra
retorica e sincopata
• Le equazioni di III grado: (storia) e analisi
della formula risolutiva
• Il problema del caso irriducibile e la
questione delle radici di numeri negativi:
strumenti e soluzioni
Perché avvicinare uno studente
all’algebra rinascimentale?
(Luis Radford on the historical costruction of the mathematical
knowledge)
… most of the time the teachers’ ideas about the
mathematical content they teach derive from the only
contemporary mathematical formulation of the content under
consideration. Now the contemporary formulation is the result
of a long process of conceptual changes and transformation
and not necessarily the best starting point for students […]
Where algebra is concerned, contemporary formulation
favours, in particular the ‘symbolism’ of algebra; in this
context, algebra is often seen as the mastering of a certain
symbolic language so, right from the beginning, all efforts in
the classroom are made for students to become competent in
this language […] Is it possible to introduce algebra in school
without having the immediate objective of mastering the
modern symbolic language?
Perché avvicinare uno studente
all’algebra rinascimentale?
Un approccio storico a taluni argomenti, magari
favorito da progetti interdisciplinari, favorisce negli
studenti
• la consapevolezza dell’unitarietà della cultura e
un atteggiamento critico verso la dicotomia
artificiale
cultura scientifica vs cultura umanistica
• la percezione del fatto che la matematica ha una
profondità storica e uno spessore culturale e non è
un insieme di tecniche applicate talvolta a simboli
vuoti di significato
L’algebra rinascimentale
Il contesto storico
Erede dell’algebra araba del IX-X secolo,
penetra nell’Occidente latino soprattutto a
partire dal XIII secolo tramite Leonardo
Pisano (e altre fonti indipendenti)
Fiorisce nelle (migliori) botteghe d’abaco,
dove si educa lo strato culturale intermedio
E’ un’algebra retorica che serve
essenzialmente per risolvere problemi
pratici
Come avvicinare uno studente
all’algebra rinascimentale?
Lettura delle fonti -- mediata dall’insegnante -- non
disgiunta dalla contestualizzazione storica.
La scelta dell’autore/autori può offrire la possibilità
di attività interdisciplinari che esplorino aspetti
inediti di questo periodo storico.
Piero della Francesca
rappresentante sui generis dello strato sociale
intermedio poiché scrive libri in volgare e in
latino
Oltre al De prospectiva pingendi… è anche autore del
Libellus de quinque corporibus regularibus e del
Trattato d’abaco
Le equazioni di secondo grado
Una necessaria premessa
Non esiste un’equazione di II grado, ma tre
casi, determinati dalla condizione che i
coefficienti devono essere positivi
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con b, c di segno qualsiasi
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝒄
𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝒃𝒙
𝒙𝟐 = 𝒃𝒙 + 𝒄
con b, c >0
Piero della Francesca
Trattato d’abaco
Et i composti sono quando i censi e le cose sono
equali a li numeri [4], et quando i censi e i numeri sono equali a
le cose [5] , et quando il censo equale a le cose e al numero [6].
Quando i censi e le cose sono equali al numero se vole recare a
un censo, et demeççare le cose et moltiplicare in sé, e quello che
fa ponare sopra il numero; e la radici de la somma meno il
dimeççamento de le cose vale la cosa [4a].
Quando i censi e numeri sono equali a le cose, se vole recare a un
censo, e demeççare le cose e moltiplicare in sé e trarne il numero:
et la radici del rimanente meno del dimeççamento de le cose vale
la cosa [5a].
E quando i censi sono equali a le cose e al numero, se dèi recare a
un censo, et demeççare le cose, moltiplicare in sé e ponare sopra
il numero; e la radici de la summa più de dimeççamento de le
cose vale la cosa [6a].
Censi e cose uguale a numero
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝒄
Quando i censi e le
cose sono equali al numero se vole recare a
un censo, et demeççare
le cose et moltiplicare
in sé, e quello che fa
ponare sopra il
numero; e la radici de la
somma meno il
dimeççamento de le
cose vale la cosa [4a].
