 Il triangolo è un poligono che ha tre lati e
tre angoli;
Classificazione dei triangoli
rispetto ai lati
Triangolo equilatero
Triangolo isoscele
Triangolo scaleno
Ha tre lati
e tre angoli
congruenti
Ha due lati
e due angoli
congruenti
Ha tutti i lati
e tutti gli angoli
non congruenti
Classificazione dei triangoli
rispetto agli angoli
Triangolo acutangolo
Triangolo rettangolo
Triangolo ottusangolo
Ha tutti gli angoli
acuiti
Ha un angolo
retto e due
acuti
Ha un angolo
ottuso e due
acuti
Punti notevoli del triangolo
L’altezza
E’il segmento di perpendicolare
condotto da un vertice al lato
opposto. Ogni triangolo ha tre
altezze che si incontrano in un
punto detto ortocentro .
A
B
O
C
H
Punti notevoli del triangolo
C
La mediana
E’ il segmento condotto da
un vertice al punto medio
del lato opposto. Ogni
triangolo ha tre mediane che
si incontrano in un punto
detto baricentro.
G
A
B
Punti notevoli del triangolo
La bisettrice
è il segmento che divide l’angolo
in due parti congruenti e che ha
come estremi un vertice e un
punto del lato opposto Ogni
triangolo ha tre bisettrici che si
incontrano in un punto detto
incentro.
C
I
A
B
Punti notevoli del triangolo
C
L’asse
è la retta perpendicolare al
lato e passante per il suo punto
medio.Ogni triangolo ha tre
assi che si incontrano in un
punto detto circocentro.
A
B
Triangolo Isoscele
Angolo al
vertice
Lato obliquo
Angoli
alla base
Base
Triangolo equilatero
60°
60°
60°
Triangolo rettangolo
Ipotenusa
Cateto minore
90°
Cateto maggiore
Triangoli congruenti
Dalla definizione di figure uguali, due triangoli sono congruenti se
esiste un movimento rigido con il quale essi possono essere
sovrapposti in modo da coincidere. Le due figure avranno tre
angoli uguali e tre lati uguali.
I criteri di congruenza riducono a tre gli elementi affinchè due
triangoli siano uguali, di cui almeno uno sia un lato
1° Criterio di congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno
congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso
Hp
AB =A’B’, AC = A’C’
^
^
BAC =B’A’C’
Ts
ABC = A’B’C’
A’
A
B
C
B’
C’
Dimostrazione secondo Euclide
Se il triangolo ABC è sovrapposto
a A’B’C’ e il punto A viene a
coincidere con A’ e la retta AB
con la retta A’B’,anche il punto
B coinciderà con B’ essendo
AB =A’B’; anche la retta AC
coinciderà con A’C’, essendo
l’angolo BAC=A’B’C’, cosicchè
pure il punto C coinciderà con
C’, essendo AC=A’C’. Tuttavia
anche B ha coinciso con B’,
cosicchè la base BC coinciderà
con B’C’. Quindi i due triangoli
sono congruenti
A
B
C
A’
B’
C’
2° Criterio di congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno
congruente un lato e i due angoli ad esso
adiacenti.
…dimostriamolo per assurdo!!!
Per ipotesi abbiamo:
AB ~ A'B'
^
^
CAB ~ C'A'B'
C
^
^
ABC ~ A'B'C'
C’
A
B
A’
B’
Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi …
…supponiamo quindi che i due triangoli non
siano congruenti => AC ≠ A'C'.
Ad esempio sia AC > A'C' => esisterà su AC un
punto D tale che AD ~ A'C' …
C
D
C’
A
B
A’
B’
Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C'
C
Essi hanno:
D
^
^
BAC =B’A’C’ per ipotesi
B
A
C’
AD ~ A’C’
per costruzione
AB ~ A'B'
per ipotesi
I due triangoli sono quindi
congruenti per il primo criterio,
in particolare risulta
A’
B’
^
^
ABD ~ A'B'C'
…MA…
^
^
A'B'C' ~ ABC
…ricordiamo che per ipotesi
C
C’
D
B
A
…dalla diapositiva
precedente risulta
che
^
^
ABD ~ A'B'C'
B’
A’
…quindi per la proprietà
transitiva si ha
^
^
ABD ~ ABC
^
^
^
…ma affermare che ABD ~ ABC, è assurdo, perchè ABD
^
è una parte di ABC, in quanto, per costruzione, la
^
semiretta BD, di origine B, è interna all’angolo ABC.