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝒄
𝒃
𝒄
𝟐
𝒙 + 𝒙=
𝒂
𝒂
𝒃
𝟐𝒂
𝑥=
𝑏
2𝑎
𝟐
2
𝒄
+
𝒂
𝑐
𝑏
+
−
𝑎
2𝑎
Problemi dell’algebra
rinascimentale
Cardano, Practica arithmeticae
M.° Dardi, Aliabraa argibra
R. Capriglione, Un percorso
storico-didattico per
l’insegnamento dell’algebra,
Tesi di Laurea
Giuseppe Unicorno (Bergamo, 1523-1610)
De l’arithmetica universale, 1598
Uno fa doi viaggi, al primo
guadagnò la radice del suo
capitale, al secondo guadagnò
alla ragion del primo & al fine
si trovò con ducati 25;
dimando con quanti ducati se
partì da prima. Poni che’l se
partisse con 1 cen. de duc.
adonque il suo guadagno fù 1
co. Onde dirai per trovar
l’altro capitale, se 1 cen. mi da
1 cen. p. 1 co. che mi darà 1 ce.
p. 1 co.? Multiplica la seconda
nella terza sarà 1 ce.ce. p. 2 cu.
p. 1 ce. da partir p. 1 ce.
adonque averai….. (p. 660)
http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd
Girolamo Cardano
Ars magna (1545)
Secundum haec formabimus regulas tres,
pro quarum memoria subiungemus carmen
hoc
Querna, da bis x2 = bx + c
Nuquer, admi c = x2 + bx
Requan, minue dami bx = x2 + c
Querna, da bis
Querna
al caso
In hoc corrisponde
Querna, igitur,
del
alle
seuquadrato
capitulouguale
quadrati
incognite
ai numeri,
aequaliserebus
et in cui
devi
aggiungere
numeri al
numero
addesi quadrato
quadrato
metà delle
dimidij della
rerum
incognite,
considerare
numerum
aequationis
la
&radice
totiusquadrata
accipe della
radicem
somma
e aggiungerci
la metà
quadratam,
cui adde
del
numero delle
incognite:
dimidium
numeri
questa somma è il valore
rerum & aggregatum
dell’incognita
est rei aestimatio.
x2 = bx + c
𝒃
𝟐
𝒃
𝒙= +
𝟐
𝟐
+𝒄
𝒃
𝟐
𝟐
+𝒄
Nuquer, admi
Si
numerus
Seautem
poi i numeri
sono
quadrato
uguagliati&airebus
quadrati e
aequalis
sit, quadrato
alle incognite
[Nuquer] ,
dimidii numeri rerum
aggiungi i numeri al
adiicies numerum
quadrato della
metà
aequationis
& totius
delle incognite,
aggregati
accipe
prendi laaradice
della
radicem,
qua minue
somma e da
questa
dimidium
numeri
rerum,
sottrai &
la metà del
numero delle
cose:
residuum
est rei
aestimatio
quello che resta è il
valore dell’incognita
c = x2 + bx
𝒃
𝟐
𝒙=
𝒃
𝟐
𝟐
+𝒄
𝟐
𝒃
+𝒄 −
𝟐
Requan, minue dami
Si vero res aequales sint
quadratis & numero, ut
prius, dimidio numeri
rerum in se & ab eo
detracto numero
aequationis, radicem
residui minue ex dimidio
numeri rerum aut adde,
& tam aggregatum quam
residuum est rei
aestimatio
bx = x2 + c
𝒃
𝟐
𝒃
𝒙= ±
𝟐
𝟐
−𝒄
𝒃
𝟐
𝟐
−𝒄
Dove trovare le fonti
Girolamo Cardano.
Strumenti per la storia del
Rinascimento in Italia settentrionale
http://www.cardano.unimi.it/
Opera omnia (1663):
http://www.cardano.unimi.it/testi/opera.
html
Ars Magna (editio princeps, 1545)
http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd
Possibili attività in classe
Lettura (traduzione) ed interpretazione di
testi originali che descrivono le formule
risolutive delle equazioni di secondo grado.
• Gruppi che leggono lo stesso testo e
discutono la traduzione e l’interpretazione
simbolica
• Gruppi che leggono testi diversi
(latino/volgare) e si confrontano
Da notare che…
• Le radici delle equazioni devono essere
positive (vere)
• Sono accettabili solo i numeri interi, i
numeri rotti, i numeri surdi
• Non sono contemplate equazioni con due
soluzioni negative (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con
𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0)
• e nemmeno equazioni a discriminante
negativo
Una prima osservazione
La necessità di considerare le radici
quadrate di numeri negativi non nasce dalle
formule risolutive delle equazioni di
secondo grado.
E’ opinione condivisa che
le equazioni a discriminante negativo non
ammettano soluzioni
Le equazioni di terzo grado
Anche in questo caso abbiamo 3 casi
𝒙𝟑 + 𝒑𝒙 = 𝒒
𝒙𝟑 + 𝒒 = 𝒑𝒙
𝒙𝟑 = 𝒑𝒙 + 𝒒
Non si considerano equazioni cubiche complete ma
nessuno avanza dubbi sulla generalità delle equazioni
Come mai?
Perché era noto che la trasformazione
x = y – r/3
x3 + rx2 + px + q = 0 → y3 + py + q = 0
Le equazioni di terzo grado
Come si è trovata la formula risolutiva?
Ipotesi di E. Bortolotti – Estrazione della radice cubica di un
binomio
Dati 𝑚, 𝑛 con 𝑛 > 𝑚2 si cercano due numeri 𝑢 e 𝑣 tali che
𝟑
𝒏 ±𝒎= 𝒗±𝒖
Elevando al cubo la relazione si ottiene
𝑢3 +3𝑢𝑣 = 𝑚
Se si moltiplicano tra loro le due relazioni si ricava
3
𝑢2
𝑣=
+ 𝑛 − 𝑚2
E quindi inserendo nell’equazione precedente il valore di v
così trovato
4𝑢3
+3𝑢
3
𝑛 − 𝑚2 = 𝑚
D’altra parte, sottraendo l’una dall’altra le due
relazioni iniziali si ricava
2𝑢 =
3
𝑛+𝑚−
3
𝑛−𝑚
Ponendo 𝑥 = 2𝑢 si può ora pervenire alla soluzione
della
𝑥 3 + 3𝑝𝑥 = 2𝑞
3
con 𝑞 = 𝑚 e 𝑝 = 𝑛 − 𝑚2 ovvero
𝑛 = 𝑝3 + 𝑚2 = 𝑝3 + 𝑞2 si avrà allora
𝑥=
3
𝑝3 + 𝑞 2 + 𝑞 −
3
𝑝3 + 𝑞 2 − 𝑞
Le equazioni di terzo grado
Un tentativo ingenuo : qual è la ratio?
Quando li cubi sono
equali a le cose et al
numero, dese partire
per li cubi et poi
demeççare le cose et
montiplicare in sè e
ponere sopra al numero;
e la radici di quello che
fa più il dimeçamento
de le cose, vale la
cosa. (Piero della
Francesca, Trattato d’abaco)
𝒄𝒙𝟑 = 𝒂𝒙 + 𝒏
𝑥=
𝑎
2𝑐
2
𝑛
𝑎
+ +
𝑐 2𝑐
Le equazioni di terzo grado
Un tentativo ingenuo : qual è la ratio?
Quando li cubi sono
equali a li censi et al
numero, si vole partire
per li cubi, poi demeçare i
censi et montiplicare in sé
e quello che fa porre
sopra il numero; et la
radici di quello più il
dimeçamento de’ censi,
vale la cosa. (Piero della
Francesca, Trattato
d’abaco)
𝑐𝑥 3 = 𝑏𝑥 2 + 𝑛
𝑥=
𝑏
2𝑐
2
𝑛
𝑏
+ +
𝑐 2𝑐
Le equazioni di terzo grado
Un tentativo ingenuo : qual è la ratio?
Quando li cubi sono
equali ai censi e a le cose
e al numero, se dèi porre
il numero sopra le cose e
fare numero, et poi
partire per li cubi et poi
dimeçare li censi e
montiplicare in sé e porre
sopra lo numero; et la
radici di quello, varrà la
cosa più il dimeçamento
dei censi. (Piero della
Francesca, Trattato
d’abaco)
𝒄𝒙𝟑 = 𝒃𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒏
𝑥=
𝑏
2𝑐
2
𝑎+𝑛
𝑏
+
+
𝑐
2𝑐
Corrispondenza
Cardano - Tartaglia
N. Tartaglia, 1546
Quesiti et inventioni
diverse
L’ultimo libro è dedicato
alla ricostruzione della
vicenda
12 febbraio 1539
– 5 gennaio 1540
Dove trovare le fonti
Edizione Nazionale Mathematica Italiana
Biografia di Tartaglia
http://mathematica.sns.it/autori/1323/
Quesiti et inventioni diverse (1546) (download)
http://mathematica.sns.it/opere/27/
Fabio Toscano,
La formula segreta,
Sironi Editore, 2009
Proposta di attività (in classe)
Ricostruzione della polemica attraverso la
lettura della corrispondenza fra Cardano e
Tartaglia pubblicata nei Quesiti
Esempio «vivo» di prosa vernacolare del
Cinquecento
Primi contatti
fra Cardano e Tartaglia
Quesiti et inventioni diverse
[2 gennaio 1539] … et per tanto sua eccellentia vi
prega che voi gli vogliati mandare di gratia tal
regola da voi trovata [cosa e cubo uguale a
numero], & se 'l vi pare lui la dara fora in la
presente sua opera sotto vostro nome, & se
anchor el non vi pare, che lui la dia fora, la
tenera secreta ...