C
C’
D
A
B
A’
B’
Siamo giunti ad una
contraddizione!!!!!
…dobbiamo quindi concludere che non è
possibile negare la tesi, che quindi risulta
essere necessariamente vera…
I due triangoli ABC e A'B'C'
sono congruenti!!!
Una conseguenza di questi due
teoremi è che:
 Gli angoli alla base di un triangolo isoscele
sono uguali
 In ogni triangolo isoscele la bisettrice
dell’angolo al vertice è perpendicolare alla
base e passa per il suo punto medio
3° Criterio di congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti
i tre lati.
A’
A
Trasporto il primo triangolo
sotto al secondo in modo da
far coincidere la base
B
C
C’
B’
Unisco i due vertici
Si vengono a formare due triangoli isosceli
A’B’A” e A’C’A” che avranno gli angoli alla
base A’A” uguali.
A”
^ e B’A”C’
^ saranno uguali
Ergo gli angoli B’A’C’
Conseguenza di ciò è che i triangoli
A’B’C’ e A”B’C’ saranno congruenti per
il I criterio (due lati e l’angolo
compreso uguali). Ma allora anche i
triangoli ABC e A’B’C’ saranno
congruenti in quanto ABC e A”B’C’
sono congruenti per costruzione.
 La dimostrazione precedente è stata
redatta da Filone di Bisanzio nel III secolo
a.C.
Teorema dell’angolo esterno
 In un triangolo qualunque ogni angolo
esterno è maggiore di ciascuno degli
angoli interni ad esso non adiacenti
C
D
A
B
ABC è triangolo
Hp
Ts
^
CBD è angolo esterno
^
^
^
^
CBD  ACB e CBD  CAB
C
F
E
A
B
Conduco il segmento AF per il punto medio di CB, con AE =EF,
e unisco F con B. Si vengono a formare due triangoli AEC e EBF
D
F
C
E
A
B
D
AE =EF per costruzione
AEC = EBF
Per il I criterio
CE = EB per costruzione
^
^
AEC=BEF opposti al vertice
Ora dimostriamolo per l’altro
angolo
^
^
ACE=CBF
Allora CBD  ACB
C
 Dal vertice C conduco il segmento
CF per il punto medio di AB, con AD
= DB, e unisco F con C
 Si vengono a formare due triangoli
ADC e DBF che risultano uguali in
quanto
E
A
D
B
G
F
ADC = DBF
Per il I criterio
AD =DB per costruzione
CD = DF per costruzione
^
^
ADC=BDF opposti al vertice
^
^
^
^
Allora GBD  DBF , ma DBG = CBE perchè
^
^
opposti al vertice, ergo CBE  CAD
^
^
CAD=DBF
II teorema dell’angolo esterno
In un triangolo qualsiasi la somma di due
angoli interni è minore di un angolo piatto
C
^
^
Ts ACB + CBA  180°
^
^
^
CBD ACB per il teorema precedente, sommo ABC
ad entrambi i membri
^
^
^
^
^
^
CBD +ABC  ACB +ABC ovvero 180°  ACB +ABC
D
A
B
Retta perpendicolare ad una retta
data
Per un punto di un piano passa una ed una sola retta
perpendicolare a una retta data nello stesso piano
Primo caso: il punto appartiene alla retta
 Dato O  AB, si conduca la
A
O
B
bisettrice di AOB, essa è unica
perché è unica la semiretta che
divide in due parti uguali un
angolo. La bisettrice di un angolo
piatto è un angolo retto
Secondo caso: il punto non appartiene alla retta
Dato C esterno ad AB, lo si congiunga con D AB.
^
^
Costruisco dall’altra parte di AB ADP = ADC e DP = DC
Il triangolo CDP è isoscele e DH
È la bisettrice che è anche l’altezza
Ergo: per C esiste la retta AB.
C
H
A
Essa è unica perché se ce
ne fosse un’altra, per
esempio CK, Il triangolo
CHK avrebbe due angoli
retti
P
K
D
B