[risposta di Tartaglia]: Diceti a sua eccellentia, che
quella mi perdona, che quando vorò publicar tal
mia inventione la voro publicar in opere mie, &
non in opere de altri, si che sua eccellentia mi
habbia per iscuso.
Cardano a Tartaglia
12 febbraio 1539
… e trarvi fora di fantasia che voi vi crediate
essere si grande vi faro conoscere con
amorevole admonitioni per le vostre
parole medesime che seti più appresso a la
valle che alla sumita del monte… vi
domando di gratia con che credeti di
parlare con li vostri scolari, over con
huomini… oltra a ciò vi laudai molto al
Signor Marchese, pensando fosti più gentil
riconoscitore et piu humano, et piu cortese
Cardano a Tartaglia
19 marzo 1539
… et mi comandò di subito vi
scrivesse la presente con grande instantia
in nome suo, avvisandovi che vista la presente
dovesti venire à Milano senza fallo, che vorria
parlar con voi. Et così ve essorto à dover venir
subito, et non pensarvi su, perche il detto S.
Marchese è si gentil remuneratore delli virtuosi,
si liberale, et si magnanimo che niuna persona
che serve sua eccellentia … resta discontento
La regola di Tartaglia
25 marzo 1539
Quando chel cubo con le
cose appresso
Se agguaglia à qualche
numero discreto
Trovan due altri differenti
in esso
Ch’el lor produtto sempre
sia eguale
Al terzo cubo delle cose
netto
x3 + px = q
u–v=q
uv = (p/3)3
[1]
La regola di Tartaglia
25 marzo 1539
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben
sottratti
Varra
la
tua
cosa
principale
3
√u – 3√v = x
La regola di Tartaglia
In el secondo de cotesti atti
Quando che’l cubo restasse lui solo
Tu osservarai quest’altri contratti
Del numero farai due tal part’à volo
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo
Delle qual poi, per comun precetto
La regola di Tartaglia
Terrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto
x3 = px + q [2]
La regola di Tartaglia
El terzo poi de questi nostri conti
Se solve col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti
x3 + q = px [3]
Se si confronta con la
x3 = px + q [2]
si nota che il termine quadratico è nullo (somma delle radici
cambiata di segno), il termine lineare non cambia, mentre
il termine noto (prodotto delle radici cambiato di segno)
cambia segno, quindi le radici di [3] e [2] hanno lo stesso
modulo e segno opposto.
Il caso irriducibile
x3 = px + q
Quando
(q²/4) - (p³/27)<0
l’equazione ammette 3 soluzioni reali, ma si
pone il problema di estrarre la radice
quadrata di un numero negativo:
questa volta non si può ignorare.
Cardano a Tartaglia
4 agosto 1539
… io ve ho mandato a domandare la
resolutione de diversi quesiti alli quali non
mi haveti risposto, et tra li altri quello di
cubo equale a cose e numero… quando
che il cubo della terza parte delle cose
eccede il quadrato della metà del numero,
allora non posso farli seguir la equatione
come appare [Caso irriducibile]
Tartaglia a Cardano
7 agosto 1539
E pertanto ve rispondo, et dico che voi non
haveti appresa la buona via per risolvere
tal capitolo; anzi dico che tal vostro
procedere è in tutto falso.
Le equazioni di terzo grado
nell’Ars magna (1545)
XI. De cubo et rebus aequalibus numero
𝑥 3 + 𝑝𝑥 = 𝑞
XII. De cubo aequali rebus & numero
𝑥 3 = 𝑝𝑥 + 𝑞
XIII. De cubo et numero aequalibus rebus
𝑥 3 + 𝑞 = 𝑝𝑥
Ars Magna
Cap. XII De cubo aequali rebus & numero
Regula igitur est, cum
cubus tertiae partis
numerum rerum, maior
non fuerit quadrato
dimidij numeri aequationis, auferes ipsum ex
eodem & residui
radicem adde dimidio
numeri aequationis,
atque iterum minue ab
eodem dimidio;
𝑥 3 = 𝑝𝑥 + 𝑞
𝒑 𝟑
𝒒 𝟐
<
𝟑
𝟐
𝒒
+
𝟐
𝒒
𝟐
𝟐
𝒑
−
𝟑
𝟑
𝒒
−
𝟐
𝒒
𝟐
𝟐
𝒑
−
𝟑
𝟑
Ars Magna
Cap. XII De cubo aequali rebus & numero
Habebis, ut dicunt,
Binomium & Apotomen, quorum R. cubicae
Iunctae rem ipsam
constituunt.
3
𝒒
+
𝟐
𝒒
𝟐
𝒒
+
−
𝟐
𝒒
𝟐
𝑥=
3
𝑥 3 = 6𝑥 + 40
𝑥 3 = 6𝑥 + 6
𝟐
𝟐
𝒑
−
𝟑
𝒑
−
𝟑
𝟑
+
𝟑
Ars Magna
Cap. XII De cubo aequali rebus & numero
At ubi cubus tertiae partis numeri rerum
excedat quadratum dimidij numeri
aequationis…
1. Regole operative per trattare con le
radici di numeri negativi
2. Cercare una formula senza radici di
numeri negativi
L’approccio di Cardano
Cardano non si pone problemi
«fondazionali» ma problemi «operativi».
Un primo approccio alla questione si trova
nell’Ars magna in relazione allo studio delle
soluzioni false delle equazioni di secondo
grado (tanto per smentirmi…).
Cap.XXXVII
De regula falsum ponendi
Secundum genus
positionis falsae, est per
radicem 𝑚. Et dabo
exemplum: si quis dicat,
divide 10 in duas partes,
ex quarum unius in
reliquam ductu,
producatur 30 aut 40.
Manifestum est quod
casus seu quaestio est
impossibilis, sic tamen
operabimur.
𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟎
𝒂𝒃 = 𝟒𝟎
𝑡 2 − 10 𝑡 + 40 = 0
De regula falsum ponendi
Regula II
Dividemus 10 per aequalia, & fiet eius medietas
5; duc in se fit 25, auferes
ex 25 ipsum
producendum , utpote 40
… fiet residuum 𝒎. 15
cuius R. addita &
detracta a 5 ostendit partes quae invicem ductae
producunt 40. Erunt
igitur hae, 5 𝑝 R. 𝑚 15 & 5
𝑚 R. 𝑚 15
𝟓 ±
(𝟓 +
𝟐𝟓 − 𝟒𝟎
−𝟏𝟓) 𝟓 −
−𝟏𝟓 = 𝟒𝟎
De regula falsum ponendi
Regula II
La natura della nuova radice è particolare:
… quae vere est sophistica, quoniam per eam,
non ut in puro meno nec in aliis operationes
exercere licet, nec venari quid sit… hucusque
progreditur Arithmetica subtilitas, cuius hoc
extremum ut dixi, adeo est subtile ut sit inutile.
L’idea di subtilitas però non ha valenza
negativa nel pensiero cardaniano
De regula falsum ponendi
Regula III
Un calcolo (sbagliato) ma molto rivelatore…
Invenias tres numeros in continua proportione
[x : y = y : z] quorum R. primi detracta a primo
faciat secundum, & R. secundi detracta a
secundo faciat tertius.
De regula falsum ponendi
Regula III
Ponemus igitur primum
1. quadratum, & secundus erit 1 quadratum
m. 1 positione & tertius
erit 1 quad. m. 1
positione m. R.V. 1
quadrati m. 1 positione.
Duc primum in tertium
& secundum in se,
habebis quantitates
ipsas
𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝒙
De regula falsum ponendi
Regula III
1
,
4
1
4
1
4
m. , m. m. R. m.
1
4
Operando ut vides, &
productum primi in
𝟏
tertium, est m. p. R.
𝟏
𝟔𝟒
𝟏
𝟖
𝟏𝟔
𝟏
𝟏𝟔
quod est m. &
tantum fit ducto
secundo numero in se.
𝟏
𝟒
𝟏
−
𝟒
−
𝟏
−
𝟒
=-
𝟏
𝟏𝟔
il che presuppone
𝟏
−
𝟒
.
𝟏
−
𝟒
=
𝟏
𝟔𝟒
=
𝟏
𝟖
+
𝟏
𝟖
Qual è il segno di −𝟗?
Paradosso del quadrato negativo
2
−9 = −9
Ars magna arithmeticae
(1538-1542, ed. 1663) p.373
Et nota quod R. 𝑝. 9 est 3 𝑝. vel 3 𝑚 nam 𝑝 in
𝑝 & 𝑚 in 𝑚 faciunt 𝑝. Igitur R. 𝑚 9 non est 𝑝
3 nec 𝑚 sed quaedam tertia natura
abscondita.
Una nuova regola dei segni
De regula aliza libellus, 1570
Cap. XXII De contemplatione 𝑝 et 𝑚 et quod 𝑚 in
𝑚 facit 𝑚
Et ideo patet communis error dicentium, quod
m in m producit p neque enim magis m in m
producit p quam p in p producat m. Et quia nos
ubique diximus contrarium, ideo docebo
causam huius, quare in operatione m in m
videatur producere p et quomodo debeat
intelligi.
Cardano padre dei numeri
complessi?
Cardano non riesce a superare il problema
del segno delle radici di numeri negativi e
non può dunque operare con esse.
In alternativa, cerca una formula risolutiva
che possa fare a meno delle radici di numeri
negativi. La sua strategia è quella di cercare
di generalizzare casi particolari in cui è
semplice abbassare il grado dell’equazione.
Ars Magna
Cap. XXV De capitulis imperfectis & specialis
Cubus aequatur 16 rebus
𝑝 21; tunc quia addito 27
numero cubo ad 21 fit 48
qui producitur ex 3 R
cubica 27 in 16 numerum
rerum, ideo dico quod res
𝑝 3 erit communis divisor,
… inde facta divisione
habebis quadratum 𝑚 3
rebus 𝑝 9 aequalia 16…
𝑥 3 = 16𝑥 + 21
𝑥 3 + 27 = 16𝑥 + 48
𝑥 + 3 𝑥 2 − 3𝑥 + 9
= 16 𝑥 + 3
𝑥 2 = 3𝑥 + 7
R.Bombelli
L’Algebra
1572 primi 3 libri
ms. B.1569 Archiginnasio
5 libri (trovati nel 1923,
pubblicati nel 1929 da
Ettore Bortolotti)
Dove trovare le fonti
Edizione Nazionale Mathematica
Italiana
Biografia di Bombelli
http://mathematica.sns.it/autori/1325/
L’Algebra 1572 (download)
http://mathematica.sns.it/opere/9/
A gli Lettori
… o sia per la difficultà della materia, o
per il confuso scrivere de’scrittori i
quali sino ad hora ne hanno trattato
[…] mi son posto nell’animo di volere
a perfetto ordine ridurla, e dirne
quanto dagli altri è stato taciuto in
questa mia presente opera […]
A gli Lettori
… ma invero alcuno non è stato che nel
secreto della cosa sia penetrato, oltre che il
Cardano Melanese nella sua arte magna,
ove di questa scientia assai disse, ma nel
dire fu oscuro […] dico che havendo visto
dunque quanto da detti Autori n’è stato
trattato, ho poi anco io con ordine
continuato ridutto insieme la presente
opera a beneficio commune
A gli Lettori
Libro I … tutta la pratica del decimo di
Euclide, l’operar delle radici cube
com’esso decimo opera nelle radici
quadrate
Libro II … Algorismi dell’Algebra … con
dimostrationi geometriche
Libro III … Trecento problemi
Le radici legate
Tutte le quantità composte di dui nomi, delle
quali se ne haverà a pigliare il lato … tal
quantità non haveranno lato, o volendo
nominare il lato si dirà Radice legata di tal
composto come sarebbe se si dicesse trovami
il lato di 7 p. Rq. 48, che non vuol dir’altro
che trovare un composto che moltiplicato in
se stesso faccia 7 p. Rq. 48…
RL di 7 p. Rq. 48 → 𝟕 +
𝟒𝟖
Le radici cubiche legate
Ho trovato un’altra sorte di R.c.legate molto
differenti dalle altre, la qual nasce dal Capitolo di
cubo eguale a tanti e numero, quando il cubato del
terzo delli tanti è maggiore del quadrato della metà
del numero…
La qual sorte di R.q. ha nel suo Algorismo diversa
operatione dall’altre e diverso nome; perché quando
il cubato del terzo delli tanto è maggiore del
quadrato della metà del numero,
lo eccesso loro non si può chiamare né più né meno,
però lo chiamerò più di meno quando egli si doverà
aggiongere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men
di meno e questa operatione è necessarijssima…
Bombelli inventa i numeri
immaginari?
Bombelli non inventa nuovi numeri (quelli
che noi oggi chiamiamo numeri immaginari)
quanto piuttosto inventa nuovi segni per
poter manipolare algebricamente le radici
quadrate dei numeri negativi.
La regola del più et meno
Più via più di meno, fa più di meno [+1 · i = i]
Meno via più di meno, fa meno di meno [-1 · i = - i]
Più via meno di meno, fa meno di meno [+1· -i = - i]
Meno via meno di meno, fa più di meno [-1· -i = +i]
Più di meno via più di meno, fa meno [i· i= -1]
Più di meno via men di meno, fa più [i· -i= 1]
Men di meno via più di meno, fa più [- i· +i= 1]
Men di meno via men di meno, fa meno [- i· -i= -1]
Gli esempi di Cardano
Esercizio in classe
(5 + −15) 5 − −15 =
25 − 𝟓 −𝟏𝟓 + 𝟓 −𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 = 40
Più via meno di meno, fa meno di meno
Più via più di meno, fa più di meno
Più di meno via men di meno, fa più
Meno via più di meno, fa meno di meno
𝟏
−
𝟒
.
𝟏
−
𝟒
=−
𝟏
−
𝟔𝟒
Il caso irriducibile è risolto?
𝑧=
𝟑
𝑥 ±
𝟑
𝑎+
−𝑦
−𝑏 +
3
𝟑
𝑎−
−𝑏
=𝑎 ±
−𝑏
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝑎 = 𝑥 3 − 3 𝑥𝑦 2
Esempio
𝑥 3 = 15𝑥 + 4
Bombelli 1572,
pp.193-4, 180-181
Volendo trovare il lato
cubico di simil specie di
radici per prattica si terrà in
questo modo: Giongasi il
quadrato del numero col
quadrato della R. e della
somma si pigli il lato
cubico, poi si cerchi a
tentone di trovare un
numero et una R.q. che li
loro quadrati gionti
insieme faccino tanto
quanto fu il lato cubico
detto di sopra..
Le radici cubiche legate
molti di più sono li casi dell’agguagliare dove ne
nasce questa sorte di R. che quelli dove nasce
l’altra, la quale parerà a molti più tosto
sofistica che reale.
E tale opinione ho tenuto anch’io, sin che ho
trovato la sua dimostratione in linee
Costruzione geometrica di una radice reale
di una cubica irriducibile
La dimostrazione in linea
𝒙𝟑 = 𝟔𝒙 + 𝟒
Si considera lo squadro inferiore vincolato a
scorrere per i punti r e m (𝑙𝑚 = 1)
Si assume che 𝑓𝑙 = 6 e che Rett(𝑙𝑎𝑏𝑓)=4
Si muove il secondo squadro in modo che
scorra sulla retta da e che i punti p, f e r siano
allineati. Quando questo accade, il segmento x
rappresenta l’incognita
ml : li = li : lg quindi lg=x2
Rett(rlg)=x3 e
Rett(abhr)=6x+4
Ma Rett(labf)=Rett(fgh)
Rett(rlg)=x3 = Rett(abhr)=6x+4
Squadri di Bombelli (2)
http://www.museo.unimo.it/theatrum/
macchine/149ogg.htm
Risoluzione della equazione x³ = px + q (*).
Su un piano π si collochino due scanalature rettilinee parallele: una
(fissa) ET, l'altra (mobile) MZ. Una terza scanalatura fissa AR (con A
appartenente a ET) è normale a ET. Il vertice I di una squadra SIP
scorre entro AR, mentre il suo lato IP (scanalato) è costretto a scivolare
sul perno B, fissato su ET in modo che AB=1. La squadra NLD ha un
lato scorrevole entro la scanalatura MZ, dove il suo vertice L può
trovarsi in qualsiasi posizione. Un filo teso fra i due vertici L, I passa
per un occhiello praticato sul cursore F, che si può spostare all'interno
di ET. Si blocchi F in modo che AF=p;
si blocchi MZ in posizione tale che il
rettangolo ACDF (compreso tra ET, MZ)
abbia area q. Manovrare ora le due squadre
affinché: 1) L, F, I siano allineati 2) I lati LN
ed IS delle due squadre si incontrino su ET
in G. Ciò fatto, AI=x risolve la (*).
Squadri di Bombelli (1)
http://www.macchinematematiche.org/index.php?option=com_content&view=article&
id=160&Itemid=241
Risoluzione della equazione x³ + px = q .
Sul piano sono praticate tre scanalature rettilinee: LX, KY (parallele), SR (perpendicolare
alle precedenti). Un cursore rettangolare ABCD, che trasporta una quarta scanalatura
MN (parallela a SR e praticata in modo che sia DM=1), scivola avanti e indietro guidato
da LX, KY. Una squadra TQV ha il vertice Q che può essere fissato in un punto qualsiasi
della scanalatura SR; una seconda squadra ZGW ha il vertice G scorrevole entro MN e il
lato GZ costretto a passare per D. Si fissi Q in modo che , ed M in una posizione tale da
avere SM=p. Infine, si faccia ruotare la squadra TQV attorno a Q e si muova ZGW in
modo che siano realizzate le due seguenti condizioni: 1) i lati QV e GW si incontrino in
un punto P appartenente a KY; 2) Sia TS = GM. Indicata con x la comune lunghezza di
questi due ultimi segmenti, l'equazione risulta soddisfatta
A.Girard, 1629
Invention nouvelle
en l’algèbre
http://books.google.it/
Invention nouvelle en l’algèbre
Toutes les equations d'algèbre reçoivent autant
des solutions que la denomination de la plus
haute quantité le demontre excepté les
incomplettes.
𝑥 4 = 4𝑥 − 3
Soluzioni: 1, 1, −1 + −2, −1 − −2
Invention nouvelle en l’algèbre
Donc il se faut resouvenir
d'observer tousjours cela:
on pourroit dire à quoy
sert ces solutions qui sont
impossibles, je respond
pour trois choses, pour la
certitude de la reigle
generale, & qu'il ny a
point d'autre solutions, &
pour son utilité.
A coloro i quali ritengono
impossibili queste
soluzioni io rispondo che
bisogna accettarle per tre
motivi: per assicurare la
validità generale della
regola, perché non ci sono
altre soluzioni, e per la
loro utilità.
R.Descartes
Géométrie, 1637
Edizione latina 1649
http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd
Sappiate dunque che in
ogni Equazione
possono darsi tante
diverse radici – cioè
valori della quantità
incognita – quante
sono le dimensioni
della stessa incognita
(“teorema fondamentale
dell’algebra” in forma
debole)
D’altronde, tanto le radici
vere quanto le false non
sono sempre reali, ma
talvolta soltanto
immaginarie: cioè è
sempre possibile
immaginarne in ogni
Equazione tante quante
ho detto, ma talvolta non
v’è nessuna quantità che
corrisponde a quelle che
immaginiamo.
Altri riferimenti biblio/sitografici
di facile reperimento
R.Franci, Momenti di storia delle equazioni algebriche,
http://php.math.unifi.it/convegnostoria/materiali/franci.pdf
R.Franci, L'insegnamento dell'algebra nel Tre-Quattrocento in Italia, ed in
particolare a Firenze
http://web.math.unifi.it/users/mathesis/conferenze/filespresentazioni/1112/Franci.html
V.Gavagna, Un progetto di laboratorio storico-didattico sull'origine dei numeri
complessi, Associazione Subalpina Mathesis, Conferenze e Seminari 2011-2012,
Torino, Kim Williams Books 2012 pp.229-247
V.Gavagna, La soluzione per radicali delle equazioni di terzo e quarto grado e la
nascita dei numeri complessi: Del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli,
http://web.math.unifi.it/archimede/note_storia/gavagnacomplessi.pdf
Sperimentazioni sulle equazioni di II grado presentate al Convegno Valdarno
http://php.math.unifi.it/convegnostoria/convegno.php?id=14